สรุปวงกลม ม.3

ทฤษฎีบทวงกลม ม.3 ที่ใช้บ่อยที่สุดคือ มุมที่จุดศูนย์กลางมีขนาดเป็นสองเท่าของมุมในส่วนโค้งที่รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน และ มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด $90^{\circ }$ บทวงกลม ม.3 เทอม 2 แบ่งเป็น 3 เรื่อง คือ มุมที่จุดศูนย์กลางและมุมในส่วนโค้งของวงกลม คอร์ดของวงกลม และเส้นสัมผัสวงกลม

สวัสดีครับ นี่พี่ติว OCM

บทนี้มีทฤษฎีบทหลายข้อ แต่แทบทุกโจทย์ใช้แค่ 5 ถึง 6 ข้อหลัก บวกกับสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่เกิดจากรัศมี จำตารางด้านล่างให้ได้ก่อนครับ

สรุปทฤษฎีบทที่ต้องรู้

1มุมที่จุดศูนย์กลางและมุมในส่วนโค้ง

• มุมที่จุดศูนย์กลาง มีจุดยอดอยู่ที่จุดศูนย์กลาง $O$

• มุมในส่วนโค้งของวงกลม มีจุดยอดอยู่บนวงกลม และแขนทั้งสองตัดวงกลม

ในวงกลมเดียวกันหรือวงกลมที่เท่ากันทุกประการ ถ้ามุมที่จุดศูนย์กลางเท่ากัน ส่วนโค้งที่รองรับมุมก็ยาวเท่ากัน และกลับกันก็จริง

มุมในครึ่งวงกลม

ถ้า $AC$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง มุม $A\hat{B}C$ ที่มีจุดยอดบนวงกลมมีขนาด $90^{\circ }$ เสมอ เพราะมุมที่จุดศูนย์กลางเป็นมุมตรง $180^{\circ }$

ตัวอย่าง: $AC$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง และ $C\hat{A}D=38^{\circ }$ จงหา $A\hat{B}D$ เมื่อ $B$ และ $D$ อยู่บนวงกลม คนละข้างของ $AC$

• $A\hat{B}C=90^{\circ }$ (มุมในครึ่งวงกลม)

• $C\hat{B}D=C\hat{A}D=38^{\circ }$ (มุมในส่วนโค้งที่รองรับด้วย $\text{overparen}CD$ เดียวกัน)

• $A\hat{B}D=90^{\circ }-38^{\circ }=52^{\circ }$

รูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม

รูปสี่เหลี่ยมที่จุดยอดทั้งสี่อยู่บนวงกลม มีมุมตรงข้ามรวมกันได้ $180^{\circ }$ เช่น ถ้า $\hat{A}=104^{\circ }$ มุมตรงข้าม $\hat{C}=76^{\circ }$

เคล็ดลับที่ใช้บ่อย

รัศมีทุกเส้นยาวเท่ากัน ดังนั้นสามเหลี่ยมที่มีสองด้านเป็นรัศมีคือ สามเหลี่ยมหน้าจั่ว มุมที่ฐานเท่ากัน ใช้ได้แทบทุกข้อ

2คอร์ดของวงกลม

คอร์ด คือส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดสองจุดบนวงกลม คอร์ดที่ยาวที่สุดคือเส้นผ่านศูนย์กลาง

• ถ้า $AB=CD$ แล้ว $A\hat{O}B=C\hat{O}D$ (พิสูจน์ด้วย ด.ด.ด.)

• เส้นตรงที่ลากจากจุดศูนย์กลางมาตั้งฉากกับคอร์ด จะแบ่งครึ่งคอร์ด

• บทกลับ: ส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุดศูนย์กลางไปยังจุดกึ่งกลางคอร์ด (คอร์ดที่ไม่ใช่เส้นผ่านศูนย์กลาง) จะตั้งฉากกับคอร์ด

• เส้นตรงที่ตั้งฉากกับคอร์ดและแบ่งครึ่งคอร์ด จะผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม

• คอร์ดสองเส้นยาวเท่ากัน ก็ต่อเมื่ออยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเป็นระยะเท่ากัน

ตัวอย่าง: วงกลมรัศมี 10 หน่วย คอร์ด $AB$ ยาว 16 หน่วย ระยะจากจุดศูนย์กลางถึงคอร์ดเท่าไร

• ลาก $OM$ ตั้งฉากกับ $AB$ จะได้ $AM=8$

• ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: $OM=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$ หน่วย

ตัวอย่าง: $PR$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ยาว 26 หน่วย และส่วนโค้ง $RS$ กับ $QR$ ยาวเท่ากัน โดย $QR=10$ หน่วย จงหา $PS$

• ส่วนโค้งยาวเท่ากัน คอร์ดจึงยาวเท่ากัน: $RS=10$

• $P\hat{S}R=90^{\circ }$ (มุมในครึ่งวงกลม)

• $PS=\sqrt{26^2-10^2}=\sqrt{576}=24$ หน่วย

3เส้นสัมผัสวงกลม

• เส้นตัดวงกลม ตัดวงกลม 2 จุด

• เส้นสัมผัสวงกลม พบวงกลมเพียง 1 จุด เรียกว่า จุดสัมผัส

ทฤษฎีบทหลัก

1. เส้นสัมผัสวงกลมตั้งฉากกับรัศมีที่จุดสัมผัส

2. บทกลับ: เส้นตรงที่ตั้งฉากกับรัศมีที่ปลายบนวงกลม เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุดนั้น

3. ส่วนของเส้นตรง 2 เส้นที่ลากจากจุดภายนอกวงกลมมาสัมผัสวงกลมเดียวกัน ยาวเท่ากัน

4. มุมที่เกิดจากคอร์ดกับเส้นสัมผัสที่จุดสัมผัส มีขนาดเท่ากับมุมในส่วนโค้งของวงกลมที่อยู่ตรงข้ามกับคอร์ดนั้น

ตัวอย่าง: $PA$ และ $PB$ สัมผัสวงกลม $O$ ที่ $A$ และ $B$ ถ้า $A\hat{P}B=50^{\circ }$ และ $C$ เป็นจุดบนส่วนโค้งใหญ่ จงหา $A\hat{C}B$

• $P\hat{A}O=P\hat{B}O=90^{\circ }$ (เส้นสัมผัสตั้งฉากกับรัศมี)

• $A\hat{O}B=360^{\circ }-(50^{\circ }+90^{\circ }+90^{\circ })=130^{\circ }$

• $A\hat{C}B=\frac{130^{\circ }}{2}=65^{\circ }$

ตัวอย่าง: เส้นตรง $XY$ สัมผัสวงกลมที่จุด $A$ คอร์ด $AB$ ทำมุมกับเส้นสัมผัส $B\hat{A}Y=58^{\circ }$ ถ้า $C$ อยู่บนวงกลมฝั่งตรงข้ามกับมุมนี้ จะได้ $A\hat{C}B=58^{\circ }$ ทันที ตามทฤษฎีบทมุมระหว่างคอร์ดกับเส้นสัมผัส

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

• ใช้ "มุมที่จุดศูนย์กลางเป็นสองเท่า" กับมุมที่รองรับด้วยส่วนโค้งคนละส่วน

• ลืมว่ารัศมียาวเท่ากัน จึงไม่เห็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

• ลืมมุม $90^{\circ }$ ระหว่างเส้นสัมผัสกับรัศมี

• ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยไม่มีมุมฉากยืนยัน