สรุปหลักการนับเบื้องต้น ม.5

หลักการนับเบื้องต้น คือวิธีนับจำนวนวิธีการทำงาน จำนวนสิ่งของ หรือจำนวนเหตุการณ์ โดยไม่ต้องแจกแจงทุกกรณี เครื่องมือหลักมี หลักการบวก หลักการคูณ การเรียงสับเปลี่ยน ($P_{n,r}=\frac{n!}{(n-r)!}$) และ การจัดหมู่ ($C_{n,r}=\frac{n!}{(n-r)!r!}$) ข้อต่างสำคัญคือ การเรียงสับเปลี่ยนสนใจลำดับ แต่การจัดหมู่ไม่สนใจลำดับ แล้วปิดบทด้วยทฤษฎีบททวินาม

สวัสดีครับ นี่พี่ติว OCM

บทนี้สูตรน้อย แต่ต้องถามตัวเองให้ถูกสองข้อ คือ "ลำดับมีผลไหม" และ "ของเหมือนกันหรือเปล่า" ตอบสองข้อนี้ได้ก็เลือกวิธีนับถูกแล้วครับ

สรุปบทนี้ใน 1 ตาราง

2.1 หลักการบวกและหลักการคูณ

หลักการบวก: ถ้าแบ่งวิธีทำงานออกเป็น $k$ กรณี กรณีที่ 1 ทำได้ $n_1$ วิธี กรณีที่ 2 ทำได้ $n_2$ วิธี ไปจนถึงกรณีที่ $k$ ทำได้ $n_k$ วิธี โดยวิธีในแต่ละกรณีไม่ซ้ำซ้อนกัน และแต่ละกรณีทำให้งานเสร็จสมบูรณ์ จะทำงานนี้ได้ $n_1+n_2+\cdots +n_k$ วิธี

ตัวอย่าง: ร้านมีเครื่องดื่มร้อน 4 อย่าง และเครื่องดื่มเย็น 5 อย่าง สั่งเครื่องดื่ม 1 แก้ว เลือกได้ $4+5=9$ วิธี

หลักการคูณ: ถ้าแบ่งการทำงานเป็น $k$ ขั้นตอนที่ต้องทำต่อเนื่องกัน ขั้นตอนที่ 1 ทำได้ $n_1$ วิธี ในแต่ละวิธีนั้นทำขั้นตอนที่ 2 ต่อได้ $n_2$ วิธี ไปจนถึงขั้นตอนที่ $k$ ทำได้ $n_k$ วิธี จะทำงานนี้ได้ $n_1\times n_2\times \cdots \times n_k$ วิธี

ความต่างคือ หลักการบวกใช้เมื่อ แต่ละกรณีทำให้งานเสร็จได้เลย ส่วนหลักการคูณใช้เมื่อ ต้องทำครบทุกขั้นตอนงานจึงเสร็จ

ตัวอย่าง: สร้างจำนวนสี่หลักจากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 โดยแต่ละหลักใช้เลขโดดไม่ซ้ำกัน

• หลักพันห้ามเป็น 0: เลือกได้ 5 วิธี

• หลักร้อย: เหลือเลขโดด 5 ตัว (รวม 0) เลือกได้ 5 วิธี

• หลักสิบ: 4 วิธี และหลักหน่วย: 3 วิธี

• สร้างได้ $(5)(5)(4)(3)=300$ จำนวน

เคล็ดลับ: ตำแหน่งที่มีเงื่อนไข ให้เลือกก่อน ถ้าเงื่อนไขทำให้ต้องแยกกรณี (เช่น จำนวนคู่ที่หลักหน่วยเป็น 0 หรือไม่เป็น 0) ให้นับแต่ละกรณีด้วยหลักการคูณ แล้วรวมด้วยหลักการบวก

2.2 การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด

การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น คือการนำสิ่งของมาจัดเรียงในแนวเส้นตรง ถ้าลำดับต่างกันถือว่าเป็นคนละแบบ

แฟกทอเรียล $n$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก คือผลคูณของจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถึง $n$

• เรียงของที่แตกต่างกันทั้งหมด $n$ ชิ้น ได้ $n!$ วิธี

• นำของ $r$ ชิ้นจากของที่แตกต่างกัน $n$ ชิ้น มาเรียง โดย $0\le r\le n$ ได้

ตัวอย่าง: นักวิ่ง 8 คน แข่งชิงเหรียญทอง เงิน ทองแดง ได้ผลต่างกัน $P_{8,3}=\frac{8!}{5!}=(8)(7)(6)=336$ แบบ

ตัวอย่าง: เรียงหนังสือที่แตกต่างกัน 6 เล่มบนชั้น โดยหนังสือ 2 เล่มที่กำหนดต้องอยู่ติดกัน

• มัด 2 เล่มนั้นเป็น 1 มัด เหลือ 5 หน่วย เรียงได้ $5!$ วิธี

• ในมัดสลับกันได้ $2!$ วิธี

• รวม $5!\times 2!=(120)(2)=240$ วิธี

2.3 การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่ไม่แตกต่างกันทั้งหมด

