แคลคูลัส ม.6 เรียนเรื่องอะไรบ้าง

แคลคูลัสเบื้องต้น ม.6 แบ่งเป็น 4 เรื่องหลัก คือ ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน อนุพันธ์ของฟังก์ชัน การประยุกต์ของอนุพันธ์ (เส้นสัมผัส ค่าสูงสุดต่ำสุด โจทย์ optimization) และปริพันธ์ของฟังก์ชัน (ปฏิยานุพันธ์ ปริพันธ์จำกัดเขต พื้นที่ใต้กราฟ) เนื้อหาต่อยอดกันเป็นลำดับตามหลักสูตร สสวท

ลิมิตกับอนุพันธ์ต่างกันอย่างไร

ลิมิต $\lim_{x\to a} f(x) = L$ คือค่าที่ฟังก์ชันเข้าใกล้เมื่อ x เข้าใกล้จุดหนึ่ง เป็นพื้นฐานของอนุพันธ์ ส่วนอนุพันธ์ $f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน หรือความชันเส้นสัมผัส ซึ่งนิยามด้วยลิมิตอีกที

สูตรอนุพันธ์พื้นฐานที่ต้องจำมีอะไรบ้าง

ที่ใช้บ่อยที่สุดคือกฎยกกำลัง $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ กฎผลคูณ กฎผลหาร กฎลูกโซ่ $\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)$ และอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เอกซ์โพเนนเชียล ลอการิทึม (sin x, cos x, $e^x$, $\ln x$) ดูตารางสูตรอนุพันธ์พื้นฐานในบทความด้านบนเพื่อดูสูตรครบทุกตัว

ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัสคืออะไร

ทฤษฎีบทที่เชื่อมปริพันธ์จำกัดเขตเข้ากับปฏิยานุพันธ์ กล่าวว่า $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ เมื่อ F เป็นปฏิยานุพันธ์ใด ๆ ของ f ทำให้หาพื้นที่ใต้กราฟได้โดยไม่ต้องแบ่งเป็นแท่งสี่เหลี่ยมย่อยจำนวนอนันต์

โจทย์หาค่าสูงสุด-ต่ำสุด (optimization) มีขั้นตอนแก้อย่างไร

ทำ 4 ขั้นตอนเสมอ คือ ตั้งตัวแปรและเขียนสิ่งที่ต้องการเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว หาโดเมนที่เป็นไปได้ หาอนุพันธ์แล้วตั้งเท่ากับศูนย์ ($f'(x)=0$) เพื่อหาจุดวิกฤต และตรวจด้วยอนุพันธ์อันดับหนึ่งหรือสองว่าจุดนั้นเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุดจริง

สรุปเนื้อหา & สูตร · อ่าน 6 นาที

แคลคูลัส ม.6

แคลคูลัสเบื้องต้น คือการศึกษาลิมิต อนุพันธ์ และปริพันธ์ของฟังก์ชัน — ม.6 ต้องเข้าใจตั้งแต่หาลิมิต ตรวจความต่อเนื่อง คำนวณอนุพันธ์ด้วยกฎต่าง ๆ ไปจนถึงหาพื้นที่ใต้กราฟด้วยปริพันธ์

โดย OneClickMathเผยแพร่ 13 กันยายน 2569อัปเดต 13 กันยายน 2569

ม.6ม.ปลายแคลคูลัสลิมิตอนุพันธ์ปริพันธ์สูตรเตรียมสอบ

แคลคูลัสเบื้องต้น ม.6 คืออะไร

แคลคูลัสเบื้องต้น เป็นเนื้อหาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.6 ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พ.ศ. 2551 (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ของ สสวท แบ่งเป็น 4 เรื่องใหญ่ต่อเนื่องกัน คือ ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน, อนุพันธ์ของฟังก์ชัน, การประยุกต์ของอนุพันธ์ และ ปริพันธ์ของฟังก์ชัน เนื้อหาทั้งหมดต่อยอดกันเป็นลำดับ — เข้าใจลิมิตก่อนจะเข้าใจอนุพันธ์ และเข้าใจอนุพันธ์ก่อนจะเข้าใจปริพันธ์ จึงควรอ่านตามลำดับหัวข้อด้านล่าง

1. ลิมิตของฟังก์ชัน (Limit)

