แคลคูลัส ม.6 เรียนเรื่องอะไรบ้าง

เรียนลิมิตของฟังก์ชัน ความต่อเนื่อง อนุพันธ์และสูตรการหาอนุพันธ์ อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ เส้นสัมผัสเส้นโค้ง อนุพันธ์อันดับสูง การประยุกต์ ปฏิยานุพันธ์ ปริพันธ์จำกัดเขต และพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง

ฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุดหนึ่งต้องมีเงื่อนไขอะไร

f ต่อเนื่องที่ x = c เมื่อ f(c) หาค่าได้ ลิมิตของ f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ c มีค่า และลิมิตนั้นเท่ากับ f(c) ต้องครบทั้งสามข้อ

อนุพันธ์คืออะไร

อนุพันธ์ของ f ที่ x คือลิมิตของ (f(x + h) - f(x))/h เมื่อ h เข้าใกล้ 0 ใช้บอกอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่ง และเป็นความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง

หาค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ยังไง

หาค่าวิกฤตจาก f'(x) = 0 แล้วดูว่า f'(x) เปลี่ยนเครื่องหมายอย่างไรเมื่อผ่านค่าวิกฤต หรือดูเครื่องหมายของ f'' ที่ค่าวิกฤต ถ้า f'' เป็นลบได้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ถ้าเป็นบวกได้ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์

ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัสคืออะไร

ถ้า f ต่อเนื่องบน [a, b] และ F เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f แล้วปริพันธ์จำกัดเขตของ f จาก a ถึง b เท่ากับ F(b) - F(a)

ม.6 เทอม 1 · บทที่ 2 แคลคูลัสเบื้องต้น · อ่าน 10 นาที

สูตรลิมิตและอนุพันธ์ แคลคูลัส ม.6

สูตรอนุพันธ์พื้นฐานของแคลคูลัส ม.6 คืออนุพันธ์ของ xⁿ เท่ากับ n คูณ xⁿ⁻¹ ลิมิตคือค่าที่ฟังก์ชันเข้าใกล้เมื่อตัวแปรเข้าใกล้จุดนั้น และปริพันธ์ไม่จำกัดเขตคือตัวที่อนุพันธ์แล้วได้ฟังก์ชันเดิม สรุปพร้อมตัวอย่าง

โดย คณิตคลิกเดียวเผยแพร่ 13 กันยายน 2569อัปเดต 28 กันยายน 2569

ทายก่อน: มีลวด 40 เมตร ล้อมคอกสี่เหลี่ยมมุมฉากให้ได้พื้นที่มากที่สุด ต้องกว้างเท่าไร? คำตอบคือ 10 × 10 เมตร ได้ 100 ตารางเมตร และเครื่องมือที่พิสูจน์ได้ว่ามากที่สุดจริง ไม่ใช่แค่เดา ก็คือ แคลคูลัส ม.6 ครับ

แคลคูลัสเบื้องต้น ม.6 คือเรื่องของลิมิตของฟังก์ชัน ความต่อเนื่อง อนุพันธ์ และปริพันธ์ ลิมิตบอกว่าค่าของฟังก์ชันเข้าใกล้จำนวนใดเมื่อ $x$ เข้าใกล้จำนวนหนึ่ง อนุพันธ์คืออัตราการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่งหรือความชันของเส้นโค้ง ส่วนปริพันธ์ใช้หาฟังก์ชันจากอนุพันธ์และหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง บทความนี้เรียงหัวข้อตามบทเรียนคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.6 เทอม 1

ลิมิตของฟังก์ชัน

ถ้าค่าของ $f (x)$ เข้าใกล้จำนวนจริง $L$ เมื่อ $x$ เข้าใกล้ $a$ ทั้งทางด้านซ้ายและด้านขวาของ $a$ จะเรียก $L$ ว่า ลิมิตของ $f$ ที่ $a$ เขียนแทนด้วย

x \to a lim f (x) = L

การหาลิมิตพิจารณาเฉพาะค่า $x$ ที่เข้าใกล้ $a$ แต่ $x \neq = a$ ดังนั้น $f$ จะนิยามที่ $a$ หรือไม่ก็ได้ และ $L$ อาจไม่เท่ากับ $f (a)$

ลองคิดก่อนเลื่อนลง: $f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ ไม่มีค่าที่ $x = 1$ แล้วลิมิตที่ $x \to 1$ มีไหม?

