สรุปเส้นขนาน ม.2

เส้นขนาน คือเส้นตรงสองเส้นบนระนาบเดียวกันที่ไม่ตัดกัน เมื่อมีเส้นตัดผ่านเส้นขนาน จะได้ว่า มุมภายในบนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันได้ $180^{\circ }$ มุมแย้งเท่ากัน และ มุมภายนอกเท่ากับมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด บทนี้เรียนใน ม.2 เทอม 2 และใช้พิสูจน์ว่ามุมภายในของสามเหลี่ยมรวมกันได้ $180^{\circ }$

สวัสดีครับ นี่พี่ติว OCM

บทนี้ต้องจำชื่อมุมให้แม่น เพราะโจทย์ส่วนใหญ่แค่ถามว่า "มุมคู่นี้สัมพันธ์กันแบบไหน" ถ้าเรียกชื่อถูก คำนวณแค่บวกลบครับ

สรุปบทนี้ใน 1 ตาราง

1เส้นขนานและชื่อมุมที่ต้องรู้

เส้นตรงสองเส้นที่อยู่บนระนาบเดียวกันขนานกัน ก็ต่อเมื่อเส้นตรงทั้งสองไม่ตัดกัน เขียน $\overleftrightarrow{AB}\parallel \overleftrightarrow{CD}$ อ่านว่า $AB$ ขนานกับ $CD$ ในรูปมักใช้ลูกศรแบบเดียวกันบนเส้นแสดงว่าเส้นคู่นั้นขนานกัน

ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน ระยะห่างระหว่างเส้นทั้งสองจะเท่ากันเสมอ และกลับกัน ถ้าระยะห่างเท่ากันเสมอ เส้นคู่นั้นก็ขนานกัน

ต่อไปให้เส้นตรง $AB$ ขนานกับ $CD$ และมีเส้นตัด $EF$ ตัดทั้งสองเส้น

2เส้นขนานและมุมภายใน

เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันได้ $180^{\circ }$

คำว่า "ก็ต่อเมื่อ" บอกว่าใช้ได้ทั้งสองทาง ถ้ารู้ว่าขนาน ก็สรุปได้ว่ามุมคู่นั้นรวมกันได้ $180^{\circ }$ และถ้ารู้ว่ามุมคู่นั้นรวมกันได้ $180^{\circ }$ ก็สรุปได้ว่าเส้นคู่นั้นขนานกัน

ตัวอย่าง: มุมภายในบนข้างเดียวกันมุมหนึ่งเท่ากับ $115^{\circ }$ อีกมุมเท่ากับ $180^{\circ }-115^{\circ }=65^{\circ }$

3เส้นขนานและมุมแย้ง

เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน

4มุมภายนอกและมุมภายใน

เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน

จึงใช้ได้ทั้งหาขนาดของมุม และพิสูจน์ว่าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน

เคล็ดลับหาในรูป

เมื่อเส้นตัดตัดเส้นขนานคู่หนึ่ง (และไม่ตั้งฉาก) จะเกิดมุม 8 มุม มีแค่สองขนาด

• มุมแหลมทั้ง 4 มุมมีขนาดเท่ากัน

• มุมป้านทั้ง 4 มุมมีขนาดเท่ากัน

• มุมแหลมกับมุมป้านรวมกันได้ $180^{\circ }$

แต่ต้องรู้ก่อนว่าเส้นคู่นั้นขนานกัน ถ้าโจทย์ไม่ได้บอกหรือพิสูจน์ไม่ได้ว่าขนาน ห้ามใช้สมบัตินี้ และห้ามตัดสินจากการกะด้วยตา

5เส้นขนานและรูปสามเหลี่ยม

ใช้เส้นขนานพิสูจน์ได้ 2 ทฤษฎีบทสำคัญ

ทฤษฎีบทที่ 1: ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ $180^{\circ }$

ทฤษฎีบทที่ 2: ถ้าต่อด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมออกไป มุมภายนอกที่เกิดขึ้นมีขนาดเท่ากับผลบวกของขนาดของมุมภายในที่ไม่ใช่มุมประชิดของมุมภายนอกนั้น

ตัวอย่าง: สามเหลี่ยม $ABC$ มี $\hat{A}=50^{\circ }$ และ $\hat{B}=70^{\circ }$

• $\hat{C}=180^{\circ }-50^{\circ }-70^{\circ }=60^{\circ }$

• ต่อ $BC$ ออกไปทาง $C$ มุมภายนอกที่ $C$ เท่ากับ $50^{\circ }+70^{\circ }=120^{\circ }$

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

• ใช้สมบัติมุมแย้งทั้งที่โจทย์ไม่ได้บอกว่าเส้นขนาน

• สับสนมุมแย้งกับมุมภายในบนข้างเดียวกัน

• ลืมใช้มุมตรง ($180^{\circ }$) และมุมตรงข้ามเท่ากันช่วยหามุมที่เหลือ

• บวกมุมภายนอกผิดคู่ ไปบวกมุมประชิดเข้าไปด้วย