ลิมิตของฟังก์ชัน f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ค่า a หมายถึงค่าที่ f(x) เข้าใกล้ เมื่อ x เข้าใกล้ a มากขึ้นเรื่อย ๆ (แต่ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ a) เขียนแทนด้วย

x \to a lim f (x) = L

ลิมิตซ้ายและลิมิตขวา

ลิมิตซ้าย $lim_{x \to a^{-}} f (x)$ คือค่าที่ f(x) เข้าใกล้เมื่อ x เข้าใกล้ a จากด้านน้อยกว่า a และลิมิตขวา $lim_{x \to a^{+}} f (x)$ คือค่าที่ f(x) เข้าใกล้จากด้านมากกว่า a

x \to a lim f (x) = L ⟺ x \to a^{-} lim f (x) = x \to a^{+} lim f (x) = L

สมบัติของลิมิตที่ใช้บ่อย

กำหนดให้ $lim_{x \to a} f (x) = L$ และ $lim_{x \to a} g (x) = M$ มีอยู่จริง

สมบัติ	สูตร
ผลบวก/ผลต่าง	$lim_{x \to a} [f (x) \pm g (x)] = L \pm M$
ผลคูณ	$lim_{x \to a} [f (x) \cdot g (x)] = L \cdot M$
ผลหาร (M ≠ 0)	$lim_{x \to a} \frac{f ( x )}{g ( x )} = \frac{L}{M}$
คูณค่าคงตัว k	$lim_{x \to a} [k \cdot f (x)] = k L$
ยกกำลัง n	$lim_{x \to a} [f (x)]^{n} = L^{n}$

ตัวอย่างการหาลิมิต

ตัวอย่าง 1 — แทนค่าตรงได้เลย

x \to 2 lim (x^{2} + 3 x - 1) = 2^{2} + 3 (2) - 1 = 9

ตัวอย่าง 2 — รูปแบบ 0/0 ต้องแยกตัวประกอบก่อน

x \to 3 lim \frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = x \to 3 lim \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x - 3} = x \to 3 lim (x + 3) = 6

lim(x→3) (x²−9)/(x−3) = 6 แม้ฟังก์ชันไม่นิยามที่ x = 3

ตัวอย่าง 3 — ลิมิตอนันต์ (เทียบดีกรีเศษส่วนพหุนาม)

x \to \infty lim \frac{2 x ^{2} + 1}{x ^{2} - 3} = x \to \infty lim \frac{2 + \frac{1}{x ^{2}}}{1 - \frac{3}{x ^{2}}} = 2

2. ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน (Continuity)

ฟังก์ชัน f จะต่อเนื่องที่ x = a ก็ต่อเมื่อครบ 3 เงื่อนไขนี้พร้อมกัน

f(a) มีค่า (นิยามได้ที่ x = a)
$lim_{x \to a} f (x)$ มีค่าจริง
$lim_{x \to a} f (x) = f (a)$

ถ้าขาดข้อใดข้อหนึ่ง ฟังก์ชันจะไม่ต่อเนื่องที่จุดนั้น เช่น ฟังก์ชันแบบเป็นช่วง (piecewise) ที่ค่าลิมิตซ้าย-ขวาไม่เท่ากัน จะมีจุดกระโดด (jump discontinuity)

3. อนุพันธ์ของฟังก์ชัน (Derivative)

อนุพันธ์ของ f ที่จุด x นิยามด้วยลิมิตของอัตราส่วนการเปลี่ยนแปลง

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

ความหมายเชิงเรขาคณิต: f'(a) คือความชันของเส้นสัมผัสกราฟ y = f(x) ที่จุด (a, f(a)) สัญกรณ์อื่นที่ใช้แทนอนุพันธ์ ได้แก่ $y^{'}$ , $\frac{d y}{d x}$ และ $\frac{d}{d x} f (x)$

ความชันเส้นสัมผัสกราฟ y = x² ที่จุด (1, 1) คือ f′(1) = 2

สูตรอนุพันธ์พื้นฐาน

ฟังก์ชัน	อนุพันธ์
$c$	$0$
$x^{n}$	$n x^{n - 1}$
$c \cdot f (x)$	$c \cdot f^{'} (x)$
$f (x) \pm g (x)$	$f^{'} (x) \pm g^{'} (x)$
กฎผลคูณ: $f (x) g (x)$	$f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)$
กฎผลหาร: $\frac{f ( x )}{g ( x )}$	$\frac{f ^{'} ( x ) g ( x ) - f ( x ) g ^{'} ( x )}{[ g ( x ) ] ^{2}}$
กฎลูกโซ่: $f (g (x))$	$f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$
$sin x$	$cos x$
$cos x$	$- sin x$
$tan x$	$sec^{2} x$
$e^{x}$	$e^{x}$
$ln x$	$\frac{1}{x}$
$a^{x}$	$a^{x} ln a$

ตัวอย่าง — ใช้กฎลูกโซ่ร่วมกับกฎยกกำลัง

หา f'(x) เมื่อ $f (x) = (3 x^{2} + 1)^{4}$

f^{'} (x) = 4 (3 x^{2} + 1)^{3} \cdot \frac{d}{d x} (3 x^{2} + 1) = 4 (3 x^{2} + 1)^{3} \cdot 6 x = 24 x (3 x^{2} + 1)^{3}