มีครับ เมื่อ $x \neq = 1$ จะได้ $\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x - 1} = x + 1$ ค่าจึงเข้าใกล้ $2$ ลิมิตสนแค่ค่ารอบ ๆ จุด ไม่สนค่าที่จุดนั้นเลย

ความชัน PQ = 3 · f′(1) = 2

เส้นทึบคือเส้นตัดโค้ง PQ เส้นประสีส้มคือเส้นสัมผัสที่ P (f′(x) = 2x)

a = 1

h = 1

จากเส้นตัดโค้งสู่เส้นสัมผัส: ลาก Q เข้าหา P แล้วดูความชันของ PQลิมิตในภาพเดียว: ลด h จาก 1 ไป 0.5, 0.1, 0.01 ความชันของเส้นตัดเข้าใกล้ 2 เรื่อย ๆ โดยที่ h ไม่เคยเป็น 0 จริง

ลิมิตทางซ้ายและลิมิตทางขวา

$x \to a^{-} lim f (x)$ คือลิมิตเมื่อ $x$ เข้าใกล้ $a$ ทางด้านซ้าย ( $x < a$ ) และ $x \to a^{+} lim f (x)$ คือลิมิตเมื่อ $x$ เข้าใกล้ $a$ ทางด้านขวา ( $x > a$ )

x \to a lim f (x) ⟺ x \to a^{-} lim f (x) = L = x \to a^{+} lim f (x) = L

ตัวอย่าง: $f (x) = {x + 3 5 x - 1 x < 1 x \geq 1$ ได้ลิมิตทางซ้ายที่ 1 เท่ากับ 4 และลิมิตทางขวาเท่ากับ 4 ดังนั้น $x \to 1 lim f (x) = 4$

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของฟังก์ชัน

กำหนด $x \to a lim f (x) = L$ และ $x \to a lim g (x) = M$ เมื่อ $L$ และ $M$ เป็นจำนวนจริง

ทฤษฎีบท	ผล
ค่าคงตัว	$lim_{x \to a} c = c$ และ $lim_{x \to a} x^{n} = a^{n}$
คูณค่าคงตัว	$lim_{x \to a} c f (x) = c L$
ผลบวก ผลต่าง	$lim_{x \to a} (f (x) \pm g (x)) = L \pm M$
ผลคูณ	$lim_{x \to a} (f (x) g (x)) = L M$
ผลหาร	$lim_{x \to a} \frac{f ( x )}{g ( x )} = \frac{L}{M}$ เมื่อ $M \neq = 0$
ยกกำลัง	$lim_{x \to a} (f (x))^{n} = L^{n}$ เมื่อ $n \in N$
รากที่ $n$	$lim_{x \to a} n f (x) = n L$ เมื่อ $n L \in R$

ผลที่ตามมา: ถ้า $p$ เป็นฟังก์ชันพหุนาม แล้ว $x \to a lim p (x) = p (a)$ และถ้า $f (x) = \frac{p ( x )}{q ( x )}$ เมื่อ $p$ และ $q$ เป็นฟังก์ชันพหุนาม แล้ว $x \to a lim f (x) = \frac{p ( a )}{q ( a )}$ เมื่อ $q (a) \neq = 0$

ตัวอย่าง: แทนค่าได้เลย

x \to - 1 lim (4 x^{3} - x + 6) = 4 (- 1)^{3} - (- 1) + 6 = 3

ตัวอย่าง: ตัวเศษและตัวส่วนเป็น 0 ทั้งคู่ ต้องจัดรูปก่อน

x \to 3 lim \frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = x \to 3 lim \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x - 3} = x \to 3 lim (x + 3) = 6

lim(x→3) (x²−9)/(x−3) = 6 แม้ฟังก์ชันไม่นิยามที่ x = 3

ถ้าเจอรากที่สอง ให้คูณด้วยสังยุค เช่น

x \to 4 lim \frac{x - 2}{x - 4} = x \to 4 lim \frac{x - 4}{( x - 4 ) ( x + 2 )} = \frac{1}{4}

ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

ให้ $f$ นิยามบนช่วงเปิด $(a, b)$ และ $c \in (a, b)$ จะกล่าวว่า $f$ เป็น ฟังก์ชันต่อเนื่อง ที่ $x = c$ ก็ต่อเมื่อ $x \to c lim f (x) = f (c)$ ซึ่งต้องครบสามข้อ

