สรุปการสร้างทางเรขาคณิต ม.1

การสร้างทางเรขาคณิต คือการสร้างรูปด้วย วงเวียนและสันตรง (ไม้บรรทัดที่ไม่ใช้วัดความยาว) โดยไม่ใช้ไม้โปรแทรกเตอร์ บทนี้เรียนใน ม.1 เทอม 1 ครอบคลุมรูปเรขาคณิตพื้นฐาน การสร้างพื้นฐาน 6 ข้อ และการนำการสร้างพื้นฐานไปสร้างรูปสองมิติ

สวัสดีครับ นี่พี่ติว OCM

บทนี้ไม่ต้องคำนวณเยอะ แต่ต้องจำขั้นตอนการสร้างให้แม่น ข้อสอบชอบถามว่า "ขั้นตอนต่อไปคืออะไร" หรือ "รอยโค้งนี้ใช้รัศมีเท่าไร" ครับ

สรุปบทนี้ใน 1 ตาราง

1รูปเรขาคณิตพื้นฐาน

2การสร้างพื้นฐานทางเรขาคณิต

ทุกการสร้างใช้แค่วงเวียนกับสันตรง หลักคิดคือ จุดที่อยู่บนส่วนโค้งเดียวกันอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากัน

แต่ละการสร้างด้านล่างมีภาพเคลื่อนไหวให้ดูทีละขั้น กดขั้นถัดไปช้า ๆ แล้วถามตัวเองทุกขั้นว่า ส่วนโค้งนี้ใช้จุดไหนเป็นจุดศูนย์กลาง และรัศมีเท่าไร ถ้าตอบได้ทุกขั้น ข้อสอบบทนี้แทบไม่มีอะไรยากแล้วครับ

การสร้างพื้นฐานข้อที่ 1: สร้างส่วนของเส้นตรงให้ยาวเท่ากับที่กำหนด

1. ลากรังสี $\overrightarrow{PQ}$

2. กางวงเวียนยาวเท่ากับ $\overline{AB}$

3. ใช้ $P$ เป็นจุดศูนย์กลาง เขียนส่วนโค้งตัดรังสีที่จุด $R$

4. ได้ $PR=AB$

การสร้างพื้นฐานข้อที่ 2: แบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรง

1. กางวงเวียนยาว เกินครึ่ง ของ $\overline{AB}$

2. ใช้ $A$ และ $B$ เป็นจุดศูนย์กลาง เขียนส่วนโค้งด้านบนและด้านล่างให้ตัดกันที่ $C$ และ $D$

3. ลาก $\overline{CD}$ ตัด $\overline{AB}$ ที่ $M$

4. $M$ เป็นจุดกึ่งกลาง และ $\overline{CD}$ ตั้งฉากกับ $\overline{AB}$ ด้วย (เรียกว่า เส้นแบ่งครึ่งและตั้งฉาก)

การสร้างพื้นฐานข้อที่ 3: สร้างมุมให้มีขนาดเท่ากับมุมที่กำหนด

1. ที่มุม $\angle ABC$ ใช้ $B$ เป็นจุดศูนย์กลาง เขียนส่วนโค้งตัดแขนมุมที่ $D$, $E$

2. ลากรังสี $\overrightarrow{QR}$ ใช้ $Q$ เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมีเท่าเดิม เขียนส่วนโค้งตัดรังสีที่ $S$

3. กางวงเวียนยาวเท่า $DE$ ใช้ $S$ เป็นจุดศูนย์กลาง เขียนส่วนโค้งตัดส่วนโค้งเดิมที่ $T$

4. ลาก $\overrightarrow{QT}$ ได้ $T\hat{Q}S=A\hat{B}C$

การสร้างพื้นฐานข้อที่ 4: แบ่งครึ่งมุม

1. ใช้จุดยอดมุม $B$ เป็นจุดศูนย์กลาง เขียนส่วนโค้งตัดแขนมุมที่ $D$, $E$

2. ใช้ $D$ และ $E$ เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมีเท่ากัน เขียนส่วนโค้งตัดกันที่ $F$

3. ลาก $\overrightarrow{BF}$ แบ่งครึ่งมุม

การสร้างพื้นฐานข้อที่ 5: สร้างเส้นตั้งฉากจากจุดภายนอกไปยังเส้นตรง

1. ใช้จุด $P$ ที่อยู่นอกเส้นเป็นจุดศูนย์กลาง เขียนส่วนโค้งตัดเส้นตรงสองจุด $A$, $B$

2. ใช้ $A$ และ $B$ เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมีเท่ากัน เขียนส่วนโค้งตัดกันที่ $Q$ (อีกฝั่งของเส้น)