ถ้ามีของ $n$ ชิ้น ในจำนวนนี้มี $n_1$ ชิ้นที่เหมือนกันเป็นกลุ่มที่หนึ่ง $n_2$ ชิ้นที่เหมือนกันเป็นกลุ่มที่สอง ไปจนถึง $n_k$ ชิ้นที่เหมือนกันเป็นกลุ่มที่ $k$ โดย $n_1+n_2+\cdots +n_k=n$ จะเรียงได้

เหตุผลคือ ถ้ามองของทุกชิ้นว่าต่างกัน จะเรียงได้ $n!$ วิธี แต่การสลับของที่เหมือนกันภายในกลุ่มไม่ได้ทำให้เกิดแบบใหม่ จึงต้องหารออก

ตัวอย่าง: เรียงตัวอักษรในคำว่า BANANA (A มี 3 ตัว N มี 2 ตัว B มี 1 ตัว)

2.4 การเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมของสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด

การเรียงเป็นวงกลม ถ้าหมุนทั้งวงแล้วได้ลำดับเดิม ถือว่าเป็นแบบเดียวกัน จึงให้สิ่งของชิ้นหนึ่งอยู่คงที่ แล้วเรียงอีก $n-1$ ชิ้นที่เหลือ

ตัวอย่าง: 7 คนนั่งรอบโต๊ะกลมที่มี 7 ที่นั่ง จัดได้ $(7-1)!=6!=720$ วิธี

ตัวอย่าง: 6 คนนั่งรอบโต๊ะกลม โดย 2 คนที่กำหนดต้องนั่งติดกัน มัดสองคนเป็น 1 หน่วย เหลือ 5 หน่วย จัดเป็นวงกลมได้ $4!$ วิธี และสองคนสลับกันได้ 2 วิธี รวม $(24)(2)=48$ วิธี

2.5 การจัดหมู่ของสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด

การจัดหมู่ คือการเลือกกลุ่มของสิ่งของ โดยไม่พิจารณาลำดับ ของ $r$ ชิ้นชุดเดียวกันเรียงได้ $r!$ แบบ แต่นับเป็นกลุ่มเดียว จึงได้

และ $C_{n,r}=C_{n,n-r}$ คือเลือก $r$ ชิ้นไปใช้ ก็เท่ากับเลือก $n-r$ ชิ้นไว้ไม่ใช้

ตัวอย่าง: เลือกนักเรียน 3 คนจาก 9 คน ไปแข่งเป็นทีม ได้ $C_{9,3}=\frac{9!}{6!3!}=\frac{(9)(8)(7)}{(3)(2)(1)}=84$ วิธี

ตัวอย่าง: เลือกกรรมการชาย 2 คนจาก 5 คน และหญิง 2 คนจาก 4 คน ใช้หลักการคูณ ได้ $C_{5,2}\times C_{4,2}=(10)(6)=60$ วิธี

ใช้ $P$ หรือ $C$

2.6 ทฤษฎีบททวินาม

ให้ $x,y$ เป็นจำนวนจริง และ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก

เรียก $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)$ เมื่อ $r\in \{0,1,2,\dots ,n\}$ ว่า สัมประสิทธิ์ทวินาม ซึ่งก็คือสัมประสิทธิ์ของพจน์ $x^{n-r}{y}^r$

ตัวอย่าง: กระจาย $(x-3{)}^4$

ตัวอย่าง: หาสัมประสิทธิ์ของ $x^2{y}^3$ จากการกระจาย $(2x+y{)}^5$

• พจน์ที่มี $y^3$ คือ $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)(2x{)}^2{y}^3$

• $=(10)(4)x^2{y}^3=40x^2{y}^3$ สัมประสิทธิ์คือ $40$

เมื่อเรียงสัมประสิทธิ์ทวินามของ $(x+y{)}^0,(x+y{)}^1,(x+y{)}^2,\dots$ เป็นแถว จะได้ รูปสามเหลี่ยมปาสกาล

• ตัวแรกและตัวสุดท้ายของทุกแถวเป็น 1

• ตัวอื่นเท่ากับผลบวกของสองจำนวนที่อยู่ทางซ้ายและทางขวาในแถวบน คือ $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{r}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r-1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)$

• แทน $x=y=1$ ในทฤษฎีบททวินาม ได้ $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)+\cdots +\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n}\right)=2^n$

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

• ใช้การเรียงสับเปลี่ยนกับโจทย์เลือกกลุ่ม หรือใช้การจัดหมู่กับโจทย์ที่ตำแหน่งต่างกัน

• สร้างจำนวนแล้วลืมว่าหลักแรกห้ามเป็น 0

• เรียงเป็นวงกลมแล้วใช้ $n!$ แทน $(n-1)!$

• แยกกรณีแล้วคูณกัน ทั้งที่ต้องบวก (หรือกลับกัน)

• หาสัมประสิทธิ์ทวินามแล้วลืมยกกำลังตัวเลขที่ติดมากับ $x$ หรือ $y$