$f (c)$ หาค่าได้
$x \to c lim f (x)$ มีค่า
$x \to c lim f (x) = f (c)$

ทฤษฎีบทที่ใช้บ่อย

ถ้า $f$ และ $g$ ต่อเนื่องที่ $x = a$ แล้ว $f + g$ , $f - g$ , $f g$ ต่อเนื่องที่ $x = a$ และ $\frac{f}{g}$ ต่อเนื่องที่ $x = a$ เมื่อ $g (a) \neq = 0$
ฟังก์ชันพหุนามต่อเนื่องที่ทุกจำนวนจริง
$\frac{p ( x )}{q ( x )}$ เมื่อ $p$ และ $q$ เป็นพหุนาม ต่อเนื่องที่ทุก $a$ ที่ $q (a) \neq = 0$

ตัวอย่าง: $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{2} - 16}{x - 4} 7 x \neq = 4 x = 4$ ได้ $x \to 4 lim f (x) = x \to 4 lim (x + 4) = 8$ แต่ $f (4) = 7$ ดังนั้น $f$ ไม่ต่อเนื่องที่ $x = 4$ ถ้าเปลี่ยนเป็น $f (4) = 8$ ฟังก์ชันจะต่อเนื่องที่ $x = 4$

ความต่อเนื่องบนช่วง $f$ ต่อเนื่องบน $(a, b)$ เมื่อต่อเนื่องทุกจุดในช่วง และต่อเนื่องบน $[a, b]$ เมื่อต่อเนื่องบน $(a, b)$ และ $x \to a^{+} lim f (x) = f (a)$ กับ $x \to b^{-} lim f (x) = f (b)$

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน

อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย ของ $y = f (x)$ เมื่อ $x$ เปลี่ยนจาก $a$ เป็น $a + h$ คือ $\frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ และเมื่อ $h$ เข้าใกล้ 0 จะได้ อัตราการเปลี่ยนแปลง ของ $f$ ขณะ $x = a$

อนุพันธ์ ของฟังก์ชัน $f$ ที่ $x$ คือ

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

ถ้าลิมิตนี้มีค่า จะกล่าวว่า $f$ หาอนุพันธ์ได้ที่ $x$ สัญลักษณ์อื่นที่ใช้คือ $\frac{d y}{d x}$ , $\frac{d}{d x} f (x)$ และ $y^{'}$ โดย $\frac{d y}{d x}$ ไม่ได้หมายถึงเศษส่วน

ตัวอย่าง: หาอนุพันธ์ของ $f (x) = 3 x^{2} - x$ จากบทนิยาม

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{3 ( x + h ) ^{2} - ( x + h ) - ( 3 x ^{2} - x )}{h} = h \to 0 lim \frac{6 x h + 3 h ^{2} - h}{h} = h \to 0 lim (6 x + 3 h - 1) = 6 x - 1

การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้สูตร

สูตร	อนุพันธ์
$f (x) = c$	$f^{'} (x) = 0$
$f (x) = x$	$f^{'} (x) = 1$
$f (x) = x^{a}$ เมื่อ $a$ เป็นจำนวนจริง	$f^{'} (x) = a x^{a - 1}$
$(f + g)^{'} (x)$	$f^{'} (x) + g^{'} (x)$
$(f - g)^{'} (x)$	$f^{'} (x) - g^{'} (x)$
$(c f)^{'} (x)$	$c f^{'} (x)$
$(f g)^{'} (x)$	$f (x) g^{'} (x) + g (x) f^{'} (x)$
$(\frac{f}{g})^{'} (x)$ เมื่อ $g (x) \neq = 0$	$\frac{g ( x ) f ^{'} ( x ) - f ( x ) g ^{'} ( x )}{( g ( x ) ) ^{2}}$

ตัวอย่าง: $y = 4 x^{3} - \frac{2}{x} + x$ เขียนเป็น $4 x^{3} - 2 x^{- 1} + x^{\frac{1}{2}}$ ได้

\frac{d y}{d x} = 12 x^{2} + 2 x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} = 12 x^{2} + \frac{2}{x ^{2}} + \frac{1}{2 x}

ตัวอย่าง: $y = \frac{x + 1}{x - 2}$

\frac{d y}{d x} = \frac{( x - 2 ) ( 1 ) - ( x + 1 ) ( 1 )}{( x - 2 ) ^{2}} = \frac{- 3}{( x - 2 ) ^{2}}

อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ

ถ้า $g$ หาอนุพันธ์ได้ที่ $x$ และ $f$ หาอนุพันธ์ได้ที่ $g (x)$ แล้ว

(f \circ g)^{'} (x) = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

เรียกว่า กฎลูกโซ่ ถ้าเขียน $y = f (u)$ และ $u = g (x)$ จะได้ $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

ตัวอย่าง: $y = (2 x^{2} - 5)^{3}$ ให้ $u = 2 x^{2} - 5$

\frac{d y}{d x} = 3 u^{2} \cdot 4 x = 12 x (2 x^{2} - 5)^{2}

ลองคิดก่อนเลื่อนลง: $y = (3 x + 1)^{2}$ ลองกระจายก่อนแล้วหาอนุพันธ์ เทียบกับใช้กฎลูกโซ่ ได้เท่ากันไหม?

เท่ากันครับ กระจายได้ $9 x^{2} + 6 x + 1$ หาอนุพันธ์ได้ $18 x + 6$ ส่วนกฎลูกโซ่ได้ $2 (3 x + 1) \cdot 3 = 18 x + 6$ แต่ถ้าเป็นกำลัง 10 กฎลูกโซ่เร็วกว่ามาก

เส้นสัมผัสเส้นโค้ง

ให้ $P (a, f (a))$ และ $Q (a + h, f (a + h))$ อยู่บนเส้นโค้ง $y = f (x)$ ความชันของเส้นตรง $P Q$ คือ $\frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ เมื่อ $h$ เข้าใกล้ 0 เส้น $P Q$ จะเข้าใกล้เส้นตรงเส้นหนึ่งที่ผ่านจุด $P$ เรียกว่า เส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด $P$ ซึ่งมีความชันเท่ากับ $f^{'} (a)$ และเรียก $f^{'} (a)$ ว่า ความชันของเส้นโค้งที่จุด $P$

สมการเส้นสัมผัสที่จุด $(a, f (a))$ คือ

y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)

ความชัน PQ = 3 · f′(1) = 2

เส้นทึบคือเส้นตัดโค้ง PQ เส้นประสีส้มคือเส้นสัมผัสที่ P (f′(x) = 2x)

a = 1

h = 1

จากเส้นตัดโค้งสู่เส้นสัมผัส: ลาก Q เข้าหา P แล้วดูความชันของ PQเลือก h ให้เล็กลงเรื่อย ๆ จุด Q จะวิ่งเข้าหา P และเส้นตัดโค้งจะหมุนจนกลายเป็นเส้นสัมผัส ความชันเข้าใกล้ f′(a)

ตัวอย่าง: เส้นโค้ง $y = x^{2}$ ที่จุด $(1, 1)$ มีความชัน $f^{'} (1) = (2) (1) = 2$ เส้นสัมผัสคือ $y - 1 = 2 (x - 1)$ หรือ $y = 2 x - 1$

ความชันเส้นสัมผัสกราฟ y = x² ที่จุด (1, 1) คือ f′(1) = 2

อนุพันธ์อันดับสูง

อนุพันธ์ของ $f^{'}$ เรียกว่า อนุพันธ์อันดับที่ 2 เขียนแทนด้วย $f^{''} (x)$ หรือ $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ ถ้าหาอนุพันธ์ต่อไปอีกจะได้อนุพันธ์อันดับที่ 3, 4, … ตามลำดับ

ตัวอย่าง: $f (x) = 2 x^{4} - x^{3} + 5 x$ ได้ $f^{'} (x) = 8 x^{3} - 3 x^{2} + 5$ , $f^{''} (x) = 24 x^{2} - 6 x$ และ $f^{'''} (x) = 48 x - 6$

การประยุกต์ของอนุพันธ์

การเคลื่อนที่แนวตรง

ถ้า $s (t)$ เป็นตำแหน่งของวัตถุขณะเวลา $t$ จะได้ความเร็ว $v (t) = s^{'} (t)$ และความเร่ง $a (t) = v^{'} (t) = s^{''} (t)$

ตัวอย่าง: $s (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 9 t$ เมตร ได้ $v (t) = 3 t^{2} - 12 t + 9 = 3 (t - 1) (t - 3)$ วัตถุหยุดนิ่งชั่วขณะเมื่อ $t = 1$ และ $t = 3$ วินาที และ $a (t) = 6 t - 12$

ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน

ถ้า $f^{'} (x) > 0$ ทุก $x$ ในช่วง $f$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วงนั้น ถ้า $f^{'} (x) < 0$ ทุก $x$ ในช่วง $f$ เป็นฟังก์ชันลดบนช่วงนั้น
ถ้า $f$ มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ $x = c$ และ $f^{'} (c)$ มีค่า แล้ว $f^{'} (c) = 0$
จำนวน $c$ ที่ทำให้ $f^{'} (c) = 0$ หรือ $f^{'} (c)$ ไม่มีค่า เรียกว่า ค่าวิกฤต และจุด $(c, f (c))$ เรียกว่า จุดวิกฤต

ตรวจด้วยอนุพันธ์อันดับที่ 1 ถ้า $f^{'} (x)$ เปลี่ยนจากบวกเป็นลบเมื่อ $x$ เพิ่มขึ้นผ่าน $c$ แล้ว $f (c)$ เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ถ้าเปลี่ยนจากลบเป็นบวก $f (c)$ เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์

ตรวจด้วยอนุพันธ์อันดับที่ 2 ที่ค่าวิกฤต $c$ ซึ่ง $f^{'} (c) = 0$ ถ้า $f^{''} (c) > 0$ แล้ว $f (c)$ เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ ถ้า $f^{''} (c) < 0$ แล้ว $f (c)$ เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ถ้า $f^{''} (c) = 0$ ยังสรุปไม่ได้ ต้องกลับไปใช้อนุพันธ์อันดับที่ 1

ตัวอย่าง: $f (x) = x^{3} - 3 x$ ได้ $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x + 1) (x - 1)$ ค่าวิกฤตคือ $-1$ และ $1$ และ $f^{''} (x) = 6 x$

$f^{''} (- 1) = - 6 < 0$ ดังนั้น $f (- 1) = 2$ เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์
$f^{''} (1) = 6 > 0$ ดังนั้น $f (1) = - 2$ เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์

ความชัน PQ = 0.0301 · f′(1) = 0

h = 0.01 เล็กมาก เส้นตัดโค้งเกือบทับเส้นสัมผัสแล้ว

เส้นทึบคือเส้นตัดโค้ง PQ เส้นประสีส้มคือเส้นสัมผัสที่ P (f′(x) = 3x² − 3)

a = 1

h = 0.01

จากเส้นตัดโค้งสู่เส้นสัมผัส: ลาก Q เข้าหา P แล้วดูความชันของ PQf(x) = x³ − 3x ที่ a = 1 เส้นสัมผัสนอนราบ ความชันเป็น 0 นี่คือค่าวิกฤต ลองเลื่อน a ไปที่ −1 แล้วดูว่าเกิดอะไรขึ้น

f(x) = x³ − 3x: f′(x) = 0 ที่ x = −1, 1 (จุดวิกฤต)

ค่าสูงสุดสัมบูรณ์และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ ถ้า $f$ ต่อเนื่องบนช่วงปิด $[a, b]$ แล้ว $f$ มีทั้งค่าสูงสุดสัมบูรณ์และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์บนช่วงนั้น หาได้โดย

หาค่าวิกฤตทั้งหมดในช่วงเปิด $(a, b)$
หาค่าของฟังก์ชันที่ค่าวิกฤตเหล่านั้น
หา $f (a)$ และ $f (b)$
ค่ามากที่สุดคือค่าสูงสุดสัมบูรณ์ ค่าน้อยที่สุดคือค่าต่ำสุดสัมบูรณ์

ตัวอย่าง: $f (x) = x^{3} - 3 x$ บน $[- 2, 3]$ ได้ $f (- 2) = - 2$ , $f (- 1) = 2$ , $f (1) = - 2$ , $f (3) = 18$ ค่าสูงสุดสัมบูรณ์คือ 18 ที่ $x = 3$ และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์คือ $-2$ ที่ $x = - 2$ และ $x = 1$

โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุด

ตั้งตัวแปร แล้วเขียนปริมาณที่ต้องการเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว
หาช่วงของตัวแปรที่เป็นไปได้จากเงื่อนไขในโจทย์
หาค่าวิกฤตจาก $f^{'} (x) = 0$
ตรวจว่าค่าวิกฤตให้ค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดจริง

ตัวอย่าง: มีลวดยาว 40 เมตร ล้อมเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก ให้ด้านกว้างยาว $x$ เมตร พื้นที่คือ $A (x) = x (20 - x) = 20 x - x^{2}$ เมื่อ $0 < x < 20$ ได้ $A^{'} (x) = 20 - 2 x = 0$ เมื่อ $x = 10$ และ $A^{''} (x) = - 2 < 0$ ดังนั้นพื้นที่มากที่สุดคือ $(10) (10) = 100$ ตารางเมตร

ปฏิยานุพันธ์และปริพันธ์ไม่จำกัดเขต

ถ้า $F^{'} (x) = f (x)$ ทุก $x$ ในโดเมนของ $f$ จะเรียก $F$ ว่าเป็น ปฏิยานุพันธ์ หนึ่งของ $f$ ปฏิยานุพันธ์ทุกตัวต่างกันแค่ค่าคงตัว จึงเขียนรูปทั่วไปเป็น ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต

\int f (x) d x = F (x) + c เมื่อ c เป็นค่าคงตัว

สูตร	ปริพันธ์
$\int k d x$	$k x + c$
$\int x^{a} d x$ เมื่อ $a \neq = - 1$	$\frac{x ^{a + 1}}{a + 1} + c$
$\int k f (x) d x$	$k \int f (x) d x$
$\int (f (x) \pm g (x)) d x$	$\int f (x) d x \pm \int g (x) d x$

ตัวอย่าง

\int (6 x^{2} - 4 x + 7) d x = 2 x^{3} - 2 x^{2} + 7 x + c

ตัวอย่าง: ถ้า $f^{'} (x) = 2 x + 3$ และ $f (1) = 6$ จะได้ $f (x) = x^{2} + 3 x + c$ แทน $x = 1$ ได้ $4 + c = 6$ ดังนั้น $f (x) = x^{2} + 3 x + 2$

ปริพันธ์จำกัดเขต

ให้ $f$ ต่อเนื่องบน $[a, b]$ แบ่ง $[a, b]$ เป็น $n$ ช่วงย่อยกว้างเท่ากัน $Δ x = \frac{b - a}{n}$ เลือก $x_{i}^{*}$ ในแต่ละช่วงย่อย แล้วหา $S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}^{*}) Δ x$ ถ้า $n \to \infty lim S_{n}$ มีค่า เรียกค่านี้ว่า ปริพันธ์จำกัดเขต ของ $f$ บน $[a, b]$ เขียนแทนด้วย $\int_{a}^{b} f (x) d x$ เรียก $a$ ว่าลิมิตล่าง และ $b$ ว่าลิมิตบน

S4 ≈ 3.75 · พื้นที่จริง = 83

b = 2n = 4

พื้นที่ใต้เส้นโค้ง y = x²: เพิ่มจำนวนสี่เหลี่ยมมุมฉากแล้วดูผลบวกเข้าใกล้พื้นที่จริงเพิ่มจำนวนช่วงย่อย n ดูว่าสี่เหลี่ยมยิ่งแคบ ส่วนที่ยื่นเกินเส้นโค้งยิ่งน้อย ผลบวกพื้นที่จะเข้าใกล้ 83 ซึ่งเป็นปริพันธ์จำกัดเขตของ x² จาก 0 ถึง 2

ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส ถ้า $f$ ต่อเนื่องบน $[a, b]$ และ $F$ เป็นปฏิยานุพันธ์ของ $f$ แล้ว

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (x)_{a}^{b} = F (b) - F (a)

ตัวอย่าง

\int_{1}^{2} (3 x^{2} - 2 x) d x = (x^{3} - x^{2})_{1}^{2} = (8 - 4) - (1 - 1) = 4

พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง

ให้ $f$ ต่อเนื่องบน $[a, b]$ และ $A$ เป็นพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง $y = f (x)$ กับแกน $X$ จาก $a$ ถึง $b$

ถ้า $f (x) \geq 0$ ทุก $x \in [a, b]$ แล้ว $A = \int_{a}^{b} f (x) d x$
ถ้า $f (x) \leq 0$ ทุก $x \in [a, b]$ แล้ว $A = - \int_{a}^{b} f (x) d x$

ตัวอย่าง: พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วย $y = x^{2}$ กับแกน $X$ จาก 0 ถึง 3

A = \int_{0}^{3} x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3}_{0}^{3} = 9 ตารางหน่วย