3. ลาก $\overline{PQ}$ จะตั้งฉากกับเส้นตรง

การสร้างพื้นฐานข้อที่ 6: สร้างเส้นตั้งฉากที่จุดบนเส้นตรง

1. ใช้จุด $P$ บนเส้นเป็นจุดศูนย์กลาง เขียนส่วนโค้งตัดเส้นตรงสองข้างที่ $A$, $B$

2. ใช้ $A$ และ $B$ เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมีเท่ากันและยาวกว่า $PA$ เขียนส่วนโค้งตัดกันที่ $Q$

3. ลาก $\overleftrightarrow{PQ}$ จะตั้งฉากกับเส้นตรงที่จุด $P$

สร้างมุมขนาดพิเศษโดยไม่ใช้โปรแทรกเตอร์

• $90^{\circ }$: สร้างเส้นตั้งฉาก

• $45^{\circ }$: แบ่งครึ่งมุม $90^{\circ }$

• $60^{\circ }$: ใช้จุดปลาย $A$ เขียนส่วนโค้งตัดเส้นที่ $B$ แล้วใช้ $B$ เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมีเท่าเดิม ตัดส่วนโค้งแรกที่ $C$ ลาก $\overrightarrow{AC}$ จะได้ $C\hat{A}B=60^{\circ }$ (เพราะ $△ABC$ เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า)

• $30^{\circ }$: แบ่งครึ่งมุม $60^{\circ }$

• $75^{\circ }$: สร้างมุม $60^{\circ }$ และมุม $90^{\circ }$ ที่จุดยอดเดียวกัน แล้วแบ่งครึ่งมุม $30^{\circ }$ ที่อยู่ระหว่างกัน จะได้ $75^{\circ }=60^{\circ }+15^{\circ }$

• $120^{\circ }$, $135^{\circ }$, $150^{\circ }$: ใช้มุมข้างต้นรวมกัน หรือใช้มุมตรง $180^{\circ }$ แล้วดูมุมที่เหลือ เช่น $120^{\circ }=180^{\circ }-60^{\circ }$, $135^{\circ }=90^{\circ }+45^{\circ }$, $150^{\circ }=180^{\circ }-30^{\circ }$

3การสร้างรูปเรขาคณิตสองมิติโดยใช้การสร้างพื้นฐาน

สร้างสามเหลี่ยมเมื่อรู้ความยาวด้านทั้งสาม

1. สร้าง $\overline{AB}$ ยาวเท่าด้านที่หนึ่ง

2. ใช้ $A$ เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมีเท่าด้านที่สอง เขียนส่วนโค้ง

3. ใช้ $B$ เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมีเท่าด้านที่สาม เขียนส่วนโค้งตัดกันที่ $C$

4. ลาก $\overline{AC}$ และ $\overline{BC}$

สร้างสามเหลี่ยมเมื่อรู้ด้านสองด้านและมุมในระหว่าง (ด้าน มุม ด้าน)

กำหนดความยาวด้านสองด้าน และขนาดของมุมที่อยู่ระหว่างสองด้านนั้น

1. สร้าง $\overline{AB}$ ยาวเท่าด้านที่หนึ่ง (การสร้างพื้นฐานข้อที่ 1)

2. ที่จุด $A$ สร้างมุมให้เท่ากับมุมที่กำหนด (การสร้างพื้นฐานข้อที่ 3) ได้แขนมุม $\overrightarrow{AX}$

3. กางวงเวียนยาวเท่าด้านที่สอง ใช้ $A$ เป็นจุดศูนย์กลาง เขียนส่วนโค้งตัด $\overrightarrow{AX}$ ที่ $C$

4. ลาก $\overline{BC}$ ได้ $△ABC$

สร้างสามเหลี่ยมเมื่อรู้มุมสองมุมและด้านในระหว่าง (มุม ด้าน มุม)

กำหนดความยาวด้านหนึ่ง และขนาดของมุมที่ปลายทั้งสองของด้านนั้น

1. สร้าง $\overline{AB}$ ยาวเท่าที่กำหนด

2. ที่จุด $A$ สร้างมุมให้เท่ากับมุมแรก

3. ที่จุด $B$ สร้างมุมให้เท่ากับมุมที่สอง โดยให้แขนมุมอยู่ฝั่งเดียวกับแขนมุมที่ $A$

