สรุปความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ม.4

ฟังก์ชัน คือความสัมพันธ์ที่สมาชิกแต่ละตัวในโดเมนจับคู่กับสมาชิกในเรนจ์ เพียงตัวเดียว บทความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ม.4 (คณิตเพิ่มเติม เทอม 2) เริ่มจากผลคูณคาร์ทีเซียน ความสัมพันธ์ โดเมนและเรนจ์ แล้วไปต่อที่ฟังก์ชัน การใช้ฟังก์ชันในชีวิตจริง กราฟและการเลื่อนกราฟ การดำเนินการของฟังก์ชัน ฟังก์ชันประกอบ และฟังก์ชันผกผัน

สวัสดีครับ นี่พี่ติว OCM

บทนี้เป็นฐานของทั้งเทอม บทเอกซ์โพเนนเชียลกับลอการิทึมที่ตามมาใช้เรื่องฟังก์ชันผกผันตรง ๆ เลย อ่านให้แม่นตั้งแต่ตอนนี้จะสบายไปอีกยาวครับ

สรุปบทนี้ใน 1 ตาราง

1ผลคูณคาร์ทีเซียนและความสัมพันธ์

คู่อันดับ $(a,b)$ มี $a$ เป็นสมาชิกตัวหน้า และ $b$ เป็นสมาชิกตัวหลัง สองคู่เท่ากันเมื่อตัวหน้าเท่ากันและตัวหลังเท่ากัน คือ $(a,b)=(c,d)$ ก็ต่อเมื่อ $a=c$ และ $b=d$

ผลคูณคาร์ทีเซียน ของเซต $A$ และเซต $B$ คือเซตของคู่อันดับ $(a,b)$ ทั้งหมดที่ $a\in A$ และ $b\in B$

ตัวอย่าง: ถ้า $A=\{4,7\}$ และ $B=\{p,q\}$ จะได้ $A\times B=\{(4,p),(4,q),(7,p),(7,q)\}$ ซึ่งไม่เท่ากับ $B\times A$

ความสัมพันธ์จาก $A$ ไป $B$ คือสับเซตของ $A\times B$ ถ้า $r\subset A\times A$ เรียกว่าความสัมพันธ์บนเซต $A$

• โดเมน ($D_r$) คือเซตของสมาชิกตัวหน้าของทุกคู่อันดับใน $r$

• เรนจ์ ($R_r$) คือเซตของสมาชิกตัวหลังของทุกคู่อันดับใน $r$

ตัวอย่าง: $r=\{(2,6),(5,1),(5,8)\}$ ได้ $D_r=\{2,5\}$ และ $R_r=\{1,6,8\}$

หาโดเมนและเรนจ์จากสมการ

1. โดเมน: เขียน $y$ ในรูปของ $x$ แล้วดูว่า $x$ ต้องเป็นอะไรจึงหาค่า $y$ ที่เป็นจำนวนจริงได้

2. เรนจ์: เขียน $x$ ในรูปของ $y$ แล้วดูว่า $y$ ต้องเป็นอะไร

จุดที่ต้องเช็กก่อนเสมอ คือตัวส่วนห้ามเป็นศูนย์ และค่าภายในรากที่สองต้องไม่ติดลบ

ตัวอย่าง: $r=\{(x,y)\mid y=\sqrt{6-x}\}$ ต้องมี $6-x\ge 0$ จึงได้ $D_r=(-\infty ,6]$ และเพราะรากที่สองไม่ติดลบ $R_r=[0,\infty )$

ตัวผกผันของความสัมพันธ์

ตัวผกผันของความสัมพันธ์ $r$ เขียนแทนด้วย $r^{-1}$ ได้จากการสลับสมาชิกตัวหน้ากับตัวหลังในทุกคู่อันดับ ดังนั้น $D_{r^{-1}}=R_r$ และ $R_{r^{-1}}=D_r$ กราฟของ $r^{-1}$ คือภาพสะท้อนของกราฟ $r$ ข้ามเส้นตรง $y=x$

2ฟังก์ชันและการตรวจสอบ

ฟังก์ชัน คือความสัมพันธ์ซึ่งคู่อันดับสองคู่ใด ๆ ถ้ามีสมาชิกตัวหน้าเหมือนกันแล้ว สมาชิกตัวหลังต้องเหมือนกัน

