เรขาคณิตวิเคราะห์ คืออะไร

เรขาคณิตวิเคราะห์คือการเชื่อมพีชคณิตกับเรขาคณิต โดยใช้ระบบพิกัดฉากและสมการศึกษารูปเรขาคณิต เช่น ระยะทาง ความชัน เส้นตรง และภาคตัดกรวย

สูตรระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับจุดคืออะไร

ระยะห่างระหว่างเส้นตรง Ax + By + C = 0 กับจุด (x1, y1) เท่ากับ |Ax1 + By1 + C| หารด้วย รากที่สองของ (A^2 + B^2)

c ของวงรีกับไฮเพอร์โบลาต่างกันยังไง

วงรีใช้ c^2 = a^2 - b^2 ส่วนไฮเพอร์โบลาใช้ c^2 = a^2 + b^2 โดย c คือระยะจากจุดศูนย์กลางถึงโฟกัส

หาโฟกัสและไดเรกตริกซ์ของพาราโบลายังไง

เทียบสมการกับ x^2 = 4py หรือ y^2 = 4px หาค่า p ถ้าเป็น x^2 = 4py โฟกัสคือ (0, p) ไดเรกตริกซ์คือ y = -p ถ้าเป็น y^2 = 4px โฟกัสคือ (p, 0) ไดเรกตริกซ์คือ x = -p

ดูจากสมการยังไงว่าเป็นภาคตัดกรวยชนิดไหน

สมการ Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 ถ้าไม่ใช่ภาคตัดกรวยลดรูป จะเป็นวงกลมเมื่อ A = C วงรีเมื่อ AC > 0 พาราโบลาเมื่อ AC = 0 และไฮเพอร์โบลาเมื่อ AC < 0

ม.4 เทอม 2 · บทที่ 3 เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย · อ่าน 6 นาที

สรุปเรขาคณิตวิเคราะห์ ม.4

สรุปเรขาคณิตวิเคราะห์ ม.4 เพิ่มเติม เทอม 2 ระยะทาง ความชัน สมการเส้นตรง ระยะห่างจากจุดถึงเส้นตรง วงกลม วงรี พาราโบลา และไฮเพอร์โบลา

โดย OneClickMathเผยแพร่ 26 กันยายน 2569

เรขาคณิตวิเคราะห์ คือการเชื่อมพีชคณิตกับเรขาคณิตเข้าด้วยกัน โดยใช้พิกัดและสมการบนระนาบศึกษารูปเรขาคณิต บทนี้ของ ม.4 คณิตเพิ่มเติม เทอม 2 มี 2 ส่วน คือ ความรู้เบื้องต้น (ระยะทาง จุดกึ่งกลาง ความชัน เส้นขนาน เส้นตั้งฉาก สมการเส้นตรง ระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับจุด) และ ภาคตัดกรวย (วงกลม วงรี พาราโบลา ไฮเพอร์โบลา และการเลื่อนกราฟ)

สวัสดีครับ นี่พี่ติว OCM

บทนี้สูตรเยอะที่สุดในเทอม แต่เกือบทุกสูตรมีรากมาจากสูตรระยะทางระหว่างจุดสองจุด เข้าใจที่มาแล้วจะจำได้ง่ายกว่าท่องแยกทีละตัวครับ

สรุปสูตรใน 1 ตาราง

เรื่อง	สูตร
ระยะทางระหว่างจุดสองจุด	$P_{1} P_{2} = (x_{1} - x_{2})^{2} + (y_{1} - y_{2})^{2}$
จุดกึ่งกลาง	$(\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$
ความชัน	$m = \frac{y _{1} - y _{2}}{x _{1} - x _{2}}$ เมื่อ $x_{1} \neq = x_{2}$
เส้นขนาน / เส้นตั้งฉาก	$m_{1} = m_{2}$ / $m_{1} m_{2} = - 1$
สมการเส้นตรง	$y - y_{1} = m (x - x_{1})$ หรือ $A x + B y + C = 0$
ระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับจุด	$d = \frac{∣ A x _{1} + B y _{1} + C ∣}{A ^{2} + B ^{2}}$
วงกลม	$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$
วงรี	$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ เมื่อ $a > b > 0$ และ $c^{2} = a^{2} - b^{2}$
พาราโบลา	$x^{2} = 4 p y$ หรือ $y^{2} = 4 p x$
ไฮเพอร์โบลา	$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ เมื่อ $c^{2} = a^{2} + b^{2}$

ส่วนที่ 1: ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับเรขาคณิตวิเคราะห์

1) ระยะทางและจุดกึ่งกลาง

สูตรระยะทางมาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส โดยลากเส้นขนานแกน $X$ และแกน $Y$ ให้เกิดสามเหลี่ยมมุมฉาก

ตัวอย่าง: ระยะทางระหว่าง $(- 2, 1)$ กับ $(4, 9)$ คือ $6^{2} + 8^{2} = 10$ หน่วย และจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงนี้คือ $(1, 5)$

2) ความชัน

$m > 0$ เส้นตรงทำมุมแหลมกับแกน $X$ (ขึ้นจากซ้ายไปขวา)
$m < 0$ เส้นตรงทำมุมป้านกับแกน $X$ (ลงจากซ้ายไปขวา)
เส้นตรงที่ขนานกับแกน $X$ มีความชันเป็นศูนย์
เส้นตรงที่ขนานกับแกน $Y$ หาความชันไม่ได้

3) เส้นขนานและเส้นตั้งฉาก

เส้นตรงสองเส้นที่ไม่ขนานกับแกน $Y$ ขนานกัน ก็ต่อเมื่อ $m_{1} = m_{2}$
เส้นตรงสองเส้นที่ไม่ขนานกับแกนพิกัด ตั้งฉากกัน ก็ต่อเมื่อ $m_{1} m_{2} = - 1$

4) ความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นเส้นตรง

รูปสมการ	ใช้เมื่อ
$y - y_{1} = m (x - x_{1})$	รู้ความชันและจุดหนึ่งจุด
$y = m x + b$	รู้ความชัน และตัดแกน $Y$ ที่ $(0, b)$
$A x + B y + C = 0$	รูปทั่วไป ความชันคือ $- \frac{A}{B}$ เมื่อ $B \neq = 0$

ตัวอย่าง: หาสมการเส้นตรงที่ผ่าน $(- 1, 4)$ และตั้งฉากกับ $y = 3 x - 2$

เส้นเดิมมีความชัน 3 เส้นที่ต้องการจึงมีความชัน $- \frac{1}{3}$
$y - 4 = - \frac{1}{3} (x + 1)$ จัดรูปได้ $x + 3 y - 11 = 0$

5) ระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับจุด

ระยะห่างระหว่างเส้นตรง $A x + B y + C = 0$ กับจุด $P (x_{1}, y_{1})$ คือความยาวของเส้นที่ลากจาก $P$ ไปตั้งฉากกับเส้นตรงนั้น

ตัวอย่าง: ระยะห่างระหว่างเส้นตรง $5 x + 12 y + 4 = 0$ กับจุด $(2, 1)$

d = \frac{∣ 5 ( 2 ) + 12 ( 1 ) + 4 ∣}{5 ^{2} + 1 2 ^{2}} = \frac{26}{13} = 2

ระยะห่างระหว่างเส้นขนานสองเส้น หาได้โดยเลือกจุดหนึ่งบนเส้นแรก แล้วหาระยะจากจุดนั้นไปยังอีกเส้น

ส่วนที่ 2: ภาคตัดกรวย

ภาคตัดกรวย คือรูปบนระนาบที่เกิดจากการตัดกันของระนาบกับกรวยกลม ถ้าระนาบผ่านจุดยอดของกรวย รอยตัดอาจเป็นจุด เส้นตรงหนึ่งเส้น หรือเส้นตรงสองเส้นตัดกัน เรียกว่า ภาคตัดกรวยลดรูป

x²25 + y²9 = 1

จุดสีส้มคือโฟกัส วงกลมโปร่งคือจุดยอด

a = 5b = 3h = 0k = 0

ภาคตัดกรวย: เลือกชนิด แล้วลากจุดหรือปรับค่าในสมการรูปมาตรฐานเลือกชนิดของภาคตัดกรวย แล้วปรับ a, b, p, h, k ดูว่าสมการ จุดยอด และโฟกัสเปลี่ยนไปอย่างไร

6) วงกลม

วงกลม คือเซตของจุดทั้งหมดในระนาบที่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งเป็นระยะทางคงตัว จุดคงที่เรียกว่า จุดศูนย์กลาง และระยะทางคงตัวเรียกว่า รัศมี

รูปแบบมาตรฐาน: $(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$ มีจุดศูนย์กลาง $(h, k)$ รัศมี $r$ ถ้ากระจายออกจะได้รูปแบบทั่วไป $x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0$

ตัวอย่าง: $x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y - 11 = 0$

จัดกำลังสองสมบูรณ์: $(x^{2} + 6 x + 9) + (y^{2} - 8 y + 16) = 11 + 9 + 16$
ได้ $(x + 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 36$
จุดศูนย์กลาง $(- 3, 4)$ รัศมี 6 หน่วย

7) วงรี

วงรี คือเซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดใด ๆ ในเซตนั้นไปยังจุดคงที่สองจุดมีค่าคงตัว (มากกว่าระยะห่างระหว่างจุดคงที่ทั้งสอง) จุดคงที่ทั้งสองเรียกว่า โฟกัส ผลบวกคงตัวนั้นเท่ากับ $2 a$

วงรีที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด

	แกนเอกอยู่บนแกน $X$	แกนเอกอยู่บนแกน $Y$
สมการ	$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$	$\frac{x ^{2}}{b ^{2}} + \frac{y ^{2}}{a ^{2}} = 1$
จุดยอด	$(\pm a, 0)$	$(0, \pm a)$
โฟกัส	$(\pm c, 0)$	$(0, \pm c)$

โดย $a > b > 0$ และ $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ แกนเอกยาว $2 a$ แกนโทยาว $2 b$ ดูว่าตัวส่วนตัวไหนมากกว่า ตัวนั้นบอกทิศของแกนเอก

ตัวอย่าง: $\frac{x ^{2}}{100} + \frac{y ^{2}}{36} = 1$ ได้ $a = 10$ , $b = 6$ และ $c = 100 - 36 = 8$ จุดยอด $(\pm 10, 0)$ โฟกัส $(\pm 8, 0)$

8) พาราโบลา

พาราโบลา คือเซตของจุดทั้งหมดในระนาบที่ห่างจากเส้นตรงคงที่เส้นหนึ่ง (ไดเรกตริกซ์) และจุดคงที่จุดหนึ่งที่ไม่อยู่บนเส้นนั้น (โฟกัส) เป็นระยะเท่ากัน

สมการ (จุดยอดที่ $(0, 0)$ )	โฟกัส	ไดเรกตริกซ์	ลักษณะ
$x^{2} = 4 p y$	$(0, p)$	$y = - p$	หงายเมื่อ $p > 0$ คว่ำเมื่อ $p < 0$
$y^{2} = 4 p x$	$(p, 0)$	$x = - p$	เปิดขวาเมื่อ $p > 0$ เปิดซ้ายเมื่อ $p < 0$

เลตัสเรกตัม คือคอร์ดที่ตั้งฉากกับแกนสมมาตรและผ่านโฟกัส ยาว $∣4 p ∣$ หน่วย

ตัวอย่าง: $y^{2} = - 12 x$ ได้ $4 p = - 12$ ดังนั้น $p = - 3$ โฟกัส $(- 3, 0)$ ไดเรกตริกซ์ $x = 3$ เปิดไปทางซ้าย เลตัสเรกตัมยาว 12 หน่วย

9) ไฮเพอร์โบลา

ไฮเพอร์โบลา คือเซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่งผลต่างของระยะทางจากจุดใด ๆ ในเซตนั้นไปยังโฟกัสทั้งสองมีค่าคงตัว (น้อยกว่าระยะห่างระหว่างโฟกัส) ค่าคงตัวนั้นเท่ากับ $2 a$

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1, c^{2} = a^{2} + b^{2}

จุดยอด $(\pm a, 0)$ โฟกัส $(\pm c, 0)$ แกนตามขวางยาว $2 a$
เส้นกำกับ $y = \pm \frac{b}{a} x$ หาได้จากเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากศูนย์กลาง
ถ้าพจน์ $y^{2}$ เป็นบวก คือ $\frac{y ^{2}}{a ^{2}} - \frac{x ^{2}}{b ^{2}} = 1$ แกนตามขวางอยู่แนวตั้ง

ตัวอย่าง: $\frac{x ^{2}}{64} - \frac{y ^{2}}{36} = 1$ ได้ $a = 8$ , $b = 6$ , $c = 10$ จุดยอด $(\pm 8, 0)$ โฟกัส $(\pm 10, 0)$ เส้นกำกับ $y = \pm \frac{3}{4} x$

10) การเลื่อนกราฟ

แทน $x$ ด้วย $x - h$ และแทน $y$ ด้วย $y - k$ กราฟจะเลื่อนจากจุด $(0, 0)$ ไปที่ $(h, k)$ รูปร่างเหมือนเดิม เช่น $\frac{( x - 1 ) ^{2}}{9} + \frac{( y + 2 ) ^{2}}{4} = 1$ คือวงรีที่มีจุดศูนย์กลาง $(1, - 2)$

ถ้าโจทย์ให้สมการรูป $A x^{2} + C y^{2} + D x + E y + F = 0$ เมื่อ $A$ และ $C$ ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน ให้จัดกำลังสองสมบูรณ์ แล้วดูว่าเป็นภาคตัดกรวยชนิดใด ถ้าไม่ใช่ภาคตัดกรวยลดรูป

เงื่อนไข	กราฟ
$A = C$	วงกลม
$A C > 0$	วงรี
$A C = 0$	พาราโบลา
$A C < 0$	ไฮเพอร์โบลา

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

จำ $c^{2}$ สลับกัน วงรีใช้ $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ ไฮเพอร์โบลาใช้ $c^{2} = a^{2} + b^{2}$
จัดกำลังสองสมบูรณ์แล้วลืมบวกค่าเดียวกันอีกข้างของสมการ
ลืมค่าสัมบูรณ์ในสูตรระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับจุด
ดูแกนเอกของวงรีจากตัวแปรที่เขียนก่อน แทนที่จะดูตัวส่วนที่มากกว่า
ใช้ $p$ ของพาราโบลาผิดเครื่องหมาย ทำให้โฟกัสกับไดเรกตริกซ์สลับข้าง

คำถามที่พบบ่อย

$เรขาคณิตวิเคราะห์ คืออะไร$: $เรขาคณิตวิเคราะห์คือการเชื่อมพีชคณิตกับเรขาคณิต โดยใช้ระบบพิกัดฉากและสมการศึกษารูปเรขาคณิต เช่น ระยะทาง ความชัน เส้นตรง และภาคตัดกรวย$
$สูตรระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับจุดคืออะไร$: $ระยะห่างระหว่างเส้นตรง Ax + By + C = 0 กับจุด (x1, y1) เท่ากับ |Ax1 + By1 + C| หารด้วย รากที่สองของ (A^2 + B^2)$
$c ของวงรีกับไฮเพอร์โบลาต่างกันยังไง$: $วงรีใช้ c^2 = a^2 - b^2 ส่วนไฮเพอร์โบลาใช้ c^2 = a^2 + b^2 โดย c คือระยะจากจุดศูนย์กลางถึงโฟกัส$
$หาโฟกัสและไดเรกตริกซ์ของพาราโบลายังไง$: $เทียบสมการกับ x^2 = 4py หรือ y^2 = 4px หาค่า p ถ้าเป็น x^2 = 4py โฟกัสคือ (0, p) ไดเรกตริกซ์คือ y = -p ถ้าเป็น y^2 = 4px โฟกัสคือ (p, 0) ไดเรกตริกซ์คือ x = -p$
$ดูจากสมการยังไงว่าเป็นภาคตัดกรวยชนิดไหน$: $สมการ Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 ถ้าไม่ใช่ภาคตัดกรวยลดรูป จะเป็นวงกลมเมื่อ A = C วงรีเมื่อ AC > 0 พาราโบลาเมื่อ AC = 0 และไฮเพอร์โบลาเมื่อ AC < 0$