สรุปจำนวนเชิงซ้อน ม.5

จำนวนเชิงซ้อน คือคู่อันดับ $(a,b)$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง นิยมเขียนเป็น $z=a+bi$ โดย $i^2=-1$ เรียก $a$ ว่า ส่วนจริง เขียน $\mathrm{Re}(z)$ และเรียก $b$ ว่า ส่วนจินตภาพ เขียน $\mathrm{Im}(z)$ เซตของจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมดเขียนแทนด้วย $\mathbb{C}$ บทนี้ไล่ตั้งแต่สมบัติเชิงพีชคณิต รากที่สอง กราฟและค่าสัมบูรณ์ รูปเชิงขั้ว รากที่ $n$ ไปจนถึงการแก้สมการพหุนาม

สวัสดีครับ นี่พี่ติว OCM

ที่มาของบทนี้ง่ายมาก สมการ $x^2+1=0$ ไม่มีคำตอบในจำนวนจริง เลยต้องขยายระบบจำนวนออกไป พอได้ $i$ มาแล้ว การคำนวณเกือบทั้งหมดคือพีชคณิตธรรมดา แค่แทน $i^2=-1$ ทุกครั้งที่เจอครับ

สรุปบทนี้ใน 1 ตาราง

1.1 จำนวนเชิงซ้อน

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน $(a,b)$ และ $(c,d)$ นิยามไว้ 3 อย่าง

• การเท่ากัน: $(a,b)=(c,d)$ ก็ต่อเมื่อ $a=c$ และ $b=d$

• การบวก: $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$

• การคูณ: $(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

ตัวอย่าง: $(4,-1)+(-2,3)=(2,2)$ และ $(4,-1)(-2,3)=((4)(-2)-(-1)(3),(4)(3)+(-1)(-2))=(-5,14)$

จำนวนเชิงซ้อน $(a,0)$ ทำตัวเหมือนจำนวนจริง $a$ จึงถือว่าเซตของจำนวนจริงเป็นสับเซตของ $\mathbb{C}$ และเมื่อเขียน $(0,1)$ ด้วย $i$ จะได้ $i^2=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1$ ดังนั้น $(a,b)$ เขียนได้เป็น $a+bi$

• จำนวนจริงคือจำนวนเชิงซ้อนที่ส่วนจินตภาพเป็นศูนย์

• จำนวนเชิงซ้อนที่ส่วนจริงเป็นศูนย์แต่ส่วนจินตภาพไม่เป็นศูนย์ เรียกว่า จำนวนจินตภาพแท้ เช่น $5i$

ในรูป $a+bi$ ก็บวกและคูณแบบพีชคณิตได้เลย แล้วแทน $i^2=-1$

ตัวอย่าง: หาจำนวนจริง $a$ และ $b$ ที่ทำให้ $(a+3i)+(4-2bi)=7-i$

• ส่วนจริง: $a+4=7$ ได้ $a=3$

• ส่วนจินตภาพ: $3-2b=-1$ ได้ $b=2$

กำลังของ $i$ กำหนด $i^0=1$ จะได้ว่า $i^{4m}=1$, $i^{4m+1}=i$, $i^{4m+2}=-1$, $i^{4m+3}=-i$ เมื่อ $m\in \mathbb{N}\cup \{0\}$

ตัวอย่าง: $i^{30}=i^{28}{i}^2=(1)(-1)=-1$

1.2 สมบัติเชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

ระบบจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติปิด การสลับที่ การเปลี่ยนหมู่ การแจกแจง มีเอกลักษณ์และตัวผกผัน เหมือนระบบจำนวนจริง

• เอกลักษณ์การบวก คือ $0$ และ เอกลักษณ์การคูณ คือ $1$

• ตัวผกผันการบวก ของ $z=a+bi$ คือ $-z=-a-bi$ เช่น ตัวผกผันการบวกของ $3-5i$ คือ $-3+5i$

• ตัวผกผันการคูณ ของ $z=a+bi\ne 0$ คือ

เช่น ตัวผกผันการคูณของ $2+i$ คือ $\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i$

การลบ นิยามโดย $z-w=z+(-w)$ และ การหาร นิยามโดย $\frac{z}{w}=z{w}^{-1}$ เมื่อ $w\ne 0$

สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน

สังยุค ของ $z=a+bi$ คือ $\bar{z}=a-bi$ สังเกตว่า $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$ เป็นจำนวนจริง จึงใช้ช่วยหารได้ คือคูณทั้งเศษและส่วนด้วยสังยุคของตัวส่วน

สมบัติของสังยุค สำหรับ $z,z_1,z_2\in \mathbb{C}$

• $\mathrm{Re}(z)=\frac{1}{2}(z+\bar{z})$ และ $\mathrm{Im}(z)=\frac{1}{2i}(z-\bar{z})$

• $\overline{\stackrel{ˉ}{z}}=z$ และ $\overline{\left(\frac{1}{z}\right)}=\frac{1}{\bar{z}}$ เมื่อ $z\ne 0$

• $\overline{z_1+z_2}={\bar{z}}_1+{\bar{z}}_2$ และ $\overline{z_1-z_2}={\bar{z}}_1-{\bar{z}}_2$

• $\overline{z_1{z}_2}={\bar{z}}_1{\bar{z}}_2$ และ $\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{{\bar{z}}_1}{{\bar{z}}_2}$ เมื่อ $z_2\ne 0$

ตัวอย่าง: หา $z$ ที่ $(1-i)z=3+i$

ตรวจ: $(1-i)(1+2i)=1+2i-i-2i^2=3+i$ ถูกต้อง

1.3 รากที่สองของจำนวนเชิงซ้อน

รากที่สอง ของ $z$ คือจำนวนเชิงซ้อน $w$ ที่ $w^2=z$ ถ้า $w$ เป็นรากที่สอง $-w$ ก็เป็นด้วย และจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่ศูนย์มีรากที่สองเพียงสองจำนวน

ให้ $z=a+bi$ และ $r=\sqrt{a^2+b^2}$ รากที่สองของ $z$ คือ

ตัวอย่าง: รากที่สองของ $-5+12i$

• $a=-5$, $b=12$ และ $r=\sqrt{25+144}=13$

• $b\ge 0$ จึงได้ $\pm \left(\sqrt{\frac{13-5}{2}}+\sqrt{\frac{13+5}{2}}i\right)=\pm (2+3i)$

• ตรวจ: $(2+3i{)}^2=4+12i+9i^2=-5+12i$

ถ้า $z=-x$ เมื่อ $x$ เป็นจำนวนจริงบวก รากที่สองคือ $\sqrt{x}i$ และ $-\sqrt{x}i$ เช่น รากที่สองของ $-7$ คือ $\pm \sqrt{7}i$

ความรู้นี้ทำให้สมการกำลังสอง $a{x}^2+bx+c=0$ ที่ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงและ $a\ne 0$ มีคำตอบเสมอ

ตัวอย่าง: แก้ $x^2-4x+13=0$ ได้ $b^2-4ac=16-52=-36<0$ ดังนั้น $x=\frac{4\pm 6i}{2}=2\pm 3i$

1.4 กราฟและค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน

แทน $a+bi$ ด้วยจุด $(a,b)$ หรือเวกเตอร์จากจุด $(0,0)$ ไปจุด $(a,b)$ เรียกแกน X ว่า แกนจริง แกน Y ว่า แกนจินตภาพ และเรียกระนาบนี้ว่า ระนาบเชิงซ้อน

ค่าสัมบูรณ์ ของ $a+bi$ คือระยะจากจุด $(0,0)$ ถึงจุด $(a,b)$

เช่น $|2-5i|=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}$ และ $|-6i|=6$

สมบัติของค่าสัมบูรณ์ สำหรับ $z,z_1,z_2\in \mathbb{C}$

• $|z{|}^2=z\bar{z}$ และ $|z|=|-z|=|\bar{z}|$

• $\left|\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{|z|}$ เมื่อ $z\ne 0$ และ $|z_1{z}_2|=|z_1||z_2|$

• $|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|$ และ $|z_1-z_2|\ge ||z_1|-|z_2||$

$|z_1-z_2|$ คือระยะทางระหว่างจุด $z_1$ กับ $z_2$ บนระนาบเชิงซ้อน จึงใช้เขียนกราฟของเซตได้

• $\{z\mid |z-(1+i)|\le 2\}$ คือจุดบนเส้นรอบวงและภายในวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $(1,1)$ รัศมี 2 หน่วย

• $\{z\mid |z-1|=|z+1|\}$ คือจุดที่ห่างจาก $1$ และ $-1$ เท่ากัน ให้ $z=x+yi$ แล้วยกกำลังสองทั้งสองข้าง จะได้ $x=0$ คือแกนจินตภาพ

1.5 รูปเชิงขั้วของจำนวนเชิงซ้อน

ให้ $z=x+yi\ne 0$ และ $r=|z|$ ถ้า $\theta$ เป็นมุมที่วัดจากแกนจริงด้านบวกไปยังเวกเตอร์ของ $z$ จะได้ $x=r\cos \theta$ และ $y=r\sin \theta$ จึงเขียน

เรียกว่า รูปเชิงขั้ว และเรียก $\theta$ ว่า อาร์กิวเมนต์ ของ $z$ โดย $r=\sqrt{x^2+y^2}$ และ $\tan \theta =\frac{y}{x}$ เมื่อ $x\ne 0$ ถ้า $\theta$ เป็นอาร์กิวเมนต์ $\theta +2k\pi$ ก็เป็นอาร์กิวเมนต์ด้วย เมื่อ $k$ เป็นจำนวนเต็ม

ตัวอย่าง: เขียน $-\sqrt{3}-i$ ในรูปเชิงขั้ว

• $r=\sqrt{3+1}=2$

• $\tan \theta =\frac{-1}{-\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ และจุด $(-\sqrt{3},-1)$ อยู่ในจตุภาคที่ 3 จึงได้ $\theta =\frac{7\pi }{6}$

• $-\sqrt{3}-i=2\left(\cos \frac{7\pi }{6}+i\sin \frac{7\pi }{6}\right)$ และรูปทั่วไปคือ $2\left(\cos \left(\frac{7\pi }{6}+2k\pi \right)+i\sin \left(\frac{7\pi }{6}+2k\pi \right)\right)$ เมื่อ $k\in \mathbb{Z}$

ข้อควรระวัง: ดูจตุภาคก่อนเสมอ ค่า $\tan \theta$ อย่างเดียวบอกได้แค่มุมอ้างอิง จุด $(\sqrt{3},1)$ กับ $(-\sqrt{3},-1)$ มี $\tan \theta$ เท่ากัน แต่อาร์กิวเมนต์ต่างกัน $\pi$

ผลคูณ ผลหาร และสังยุคในรูปเชิงขั้ว

ให้ $z_1=r_1(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)$ และ $z_2=r_2(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2)$ ไม่เป็นศูนย์

• $z_1{z}_2=r_1{r}_2(\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1+{\theta }_2))$

• $\frac{1}{z_2}=\frac{1}{r_2}(\cos {\theta }_2-i\sin {\theta }_2)$

• $\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}(\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1-{\theta }_2))$

• ${\bar{z}}_1=r_1(\cos (-{\theta }_1)+i\sin (-{\theta }_1))$

ตัวอย่าง: $z_1=2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$ และ $z_2=3\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)$

• $z_1{z}_2=6\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)=6i$

• $\frac{z_1}{z_2}=\frac{2}{3}\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{3}i$

ทฤษฎีบทของเดอมัวฟร์

ถ้า $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ ไม่เป็นศูนย์ และ $n$ เป็นจำนวนเต็ม แล้ว

หนังสือพิสูจน์กรณี $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกก่อน แล้วขยายไปกรณี $n=0$ และ $n$ เป็นจำนวนเต็มลบ

ตัวอย่าง: $-1+i=\sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4}\right)$

• $(-1+i{)}^8=(\sqrt{2}{)}^8(\cos 6\pi +i\sin 6\pi )=16$

• $(-1+i{)}^{-2}=\frac{1}{2}\left(\cos \left(-\frac{3\pi }{2}\right)+i\sin \left(-\frac{3\pi }{2}\right)\right)=\frac{1}{2}i$

1.6 รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน

ให้ $w$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนและ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก รากที่ $n$ ของ $w$ คือจำนวนเชิงซ้อน $z$ ที่ $z^n=w$

ถ้า $w=r(\cos \theta +i\sin \theta )\ne 0$ รากที่ $n$ ของ $w$ มี $n$ รากที่แตกต่างกัน คือ

เวกเตอร์ของรากทุกตัวยาว $\sqrt[n]{r}$ หน่วย และคู่ที่อยู่ติดกันทำมุม $\frac{2\pi }{n}$ เท่ากันทุกคู่

ตัวอย่าง: รากที่ 3 ของ $8i=8\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)$

• $\sqrt[3]{8}=2$ และมุมคือ $\frac{\pi /2+2k\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3}$

• $k=0$: $2\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{3}+i$

• $k=1$: $2\left(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6}\right)=-\sqrt{3}+i$

• $k=2$: $2\left(\cos \frac{3\pi }{2}+i\sin \frac{3\pi }{2}\right)=-2i$

ทั้งสามรากอยู่บนวงกลมรัศมี 2 ห่างกันทีละ $\frac{2\pi }{3}$ หรือ $120^{\circ }$

1.7 สมการพหุนามตัวแปรเดียว

• ทฤษฎีบทหลักมูลของพีชคณิต: ถ้า $p(x)$ เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงและมีดีกรีมากกว่าศูนย์ สมการ $p(x)=0$ มีคำตอบที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนอย่างน้อยหนึ่งคำตอบ

• ทฤษฎีบทตัวประกอบ: พหุนาม $p(x)$ มี $x-c$ เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมื่อ $p(c)=0$

• ทฤษฎีบทตัวประกอบตรรกยะ: ถ้า $p(x)=a_n{x}^n+\cdots +a_{1}x+a_0$ มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และ $x-\frac{k}{m}$ เป็นตัวประกอบ โดย ห.ร.ม. ของ $m$ และ $k$ เท่ากับ 1 แล้ว $m$ หาร $a_n$ ลงตัว และ $k$ หาร $a_0$ ลงตัว

• สมการพหุนามดีกรี $n\ge 1$ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง มีคำตอบเป็นจำนวนเชิงซ้อน ทั้งหมด $n$ คำตอบ เมื่อนับคำตอบที่ซ้ำกัน

• ถ้า $z$ เป็นคำตอบของสมการพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง แล้ว $\bar{z}$ เป็นคำตอบด้วย

ตัวอย่าง: หาเซตคำตอบของ $2x^3-3x^2+8x+5=0$

• ตัวที่อาจเป็น $\frac{k}{m}$ คือ $\pm 1,\pm 5,\pm \frac{1}{2},\pm \frac{5}{2}$

• ลอง $x=-\frac{1}{2}$: $2\left(-\frac{1}{8}\right)-3\left(\frac{1}{4}\right)+8\left(-\frac{1}{2}\right)+5=0$ ดังนั้น $2x+1$ เป็นตัวประกอบ

• หารได้ $(2x+1)(x^2-2x+5)=0$ และ $x^2-2x+5=0$ ให้ $x=\frac{2\pm \sqrt{16}i}{2}=1\pm 2i$

• เซตคำตอบคือ $\left\{-\frac{1}{2},1+2i,1-2i\right\}$

ตัวอย่าง: หาสมการพหุนามดีกรี 3 ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม มี $2$ และ $1-i$ เป็นคำตอบ และมี 1 เป็นสัมประสิทธิ์นำ

• สัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง จึงมี $1+i$ เป็นคำตอบด้วย

• $(x-(1-i))(x-(1+i))=x^2-2x+2$

• $(x-2)(x^2-2x+2)=x^3-4x^2+6x-4$ สมการคือ $x^3-4x^2+6x-4=0$

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

• คูณแล้วลืมแทน $i^2=-1$

• หารโดยคูณสังยุคแค่ตัวส่วน ไม่คูณตัวเศษด้วย

• หาอาร์กิวเมนต์จาก $\tan \theta$ อย่างเดียวโดยไม่ดูจตุภาค

• หารากที่ $n$ ได้รากเดียว ทั้งที่มี $n$ ราก

• ใช้เรื่องรากที่เป็นสังยุคกับพหุนามที่สัมประสิทธิ์ไม่เป็นจำนวนจริง