พื้นที่ใต้กราฟ y = x² ระหว่าง x = 0 ถึง x = 3

ตัวอย่าง: $y = x^{2} - 4$ อยู่ใต้แกน $X$ บน $[- 1, 1]$

A = - \int_{- 1}^{1} (x^{2} - 4) d x = - (\frac{x ^{3}}{3} - 4 x)_{- 1}^{1} = - (- \frac{11}{3} - \frac{11}{3}) = \frac{22}{3} ตารางหน่วย

ถ้าเส้นโค้งตัดแกน $X$ ในช่วง ให้แบ่งช่วงที่จุดตัดแล้วหาพื้นที่แต่ละส่วนมาบวกกัน เช่น $y = x^{2} - 1$ จาก 0 ถึง 2 ตัดแกน $X$ ที่ $x = 1$ ได้พื้นที่ $\frac{2}{3} + \frac{4}{3} = 2$ ตารางหน่วย

ตารางสรุปสูตร

เรื่อง	สูตร
อนุพันธ์	$f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$
กฎยกกำลัง	$\frac{d}{d x} x^{a} = a x^{a - 1}$
กฎลูกโซ่	$(f \circ g)^{'} (x) = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)$
เส้นสัมผัส	$y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)$
ปริพันธ์ของ $x^{a}$	$\int x^{a} d x = \frac{x ^{a + 1}}{a + 1} + c$ เมื่อ $a \neq = - 1$
ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส	$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$

ลองคิดก่อนเลื่อนลง: เช็กตัวเองก่อนปิดหน้านี้ $\int_{0}^{2} x^{2} d x$ เท่ากับเท่าไร?

ได้ $\frac{x ^{3}}{3}_{0}^{2} = \frac{8}{3}$ ครับ ตรงกับค่าที่สี่เหลี่ยมใน widget ปริพันธ์จำกัดเขตวิ่งเข้าหาพอดี

คำถามที่พบบ่อย

$แคลคูลัส ม.6 เรียนเรื่องอะไรบ้าง$: $เรียนลิมิตของฟังก์ชัน ความต่อเนื่อง อนุพันธ์และสูตรการหาอนุพันธ์ อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ เส้นสัมผัสเส้นโค้ง อนุพันธ์อันดับสูง การประยุกต์ ปฏิยานุพันธ์ ปริพันธ์จำกัดเขต และพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง$
$ฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุดหนึ่งต้องมีเงื่อนไขอะไร$: $f ต่อเนื่องที่ x = c เมื่อ f(c) หาค่าได้ ลิมิตของ f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ c มีค่า และลิมิตนั้นเท่ากับ f(c) ต้องครบทั้งสามข้อ$
$อนุพันธ์คืออะไร$: $อนุพันธ์ของ f ที่ x คือลิมิตของ (f(x + h) - f(x))/h เมื่อ h เข้าใกล้ 0 ใช้บอกอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่ง และเป็นความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง$
$หาค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ยังไง$: $หาค่าวิกฤตจาก f'(x) = 0 แล้วดูว่า f'(x) เปลี่ยนเครื่องหมายอย่างไรเมื่อผ่านค่าวิกฤต หรือดูเครื่องหมายของ f'' ที่ค่าวิกฤต ถ้า f'' เป็นลบได้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ถ้าเป็นบวกได้ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์$
$ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัสคืออะไร$: $ถ้า f ต่อเนื่องบน [a, b] และ F เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f แล้วปริพันธ์จำกัดเขตของ f จาก a ถึง b เท่ากับ F(b) - F(a)$

ข้อสอบจริงที่มีบทนี้

อ่านแล้วยังงง? ย้อนไปเก็บพื้นก่อน

แคลคูลัสเบื้องต้น ต่อยอดจากเรื่องเหล่านี้ ถ้าเรื่องไหนยังไม่แน่น กลับไปทบทวนก่อนแล้วค่อยกลับมาอ่านอีกรอบ จะเข้าใจเร็วขึ้นมาก

บทก่อนหน้าความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ลำดับและอนุกรม

พื้น ม.ต้นเลขยกกำลัง พหุนาม แยกตัวประกอบพหุนาม สมการกำลังสอง

Roadmap คณิต ม.ปลาย พื้นฐาน ม.ต้น 12 เรื่อง

ถ้าน้องติดคณิต คลิกเดียวช่วยน้องได้

แอด LINE แล้วบอกว่าติดบทไหน พี่ๆ จะช่วยปรับพื้นฐานให้ตรงจุด