สรุปกราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น ม.1

กราฟของความสัมพันธ์เชิงเส้น คือกราฟที่จุดทุกจุดเรียงอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน สมการของความสัมพันธ์นี้เรียกว่าสมการเชิงเส้นสองตัวแปร เช่น $y=mx+b$ บทกราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น ม.1 เทอม 2 เริ่มจากคู่อันดับและการพล็อตจุดบนระนาบพิกัดฉาก แล้วใช้กราฟอ่านข้อมูลในชีวิตจริง และเขียนสมการจากกราฟเส้นตรง

สวัสดีครับ นี่พี่ติว OCM

บทนี้เป็นจุดเริ่มของเรื่องกราฟทั้งหมด ตั้งแต่ ม.1 ไปจนถึงฟังก์ชันใน ม.4 ถ้าอ่านกราฟคล่องตั้งแต่ตอนนี้ จะได้เปรียบไปอีกหลายปีครับ

สรุปบทนี้ใน 1 ตาราง

1คู่อันดับและระนาบพิกัดฉาก

คู่อันดับ $(a,b)$ คือการจับคู่ที่ลำดับมีความหมาย $a$ เป็นสมาชิกตัวที่หนึ่ง $b$ เป็นสมาชิกตัวที่สอง ดังนั้น $(2,5)\ne (5,2)$ คู่อันดับแต่ละคู่มีกราฟเป็นจุดเพียงจุดเดียวบนระนาบ โดยสมาชิกตัวที่หนึ่งแทนจำนวนบนแกน $X$ และสมาชิกตัวที่สองแทนจำนวนบนแกน $Y$

ระนาบพิกัดฉาก มีแกน $X$ แนวนอนและแกน $Y$ แนวตั้ง ตัดกันที่ จุดกำเนิด $(0,0)$

• พล็อต $(3,-2)$: ไปทางขวา 3 หน่วย แล้วลงล่าง 2 หน่วย

• จุดบนแกน $X$ มี $y=0$ เช่น $(4,0)$

• จุดบนแกน $Y$ มี $x=0$ เช่น $(0,-3)$

ลองแตะตรงไหนก็ได้บนระนาบด้านล่าง แล้วดูว่าคู่อันดับกับจตุภาคเปลี่ยนยังไง จำง่าย ๆ ว่าเดินแนวนอนก่อน แล้วค่อยเดินแนวตั้ง

จตุภาค

2กราฟและการนำไปใช้

กราฟใช้แสดงความสัมพันธ์ระหว่างสองปริมาณ เช่น จำนวนไข่ไก่กับราคา

เขียนเป็นคู่อันดับได้ $(1,5),(2,10),(3,15),(4,20),(5,25)$ แล้วพล็อตบนระนาบ ถ้าจำนวนเป็นบวกทั้งหมด เขียนเฉพาะจตุภาคที่ 1 ก็พอ

อ่านกราฟให้ถูก

1. ดูชื่อแกนและหน่วยก่อนเสมอ

2. ดูว่าแกนแต่ละช่องมีค่าเท่าไร บางกราฟช่องละ 5 หรือ 10

3. อ่านค่าที่ต้องการ โดยลากเส้นจากแกนไปชนกราฟ

ตัวอย่าง: กราฟระยะทางกับเวลา

ต้นปั่นจักรยานออกจากบ้าน แล้วบันทึกระยะทางไว้ดังนี้

พล็อตเป็นคู่อันดับ (เวลา, ระยะทาง) แล้วลากเส้นต่อกัน อ่านกราฟได้ว่า

• 20 นาทีแรก ไปได้ 6 กม. เส้นกราฟชันขึ้นสม่ำเสมอ

• นาทีที่ 20 ถึง 30 ระยะทางอยู่ที่ 6 กม. ตลอด เส้นกราฟเป็นแนวนอน แปลว่าหยุดพัก

• นาทีที่ 30 ถึง 50 ไปได้อีก 4 กม. ใน 20 นาที ช้ากว่าช่วงแรก เส้นกราฟจึงชันน้อยกว่า