พูดง่าย ๆ คือ ตัวหน้าตัวเดียวห้ามแตกไปสองค่า แต่ตัวหลังซ้ำกันได้

ตรวจจากกราฟ: ลากเส้นขนานกับแกน $Y$ ถ้ามีเส้นใดตัดกราฟมากกว่า 1 จุด ความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน เช่น กราฟของ $y^2=x$ ไม่เป็นฟังก์ชัน

ถ้า $(x,y)\in f$ เขียนแทนด้วย $y=f(x)$ เรียก $f(x)$ ว่าค่าของฟังก์ชัน $f$ ที่ $x$ เช่น $f(x)=x^2+3x$ จะได้ $f(-2)=4-6=-2$

3ชนิดของฟังก์ชัน

ตัวอย่าง: $f(x)=4x-7$ ถ้า $4x_1-7=4x_2-7$ จะได้ $x_1=x_2$ จึงเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ส่วน $g(x)=x^2$ บน $\mathbb{R}$ ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เพราะ $g(3)=g(-3)=9$

ตรวจจากกราฟ: ลากเส้นขนานกับแกน $X$ ถ้าทุกเส้นตัดกราฟไม่เกิน 1 จุด ฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

ฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด

ให้ $x_1,x_2$ เป็นจำนวนใด ๆ ในเซต $A$ ที่ $x_1<x_2$

• $f$ เป็น ฟังก์ชันเพิ่ม บน $A$ เมื่อ $f(x_1)<f(x_2)$ กราฟสูงขึ้นจากซ้ายไปขวา

• $f$ เป็น ฟังก์ชันลด บน $A$ เมื่อ $f(x_1)>f(x_2)$ กราฟต่ำลงจากซ้ายไปขวา

ตัวอย่าง: $g(x)=5-2x$ ถ้า $x_1<x_2$ จะได้ $-2x_1>-2x_2$ ดังนั้น $5-2x_1>5-2x_2$ นั่นคือ $g$ เป็นฟังก์ชันลดบน $\mathbb{R}$

4การใช้ฟังก์ชันในชีวิตจริง

ฟังก์ชันเชิงเส้น คือ $f(x)=ax+b$ เมื่อ $a,b$ เป็นจำนวนจริง กราฟเป็นเส้นตรง ถ้า $a=0$ จะได้ $f(x)=b$ เรียกว่า ฟังก์ชันคงตัว

ตัวอย่าง: ร้านน้ำผลไม้ขายแก้วละ 25 บาท มีค่าใช้จ่ายคงที่เดือนละ 1,800 บาท และค่าวัตถุดิบแก้วละ 13 บาท ถ้าขายได้ $x$ แก้วต่อเดือน

• ต้นทุน $C(x)=13x+1,800$

• รายได้ $R(x)=25x$

• จุดคุ้มทุนคือ $25x=13x+1,800$ ได้ $x=150$ แก้ว

ฟังก์ชันกำลังสอง คือ $f(x)=a{x}^2+bx+c$ เมื่อ $a\ne 0$ กราฟเรียกว่า พาราโบลา ถ้า $a>0$ เป็นเส้นโค้งหงาย ถ้า $a<0$ เป็นเส้นโค้งคว่ำ

จัดให้อยู่ในรูป $y=a(x-h{)}^2+k$ จะได้ จุดวกกลับ $(h,k)$ ซึ่งเป็นจุดที่ฟังก์ชันมีค่าต่ำสุด (เมื่อ $a>0$) หรือค่าสูงสุด (เมื่อ $a<0$) จุดวกกลับเขียนได้อีกแบบเป็น $\left(-\frac{b}{2a},f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$

ตัวอย่าง: มีลวดยาว 40 เมตร ล้อมเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก ถ้าด้านหนึ่งยาว $x$ เมตร อีกด้านยาว $20-x$ เมตร พื้นที่คือ

จุดวกกลับคือ $(10,100)$ พื้นที่มากที่สุดคือ 100 ตารางเมตร เมื่อล้อมเป็นจัตุรัสด้านละ 10 เมตร

ฟังก์ชันคงตัว ฟังก์ชันเชิงเส้น และฟังก์ชันกำลังสอง เป็นกรณีเฉพาะของ ฟังก์ชันพหุนาม $f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ

5กราฟของฟังก์ชันและการเลื่อนกราฟ

กราฟของฟังก์ชันคือกราฟของ $y=f(x)$ หาจุดตัดแกน $Y$ โดยแทน $x=0$ และหาจุดตัดแกน $X$ โดยแทน $y=0$

กราฟที่ควรรู้จักในบทนี้

• $f(x)=\frac{1}{x}$ ไม่ตัดแกน $X$ และแกน $Y$ กราฟเข้าใกล้แกนทั้งสองเรื่อย ๆ

• ฟังก์ชันที่กำหนดค่าเป็นช่วง เช่น $f(x)=|x|$ คือ $y=x$ เมื่อ $x\ge 0$ และ $y=-x$ เมื่อ $x<0$

• ฟังก์ชันขั้นบันได คือฟังก์ชันที่แบ่งโดเมนเป็นช่วงย่อย แต่ละช่วงมีค่าคงตัว เช่น ค่าส่งพัสดุตามน้ำหนัก

การเลื่อนกราฟขนานแกน

ถ้ารู้กราฟ $y=f(x)$ แล้ว เมื่อ $c>0$

ตัวอย่าง: $y=|x+1|-4$ คือกราฟของ $y=|x|$ เลื่อนไปทางซ้าย 1 หน่วย แล้วเลื่อนลง 4 หน่วย มุมของกราฟย้ายจาก $(0,0)$ ไปอยู่ที่ $(-1,-4)$

6การดำเนินการของฟังก์ชัน

ให้ $f$ และ $g$ เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของ $\mathbb{R}$

• $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$

• $(f-g)(x)=f(x)-g(x)$

• $(fg)(x)=f(x)g(x)$

• $\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ เมื่อ $g(x)\ne 0$

โดเมนของ $f+g$, $f-g$ และ $fg$ คือ $D_f\cap D_g$ ส่วนโดเมนของ $\frac{f}{g}$ คือ $D_f\cap D_g-\{x\in D_g\mid g(x)=0\}$

ตัวอย่าง: $f(x)=\sqrt{x}$ และ $g(x)=x-3$ ได้ $D_f\cap D_g=[0,\infty )$ แต่ $g(3)=0$ โดเมนของ $\frac{f}{g}$ จึงเป็น $[0,3)\cup (3,\infty )$

ฟังก์ชันประกอบ

ให้ $f$ และ $g$ เป็นฟังก์ชัน และ $R_f\cap D_g\ne \varnothing$ ฟังก์ชันประกอบ $g\circ f$ (อ่านว่า จีโอเอฟ) คือ

ทำ $f$ ก่อน แล้วเอาผลไปเข้า $g$

ตัวอย่าง: $f(x)=3x-2$ และ $g(x)=x^2$

• $(g\circ f)(x)=g(3x-2)=9x^2-12x+4$

• $(f\circ g)(x)=f(x^2)=3x^2-2$

ผลไม่เท่ากัน ลำดับจึงสำคัญ

7ฟังก์ชันผกผัน

ตัวผกผันของฟังก์ชันไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันเสมอไป ถ้าตัวผกผันของ $f$ เป็นฟังก์ชัน เรียกว่า ฟังก์ชันผกผัน เขียนแทนด้วย $f^{-1}$

วิธีหา $f^{-1}$

1. เขียน $y=f(x)$

2. หา $x$ ในพจน์ของ $y$

3. สลับ $x$ กับ $y$ จะได้ $y=f^{-1}(x)$ โดย $D_{f^{-1}}=R_f$

ตัวอย่างที่ 1: $f(x)=4x-3$ ได้ $x=\frac{y+3}{4}$ ดังนั้น $f^{-1}(x)=\frac{x+3}{4}$

ตัวอย่างที่ 2: $f(x)=\sqrt{x-1}+3$ ซึ่งมี $R_f=[3,\infty )$

• $y-3=\sqrt{x-1}$ โดย $y\ge 3$

• ยกกำลังสอง: $x=(y-3{)}^2+1$

• สลับ $x$ กับ $y$: $f^{-1}(x)=(x-3{)}^2+1$ โดย $D_{f^{-1}}=[3,\infty )$

กราฟของ $f$ และ $f^{-1}$ สะท้อนกันข้ามเส้นตรง $y=x$

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

• ลืมตัด $x$ ที่ทำให้ $g(x)=0$ ตอนหาโดเมนของ $\frac{f}{g}$

• สลับลำดับ $f\circ g$ กับ $g\circ f$

• เลื่อนกราฟ $f(x-c)$ ผิดทาง

• หาสูตร $f^{-1}$ ได้แล้วแต่ลืมจำกัดโดเมนให้เท่ากับ $R_f$

• ตอบว่า $y=x^2$ บน $\mathbb{R}$ มีฟังก์ชันผกผัน ทั้งที่ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง