สรุปความเท่ากันทุกประการ ม.2

ความเท่ากันทุกประการ คือรูปเรขาคณิตสองรูปที่ทับกันได้สนิท มีขนาดและรูปร่างเหมือนกันทุกส่วน สำหรับรูปสามเหลี่ยม ไม่ต้องตรวจครบทั้ง 6 ส่วน ใช้เงื่อนไข ด.ม.ด., ม.ด.ม., ด.ด.ด., ม.ม.ด. และ ฉ.ด.ด. อย่างใดอย่างหนึ่งก็พอ บทนี้เรียนใน ม.2 เทอม 2 และใช้พิสูจน์ในบทการให้เหตุผลทางเรขาคณิต

สวัสดีครับ นี่พี่ติว OCM

หัวใจของบทนี้คือ "จับคู่ส่วนที่สมนัยกันให้ถูก" ถ้าจับคู่ผิดตั้งแต่ต้น ต่อให้เงื่อนไขถูกก็ได้คะแนนไม่เต็มครับ

สรุปบทนี้ใน 1 ตาราง

1ความเท่ากันทุกประการของรูปเรขาคณิต

รูปสองรูป เท่ากันทุกประการ เมื่อเคลื่อนที่รูปหนึ่ง (เลื่อนขนาน สะท้อน หรือหมุน) ไปทับอีกรูปได้สนิท

• ส่วนของเส้นตรงสองเส้นเท่ากันทุกประการ เมื่อยาวเท่ากัน

• มุมสองมุมเท่ากันทุกประการ เมื่อมีขนาดเท่ากัน

ส่วนที่ทับกันได้สนิทเรียกว่า ส่วนที่สมนัยกัน เขียนแทนความเท่ากันทุกประการด้วยสัญลักษณ์ $\cong$

สมบัติที่ใช้ได้เสมอ เมื่อรูป A, B, C เป็นรูปเรขาคณิตใด ๆ

• สมบัติสะท้อน: รูป A $\cong$ รูป A

• สมบัติสมมาตร: ถ้ารูป A $\cong$ รูป B แล้วรูป B $\cong$ รูป A

• สมบัติถ่ายทอด: ถ้ารูป A $\cong$ รูป B และรูป B $\cong$ รูป C แล้วรูป A $\cong$ รูป C

2ความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม

$△ABC\cong △DEF$ หมายถึง

• ด้านที่สมนัยกันยาวเท่ากัน: $AB=DE$, $BC=EF$, $CA=FD$

• มุมที่สมนัยกันมีขนาดเท่ากัน: $\hat{A}=\hat{D}$, $\hat{B}=\hat{E}$, $\hat{C}=\hat{F}$

ลำดับตัวอักษรสำคัญมาก $A$ คู่กับ $D$, $B$ คู่กับ $E$, $C$ คู่กับ $F$ ตามตำแหน่ง

3เงื่อนไข 5 แบบ

เงื่อนไขที่ใช้ไม่ได้

• ม.ม.ม. มุมเท่ากันทั้งสามคู่ แต่รูปอาจเล็กใหญ่ต่างกัน จึงทับกันสนิทไม่ได้

• ด.ด.ม. ที่มุมไม่อยู่ระหว่างด้านสองด้าน สร้างสามเหลี่ยมได้มากกว่าหนึ่งรูป ยกเว้นกรณีมุมฉาก ซึ่งก็คือ ฉ.ด.ด.

4เขียนการพิสูจน์ให้ครบ

รูปแบบที่ใช้บ่อย

1. บอกสิ่งที่กำหนดให้ และสิ่งที่ต้องการพิสูจน์

2. จับคู่ส่วนที่เท่ากันทีละคู่ พร้อมเหตุผล เช่น "กำหนดให้" "ด้านร่วม" "มุมตรงข้ามเท่ากัน"

3. สรุปว่า $△\_\_\_\cong △\_\_\_$ ด้วยเงื่อนไขอะไร

4. สรุปส่วนที่ต้องการ โดยเหตุผล "ส่วนที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ"

ตัวอย่าง: กำหนด $AB=AC$ และ $AD$ แบ่งครึ่ง $\hat{A}$ โดย $D$ อยู่บน $BC$ จงพิสูจน์ว่า $BD=CD$

• $AB=AC$ (กำหนดให้)

• $B\hat{A}D=C\hat{A}D$ ($AD$ แบ่งครึ่ง $\hat{A}$)

• $AD=AD$ (ด้านร่วม)

• ดังนั้น $△ABD\cong △ACD$ (ด.ม.ด.)

• จึงได้ $BD=CD$ (ด้านคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ)

5สมบัติของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

ใช้ความเท่ากันทุกประการพิสูจน์แบบตัวอย่างด้านบน จะได้สมบัติของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว (ด้านประกอบมุมยอดยาวเท่ากัน) ดังนี้

• เส้นแบ่งครึ่งมุมยอด แบ่งรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วออกเป็นรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เท่ากันทุกประการ

• มุมที่ฐานมีขนาดเท่ากัน

• เส้นแบ่งครึ่งมุมยอด แบ่งครึ่งฐาน และตั้งฉากกับฐาน

• กลับกันก็จริง: เส้นที่ลากจากมุมยอดมาแบ่งครึ่งฐาน หรือลากมาตั้งฉากกับฐาน จะแบ่งครึ่งมุมยอดด้วย

ตัวอย่าง: $△PQR$ มี $PQ=PR$ และ $\hat{Q}=70^{\circ }$ จะได้ $\hat{R}=70^{\circ }$ (มุมที่ฐานเท่ากัน) และ $\hat{P}=180^{\circ }-70^{\circ }-70^{\circ }=40^{\circ }$

6การนำไปใช้

ใช้หาระยะที่วัดตรง ๆ ไม่ได้ เช่น ความกว้างของแม่น้ำ หรือบ่อน้ำ โดยสร้างสามเหลี่ยมอีกรูปบนพื้นที่วัดได้ให้เท่ากันทุกประการ แล้ววัดด้านที่สมนัยกันแทน

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

• เขียน $△ABC\cong △DEF$ โดยเรียงจุดยอดไม่ตรงกับคู่ที่สมนัยกัน

• ใช้ ด.ม.ด. ทั้งที่มุมไม่ได้อยู่ระหว่างด้านสองด้าน

• สรุปว่าเท่ากันทุกประการจาก ม.ม.ม.

• ใช้ ม.ม.ด. แต่เลือกด้านที่ไม่ได้อยู่ตรงข้ามกับมุมคู่ที่สมนัยกัน

• ลืมเขียนเหตุผลกำกับแต่ละบรรทัด