4. แขนมุมทั้งสองตัดกันที่ $C$ ได้ $△ABC$

เส้นสำคัญในรูปสามเหลี่ยม

ใช้การสร้างพื้นฐานสร้างเส้นเหล่านี้ในรูปสามเหลี่ยมได้

• เส้นมัธยฐาน ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดยอดกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม หาจุดกึ่งกลางด้วยการสร้างพื้นฐานข้อที่ 2

• เส้นแบ่งครึ่งมุม ของรูปสามเหลี่ยม ใช้การสร้างพื้นฐานข้อที่ 4

• ส่วนสูง ส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุดยอดมาตั้งฉากกับด้านตรงข้ามหรือส่วนต่อของด้านตรงข้าม ใช้การสร้างพื้นฐานข้อที่ 5

• เส้นแบ่งครึ่งและตั้งฉากกับด้าน ใช้การสร้างพื้นฐานข้อที่ 2

สร้างเส้นขนาน

ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่งแล้วทำให้มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน เราใช้สมบัตินี้สร้างเส้นขนาน

สร้างเส้นตรงผ่านจุด $P$ ให้ขนานกับ $\overleftrightarrow{AB}$

1. กำหนดจุด $Q$ บน $\overleftrightarrow{AB}$ แล้วลาก $\overleftrightarrow{PQ}$

2. ที่จุด $P$ สร้าง $C\hat{P}Q$ ให้มีขนาดเท่ากับ $P\hat{Q}B$ โดยให้เป็นมุมแย้งกัน (การสร้างพื้นฐานข้อที่ 3)

3. ลาก $\overleftrightarrow{CP}$ จะได้ $\overleftrightarrow{CP}\parallel \overleftrightarrow{AB}$

สร้างเส้นตรงให้ขนานกับ $\overleftrightarrow{AB}$ และห่างออกไป $a$ หน่วย

1. ที่จุด $A$ สร้าง $\overleftrightarrow{AP}$ ให้ตั้งฉากกับ $\overleftrightarrow{AB}$ (การสร้างพื้นฐานข้อที่ 6)

2. บน $\overleftrightarrow{AP}$ สร้าง $AC$ ให้ยาว $a$ หน่วย

3. ที่จุด $C$ สร้าง $\overleftrightarrow{CD}$ ให้ตั้งฉากกับ $\overleftrightarrow{AP}$ จะได้ $\overleftrightarrow{CD}$ ขนานกับ $\overleftrightarrow{AB}$ และห่างกัน $a$ หน่วย

สร้างรูปสี่เหลี่ยม

รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ยาวด้านละ $a$ หน่วย

1. สร้าง $\overline{AB}$ ยาว $a$

2. สร้างเส้นตั้งฉากกับ $\overline{AB}$ ที่จุด $A$ และที่จุด $B$ (การสร้างพื้นฐานข้อที่ 6 โดยต่อ $\overline{AB}$ ให้ยาวออกไปก่อน)

3. บนเส้นตั้งฉากทั้งสอง กางวงเวียนยาว $a$ วัดจาก $A$ ได้จุด $D$ และวัดจาก $B$ ได้จุด $C$ ให้อยู่ฝั่งเดียวกัน

4. ลาก $\overline{CD}$ ได้สี่เหลี่ยมจัตุรัส $ABCD$ ถ้าวัดบนเส้นตั้งฉากยาวไม่เท่ากับ $AB$ จะได้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแทน

สี่เหลี่ยมด้านขนานเมื่อรู้ด้านสองด้านและมุมระหว่างด้าน

1. สร้าง $\overline{AB}$ แล้วสร้างมุมที่ $A$ ตามที่กำหนด วัด $\overline{AD}$ บนแขนมุมให้ยาวเท่าด้านที่สอง

2. ใช้ $D$ เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมีเท่ากับ $AB$ เขียนส่วนโค้ง

3. ใช้ $B$ เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมีเท่ากับ $AD$ เขียนส่วนโค้งตัดส่วนโค้งแรกที่ $C$

4. ลาก $\overline{DC}$ และ $\overline{BC}$ ได้สี่เหลี่ยมด้านขนาน $ABCD$ เพราะด้านตรงข้ามยาวเท่ากันทั้งสองคู่

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

• แบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรงแต่กางวงเวียนไม่ถึงครึ่ง ทำให้ส่วนโค้งไม่ตัดกัน

• เปลี่ยนรัศมีวงเวียนระหว่างขั้นที่ต้องใช้รัศมีเท่ากัน

• เขียน $\angle ABC$ แต่จุดยอดจริงคือ $A$ (จุดยอดต้องอยู่ตรงกลางเสมอ)

• สับสนรังสี $\overrightarrow{AB}$ กับ $\overrightarrow{BA}$