อนุพันธ์อันดับสูง

อนุพันธ์อันดับสอง $f^{''} (x)$ คืออนุพันธ์ของ f'(x) อีกชั้นหนึ่ง ใช้บอกความเว้าของกราฟ และในฟิสิกส์ ถ้า s(t) คือตำแหน่ง จะได้ความเร็ว $v (t) = s^{'} (t)$ และความเร่ง $a (t) = v^{'} (t) = s^{''} (t)$

4. การประยุกต์ของอนุพันธ์ (Applications)

เส้นสัมผัสและเส้นตั้งฉาก

สมการเส้นสัมผัสกราฟ y = f(x) ที่จุด (a, f(a)) ใช้ความชัน m = f'(a) แทนในสมการเส้นตรง

y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)

ส่วนเส้นตั้งฉาก (normal line) ที่จุดเดียวกัน มีความชันเป็นส่วนกลับติดลบของ f'(a) คือ $- \frac{1}{f ^{'} ( a )}$

ฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด และค่าสุดขีด

$f^{'} (x) > 0$ บนช่วงใด แสดงว่า f เพิ่มบนช่วงนั้น
$f^{'} (x) < 0$ บนช่วงใด แสดงว่า f ลดบนช่วงนั้น
จุดที่ $f^{'} (x) = 0$ หรือ f'(x) หาค่าไม่ได้ เรียกว่าจุดวิกฤต (critical point) เป็นตัวเลือกของจุดสูงสุด-ต่ำสุดสัมพัทธ์

การทดสอบอนุพันธ์อันดับหนึ่ง (First Derivative Test): ถ้า f' เปลี่ยนจากบวกเป็นลบที่จุดวิกฤต จุดนั้นเป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์ ถ้าเปลี่ยนจากลบเป็นบวก จุดนั้นเป็นจุดต่ำสุดสัมพัทธ์

การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง (Second Derivative Test): ที่จุดวิกฤต a ถ้า $f^{''} (a) > 0$ กราฟเว้าขึ้น (a เป็นจุดต่ำสุด) ถ้า $f^{''} (a) < 0$ กราฟเว้าลง (a เป็นจุดสูงสุด) จุดที่ความเว้าเปลี่ยน เรียกว่าจุดเปลี่ยนเว้า (inflection point)

f(x) = x³ − 3x: f′(x) = 0 ที่ x = −1, 1 (จุดวิกฤต)

โจทย์ค่าเหมาะสมที่สุด (Optimization)

โจทย์หาค่ามากที่สุด/น้อยที่สุดในสถานการณ์จริง เช่น พื้นที่มากที่สุด ต้นทุนน้อยที่สุด ใช้ขั้นตอนเดียวกันเสมอ

ตั้งตัวแปรและเขียนสิ่งที่ต้องการหาค่าสูงสุด/ต่ำสุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว
หาโดเมนที่เป็นไปได้จากเงื่อนไขของโจทย์
หาอนุพันธ์ ตั้งเท่ากับ 0 เพื่อหาจุดวิกฤต
ตรวจด้วยอนุพันธ์อันดับหนึ่งหรือสอง ว่าจุดวิกฤตเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุดจริง

ตัวอย่าง — รั้วสี่เหลี่ยมพื้นที่มากที่สุด

มีลวดยาว 40 เมตร ล้อมเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ด้านกว้าง x เมตร จะได้พื้นที่มากที่สุดเมื่อใด

A (x) = x (20 - x) = 20 x - x^{2}

A^{'} (x) = 20 - 2 x = 0 ⟹ x = 10

เนื่องจาก $A^{''} (x) = - 2 < 0$ กราฟเว้าลง x = 10 จึงให้พื้นที่มากที่สุด คือ 10 × 10 = 100 ตารางเมตร

5. ปฏิยานุพันธ์และปริพันธ์ไม่จำกัดเขต (Antiderivative)

ปฏิยานุพันธ์ของ f(x) คือฟังก์ชัน F(x) ที่ F'(x) = f(x) การหาปฏิยานุพันธ์ทุกตัวที่เป็นไปได้ เรียกว่าปริพันธ์ไม่จำกัดเขต เขียนแทนด้วย

\int f (x) d x = F (x) + C

โดย C คือค่าคงตัวใด ๆ (เพราะอนุพันธ์ของค่าคงตัวเป็น 0 เสมอ จึงมี F(x) ได้หลายตัวที่ต่างกันแค่ค่าคงตัว)

สูตรปริพันธ์พื้นฐาน

ฟังก์ชัน f(x)	ปริพันธ์ ∫f(x)dx
$x^{n} (n \neq = - 1)$	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$
$k (ค่าคงตัว)$	$k x + C$
$\frac{1}{x}$	$ln ∣ x ∣ + C$
$e^{x}$	$e^{x} + C$
$sin x$	$- cos x + C$
$cos x$	$sin x + C$
ผลบวก/ผลต่าง $f (x) \pm g (x)$	อินทิเกรตทีละพจน์แล้วบวก/ลบกัน

ตัวอย่าง

\int (3 x^{2} + 4 x - 5) d x = x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + C

6. ปริพันธ์จำกัดเขตและพื้นที่ใต้กราฟ (Definite Integral)

ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส (Fundamental Theorem of Calculus) เชื่อมปริพันธ์จำกัดเขตเข้ากับปฏิยานุพันธ์

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

โดย F เป็นปฏิยานุพันธ์ใด ๆ ของ f และถ้า f(x) ≥ 0 บนช่วง [a, b] ค่า $\int_{a}^{b} f (x) d x$ คือพื้นที่ใต้กราฟ y = f(x) ระหว่าง x = a ถึง x = b

ตัวอย่าง — พื้นที่ใต้กราฟ

หาพื้นที่ใต้กราฟ $y = x^{2}$ ตั้งแต่ x = 0 ถึง x = 3

\int_{0}^{3} x^{2} d x = [\frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{3} = \frac{27}{3} - 0 = 9

พื้นที่ใต้กราฟ y = x² ระหว่าง x = 0 ถึง x = 3

พื้นที่ระหว่างกราฟสองเส้น

ถ้า f(x) ≥ g(x) บนช่วง [a, b] พื้นที่ระหว่างกราฟทั้งสองหาได้จาก

A = \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x

ตารางสรุปสูตรแคลคูลัส ม.6 ที่ต้องจำ

เรื่อง	สูตรหลัก
นิยามลิมิต	$lim_{x \to a} f (x) = L$
นิยามอนุพันธ์	$f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$
กฎยกกำลัง (อนุพันธ์)	$\frac{d}{d x} x^{n} = n x^{n - 1}$
กฎลูกโซ่	$\frac{d}{d x} f (g (x)) = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)$
เส้นสัมผัส	$y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)$
กฎยกกำลัง (ปริพันธ์)	$\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$
ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส	$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$

คำถามที่พบบ่อย

$แคลคูลัส ม.6 เรียนเรื่องอะไรบ้าง$: $แคลคูลัสเบื้องต้น ม.6 แบ่งเป็น 4 เรื่องหลัก คือ ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน อนุพันธ์ของฟังก์ชัน การประยุกต์ของอนุพันธ์ (เส้นสัมผัส ค่าสูงสุดต่ำสุด โจทย์ optimization) และปริพันธ์ของฟังก์ชัน (ปฏิยานุพันธ์ ปริพันธ์จำกัดเขต พื้นที่ใต้กราฟ) เนื้อหาต่อยอดกันเป็นลำดับตามหลักสูตร สสวท$
$ลิมิตกับอนุพันธ์ต่างกันอย่างไร$: $ลิมิต $\lim_{x\to a} f(x) = L$ คือค่าที่ฟังก์ชันเข้าใกล้เมื่อ x เข้าใกล้จุดหนึ่ง เป็นพื้นฐานของอนุพันธ์ ส่วนอนุพันธ์ $f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน หรือความชันเส้นสัมผัส ซึ่งนิยามด้วยลิมิตอีกที$
$สูตรอนุพันธ์พื้นฐานที่ต้องจำมีอะไรบ้าง$: $ที่ใช้บ่อยที่สุดคือกฎยกกำลัง $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ กฎผลคูณ กฎผลหาร กฎลูกโซ่ $\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)$ และอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เอกซ์โพเนนเชียล ลอการิทึม (sin x, cos x, $e^x$, $\ln x$) ดูตารางสูตรอนุพันธ์พื้นฐานในบทความด้านบนเพื่อดูสูตรครบทุกตัว$
$ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัสคืออะไร$: $ทฤษฎีบทที่เชื่อมปริพันธ์จำกัดเขตเข้ากับปฏิยานุพันธ์ กล่าวว่า $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ เมื่อ F เป็นปฏิยานุพันธ์ใด ๆ ของ f ทำให้หาพื้นที่ใต้กราฟได้โดยไม่ต้องแบ่งเป็นแท่งสี่เหลี่ยมย่อยจำนวนอนันต์$
$โจทย์หาค่าสูงสุด-ต่ำสุด (optimization) มีขั้นตอนแก้อย่างไร$: $ทำ 4 ขั้นตอนเสมอ คือ ตั้งตัวแปรและเขียนสิ่งที่ต้องการเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว หาโดเมนที่เป็นไปได้ หาอนุพันธ์แล้วตั้งเท่ากับศูนย์ ($f'(x)=0$) เพื่อหาจุดวิกฤต และตรวจด้วยอนุพันธ์อันดับหนึ่งหรือสองว่าจุดนั้นเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุดจริง$