สรุปสถิติ (3) แผนภาพกล่อง ม.3

แผนภาพกล่อง (box plot) คือแผนภาพที่สรุปข้อมูลด้วยค่า 5 ค่า ได้แก่ ค่าต่ำสุด ควอร์ไทล์ที่ 1 ($Q_1$) มัธยฐาน ($Q_2$) ควอร์ไทล์ที่ 3 ($Q_3$) และค่าสูงสุด ใช้ดูการกระจายและเปรียบเทียบข้อมูลหลายชุด บทนี้คือสถิติ (3) เรียนใน ม.3 เทอม 1

สวัสดีครับ นี่พี่ติว OCM

แผนภาพกล่องแบ่งข้อมูลเป็น 4 ส่วน แต่ละส่วนมีข้อมูลประมาณ 25% เท่ากัน จำประโยคนี้ไว้ แล้วตอบคำถามแปลความหมายได้เกือบทุกข้อครับ

สรุปบทนี้ใน 1 ตาราง

1ค่า 5 ค่าที่ใช้สร้างแผนภาพกล่อง

1. ค่าต่ำสุด

2. ควอร์ไทล์ที่ 1 ($Q_1$): มีข้อมูลประมาณ 25% ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับค่านี้

3. มัธยฐาน ($Q_2$): ค่ากลางเมื่อเรียงข้อมูล มีข้อมูลประมาณ 50% อยู่แต่ละข้าง

4. ควอร์ไทล์ที่ 3 ($Q_3$): มีข้อมูลประมาณ 75% ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับค่านี้

5. ค่าสูงสุด

วิธีหาควอร์ไทล์

1. เรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก

2. หามัธยฐาน ($Q_2$)

3. $Q_1$ คือมัธยฐานของข้อมูลครึ่งล่าง (ข้อมูลที่อยู่ก่อนมัธยฐาน)

4. $Q_3$ คือมัธยฐานของข้อมูลครึ่งบน (ข้อมูลที่อยู่หลังมัธยฐาน)

ถ้าจำนวนข้อมูลเป็นจำนวนคี่ ไม่นับตัวมัธยฐานเข้าไปในครึ่งล่างหรือครึ่งบน

ตัวอย่าง: ข้อมูล 11 ตัว

คะแนนสอบ: 4, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 20

• ค่าต่ำสุด $=4$ ค่าสูงสุด $=20$

• $Q_2$ = ตัวที่ 6 $=10$

• ครึ่งล่าง 4, 6, 7, 8, 9 ได้ $Q_1=7$

• ครึ่งบน 12, 13, 15, 16, 20 ได้ $Q_3=15$

ตัวอย่าง: ข้อมูล 8 ตัว

2, 5, 6, 8, 10, 11, 14, 17

• $Q_2=\frac{8+10}{2}=9$

• ครึ่งล่าง 2, 5, 6, 8 ได้ $Q_1=\frac{5+6}{2}=5.5$

• ครึ่งบน 10, 11, 14, 17 ได้ $Q_3=\frac{11+14}{2}=12.5$

2การสร้างแผนภาพกล่อง

1. เขียนเส้นจำนวนที่ครอบคลุมค่าต่ำสุดถึงค่าสูงสุด

2. วาดกล่องจาก $Q_1$ ถึง $Q_3$

3. ลากเส้นแบ่งในกล่องที่ตำแหน่งมัธยฐาน

4. ลากวิสเกอร์จากกล่องไปถึงค่าต่ำสุดและค่าสูงสุด

แต่ละส่วน (วิสเกอร์ซ้าย ครึ่งกล่องซ้าย ครึ่งกล่องขวา วิสเกอร์ขวา) มีข้อมูลประมาณ 25% เท่ากัน ไม่ว่าส่วนนั้นจะยาวหรือสั้น

3การอ่านและแปลความหมายจากแผนภาพกล่อง

การวัดการกระจาย

• พิสัย $=$ ค่าสูงสุด $-$ ค่าต่ำสุด

• พิสัยระหว่างควอร์ไทล์ (IQR) $=Q_3-Q_1$ คือความกว้างของกล่อง บอกการกระจายของข้อมูล 50% ตรงกลาง

จากตัวอย่าง 11 ตัว: พิสัย $=16$ และ IQR $=15-7=8$

ค่านอกเกณฑ์ (เสริม)

ข้อมูลที่น้อยกว่า $Q_1-1.5\times \text{IQR}$ หรือมากกว่า $Q_3+1.5\times \text{IQR}$ เรียกว่า ค่านอกเกณฑ์ (outlier) แสดงเป็นจุดแยกจากวิสเกอร์ แล้วลากวิสเกอร์ไปถึงค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดที่ไม่ใช่ค่านอกเกณฑ์

ส่วนที่ยาวหรือสั้น บอกอะไร

• ส่วนที่ ยาว แปลว่าข้อมูลในช่วงนั้น กระจายมาก

• ส่วนที่ สั้น แปลว่าข้อมูลในช่วงนั้น อยู่ชิดกัน

• ส่วนที่ยาวไม่ได้แปลว่ามีข้อมูลมากกว่า เพราะทุกส่วนมีข้อมูลประมาณ 25%

ดูภาพรวมการกระจาย

เปรียบเทียบข้อมูลสองชุด

วางแผนภาพกล่องบนเส้นจำนวนเดียวกัน แล้วเทียบ

1. มัธยฐาน: ชุดไหนโดยรวมสูงกว่า

2. IQR และพิสัย: ชุดไหนกระจายมากกว่า

3. ตำแหน่งกล่อง: ข้อมูลส่วนใหญ่อยู่ช่วงไหน

ตัวอย่าง: คะแนนห้อง A มี $Q_1=55$, $Q_2=65$, $Q_3=72$ ห้อง B มี $Q_1=60$, $Q_2=64$, $Q_3=68$

• มัธยฐานใกล้กัน ระดับคะแนนโดยรวมพอ ๆ กัน

• ห้อง B มี IQR $=8$ น้อยกว่าห้อง A ที่ IQR $=17$ คะแนนห้อง B จึงเกาะกลุ่มกว่า

คำถามร้อยละที่ออกบ่อย

• นักเรียนประมาณ 75% ได้คะแนนอย่างน้อย $Q_1$

• นักเรียนประมาณ 50% ได้คะแนนระหว่าง $Q_1$ ถึง $Q_3$

• นักเรียนประมาณ 25% ได้คะแนนมากกว่า $Q_3$

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

• ลืมเรียงข้อมูลก่อนหาควอร์ไทล์

• คิดว่าส่วนที่ยาวกว่ามีข้อมูลมากกว่า

• นับตัวมัธยฐานเข้าไปในครึ่งล่างและครึ่งบน เมื่อข้อมูลมีจำนวนคี่

• สับสนพิสัยกับพิสัยระหว่างควอร์ไทล์