ตัวอย่าง: กราฟเปลี่ยนหน่วยเงิน

สมมติ 1 ดอลลาร์สหรัฐแลกได้ 35 บาท จะได้คู่อันดับ $(1,35)$, $(2,70)$, $(10,350)$ ทุกจุดอยู่บนเส้นตรงเดียวกันที่ผ่านจุดกำเนิด อ่านย้อนกลับได้ด้วย เช่น มีเงิน 175 บาท ลากเส้นจากแกนบาทไปชนกราฟ แล้วลงมาที่แกนดอลลาร์ ได้ 5 ดอลลาร์ ตรงกับ $175÷35=5$

3ความสัมพันธ์เชิงเส้น

ความสัมพันธ์ของปริมาณสองปริมาณที่มีกราฟอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน เรียกว่า ความสัมพันธ์เชิงเส้น สมการของความสัมพันธ์นี้เรียกว่า สมการเชิงเส้นสองตัวแปร และกราฟของมันเรียกว่า กราฟเส้นตรง

สมการเชิงเส้นสองตัวแปรเขียนในรูปทั่วไปได้เป็น

เมื่อ $x$ และ $y$ เป็นตัวแปร $A$, $B$ และ $C$ เป็นค่าคงตัว โดยที่ $A$ และ $B$ ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน ถ้าจัดให้อยู่ในรูป

จะได้กราฟเป็นเส้นตรงที่มีความชันเท่ากับ $m$

ตัวอย่าง: สุธีกับนีราช่วยกันขายเสื้อ รวมกันได้ 7 ตัว ให้ $x$ เป็นจำนวนเสื้อที่สุธีขาย และ $y$ เป็นจำนวนที่นีราขาย

• สมการ: $x+y=7$ หรือ $y=7-x$

• คู่อันดับ: $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$

• ทุกจุดอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

เขียนกราฟของ $y=mx+b$

1. เลือกค่า $x$ อย่างน้อย 2 ค่า (3 ค่าจะช่วยตรวจ)

2. แทนหาค่า $y$

3. พล็อตจุด แล้วลากเส้นตรงผ่าน

ตัวอย่าง: $y=2x-1$

จุดตัดแกน

• จุดตัดแกน Y: แทน $x=0$ จาก $y=2x-1$ ได้ $(0,-1)$

• จุดตัดแกน X: แทน $y=0$ ได้ $2x-1=0$ ดังนั้น $x=\frac{1}{2}$ ได้ $\left(\frac{1}{2},0\right)$

ลองเลื่อนค่า $m$ และ $b$ ในกราฟด้านล่าง แล้วสังเกตสองอย่าง อย่างแรก $b$ บอกว่าเส้นตัดแกน Y ที่ไหน อย่างที่สอง ความชัน $m$ บอกว่า $x$ เพิ่ม 1 แล้ว $y$ เปลี่ยนไปเท่าไร ถ้า $m$ เป็นจำนวนลบ เส้นจะเอียงลงเมื่อมองจากซ้ายไปขวา

กรณีพิเศษ

• $y=3$ เป็นเส้นตรงขนานแกน $X$

• $x=-2$ เป็นเส้นตรงขนานแกน $Y$ (เป็นสมการเชิงเส้นสองตัวแปรที่ $B=0$ จึงเขียนในรูป $y=mx+b$ ไม่ได้)

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

• สลับ $x$ กับ $y$ ตอนพล็อตจุด

• ไม่ดูว่าแกนช่องละกี่หน่วย แล้วอ่านค่าผิด

• ลากเส้นต่อจุด ทั้งที่ข้อมูลเป็นจำนวนนับ เช่น จำนวนเสื้อ ควรเป็นจุดแยกกัน หรือเส้นประเพื่อแสดงแนว

• หาจุดตัดแกน $X$ โดยแทน $x=0$ ซึ่งผิด ต้องแทน $y=0$