สรุปการให้เหตุผลทางเรขาคณิต ม.2

การให้เหตุผลทางเรขาคณิต คือการพิสูจน์ข้อความทางเรขาคณิตทีละขั้น โดยทุกขั้นต้องอ้างเหตุผลที่ยอมรับแล้ว เช่น สิ่งที่โจทย์กำหนด บทนิยาม สัจพจน์ หรือทฤษฎีบท บทนี้เรียนใน ม.2 เทอม 2 ครอบคลุมพื้นฐานการให้เหตุผล การสร้างพร้อมให้เหตุผล และการพิสูจน์เกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยม

สวัสดีครับ นี่พี่ติว OCM

บทนี้หลายคนกลัว เพราะต้องเขียนพิสูจน์ แต่จริง ๆ มีแพตเทิร์นซ้ำ ๆ ถ้ารู้ว่าเครื่องมือที่ใช้ได้มีอะไรบ้าง จะเขียนได้เป็นระบบครับ

สรุปบทนี้ใน 1 ตาราง

1พื้นฐานการให้เหตุผล

ข้อความคาดการณ์ คือข้อสรุปที่ได้จากการสังเกตหรือทดลองหลาย ๆ ครั้ง ซึ่งน่าจะจริง แต่ยังไม่ได้พิสูจน์ ถ้าจะยืนยันว่าจริงต้องให้เหตุผลหรือพิสูจน์ก่อน และถ้าหาตัวอย่างที่ไม่เป็นไปตามข้อความได้แม้ตัวอย่างเดียว ข้อความนั้นก็ไม่จริง

ข้อความทางเรขาคณิตมักเป็น ประโยคเงื่อนไข รูป "ถ้า $p$ แล้ว $q$"

• $p$ ที่ตามหลังคำว่า "ถ้า" เรียกว่า เหตุ

• $q$ ที่ตามหลังคำว่า "แล้ว" เรียกว่า ผล

ประโยคเงื่อนไขเป็นจริง เมื่อเหตุเป็นจริงแล้วทำให้ได้ผลเป็นจริงเสมอ

บทกลับของประโยคเงื่อนไข คือสลับเหตุกับผล เป็น "ถ้า $q$ แล้ว $p$"

ข้อสรุป: ข้อความเป็นจริง บทกลับไม่จำเป็นต้องจริง ต้องพิสูจน์แยก

เหตุผลที่อ้างได้

• สิ่งที่กำหนดให้

• บทนิยาม เช่น นิยามของเส้นแบ่งครึ่งมุม

• สมบัติที่ยอมรับแล้ว เช่น มุมตรงข้ามเท่ากัน มุมตรงรวมกัน $180^{\circ }$

• ทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้ว เช่น ความเท่ากันทุกประการ สมบัติเส้นขนาน

2การสร้างและการให้เหตุผลเกี่ยวกับการสร้าง

การสร้างพื้นฐานที่ใช้วงเวียนและสันตรง แล้วพิสูจน์ด้วยความเท่ากันทุกประการ

เหตุผลหลัก: รัศมีของวงเวียนที่กางเท่าเดิมทำให้ได้ส่วนของเส้นตรงยาวเท่ากัน จึงใช้เงื่อนไข ด.ด.ด. ได้

ตัวอย่าง: แบ่งครึ่ง $A\hat{O}B$ โดยใช้ $O$ เป็นจุดศูนย์กลาง เขียนส่วนโค้งตัด $OA$ ที่ $C$ และ $OB$ ที่ $D$ แล้วใช้ $C$ และ $D$ เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมีเท่ากัน เขียนส่วนโค้งตัดกันที่ $E$

• $OC=OD$ (รัศมีเดียวกัน)

• $CE=DE$ (รัศมีเท่ากัน)

• $OE=OE$ (ด้านร่วม)

• $△OCE\cong △ODE$ (ด.ด.ด.) ดังนั้น $C\hat{O}E=D\hat{O}E$

3การให้เหตุผลเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบท ฉ.ด.ด. ถ้ารูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปมีด้านตรงข้ามมุมฉากยาวเท่ากัน และมีด้านอื่นอีกหนึ่งคู่ยาวเท่ากัน แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ บทนี้พิสูจน์ได้โดยต่อด้านออกไปให้เกิดรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว แล้วใช้ ด.ม.ด. กับ ม.ม.ด.

ทฤษฎีบทจุดกึ่งกลางด้าน ส่วนของเส้นตรงที่ลากเชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านสองด้านของรูปสามเหลี่ยมใด ๆ จะขนานกับด้านที่สาม และยาวเป็นครึ่งหนึ่งของด้านที่สาม

ตัวอย่าง: $△ABC$ มี $D$ และ $E$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $AB$ และ $AC$ ถ้า $BC=14$ เซนติเมตร จะได้ $DE\parallel BC$ และ $DE=7$ เซนติเมตร

สามเหลี่ยมหน้าจั่ว (มีด้านยาวเท่ากันสองด้าน)

• มุมที่ฐานมีขนาดเท่ากัน

• เส้นตรงที่ลากจากจุดยอดไปแบ่งครึ่งฐาน จะตั้งฉากกับฐานและแบ่งครึ่งมุมยอด

บทกลับ: ถ้ามุมสองมุมของสามเหลี่ยมมีขนาดเท่ากัน แล้วด้านตรงข้ามมุมทั้งสองยาวเท่ากัน

4การให้เหตุผลเกี่ยวกับรูปสี่เหลี่ยม

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกันสองคู่ มีสมบัติที่พิสูจน์ได้ด้วยเส้นขนานและความเท่ากันทุกประการ

• รูปสี่เหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ก็ต่อเมื่อ ด้านตรงข้ามยาวเท่ากันสองคู่

• รูปสี่เหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ก็ต่อเมื่อ มุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากันสองคู่

• เส้นทแยงมุมทั้งสองของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน

• ส่วนของเส้นตรงที่ปิดหัวท้ายของส่วนของเส้นตรงที่ขนานกันและยาวเท่ากัน จะขนานกันและยาวเท่ากัน ดังนั้นรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามคู่หนึ่งขนานกันและยาวเท่ากัน เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

วิธีพิสูจน์ที่ใช้บ่อย: ลากเส้นทแยงมุมแบ่งรูปเป็นสามเหลี่ยมสองรูป ใช้มุมแย้งที่เกิดจากด้านขนาน แล้วใช้ ม.ด.ม.

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

• คิดว่าบทกลับจริงเสมอ

• เห็นตัวอย่างที่เป็นจริงหลายตัวแล้วสรุปว่าข้อความคาดการณ์จริง โดยยังไม่ได้พิสูจน์

• อ้างสิ่งที่ "ดูจากรูป" โดยไม่มีเหตุผลรองรับ

• ใช้สิ่งที่ต้องพิสูจน์มาเป็นเหตุผลเสียเอง

• เขียนเงื่อนไขความเท่ากันทุกประการผิด เพราะไม่เช็กว่ามุมอยู่ระหว่างด้านหรือไม่