สรุปปริซึมและทรงกระบอก ม.2

ปริซึมและทรงกระบอก มีสูตรหลักคล้ายกัน คือ ปริมาตร = พื้นที่ฐาน × ความสูง และ พื้นที่ผิว = พื้นที่ด้านข้างทั้งหมด + พื้นที่ฐานทั้งสอง สำหรับพื้นที่ผิวและปริมาตรทรงกระบอกรัศมี $r$ สูง $h$ ได้ $V=\pi r^{2}h$ และพื้นที่ผิว $=2\pi rh+2\pi r^2$ บทนี้เรียนใน ม.2 เทอม 1

สวัสดีครับ นี่พี่ติว OCM

บทนี้ถ้านึกภาพ "คลี่กล่อง" ออก จะไม่ต้องท่องสูตรพื้นที่ผิวเลย ส่วนปริมาตร จำประโยคเดียวคือพื้นที่ฐานคูณสูงครับ

สรุปบทนี้ใน 1 ตาราง

1ส่วนประกอบของปริซึม

ปริซึม คือรูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานทั้งสองเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ ฐานทั้งสองอยู่บนระนาบที่ขนานกัน และด้านข้างแต่ละด้านเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

• ฐาน (หรือหน้าตัด): รูปหลายเหลี่ยมสองรูปที่อยู่หัวและท้าย

• ด้านข้าง: หน้าที่เชื่อมฐานทั้งสอง

• ส่วนสูง: ระยะห่างระหว่างฐานทั้งสอง

• ชื่อปริซึม: เรียกตามรูปฐาน เช่น ปริซึมสามเหลี่ยม ปริซึมห้าเหลี่ยม กล่องทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากก็คือปริซึมสี่เหลี่ยมมุมฉาก

บทนี้เรียนเฉพาะ ปริซึมตรง คือปริซึมที่ด้านข้างทุกด้านเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก (ถ้าด้านข้างเอียง เรียกว่าปริซึมเอียง)

2พื้นที่ผิวของปริซึม

พื้นที่ผิวของปริซึมคือพื้นที่ของทุกหน้ารวมกัน คลี่ปริซึมออก จะได้ด้านข้างต่อกันเป็นสี่เหลี่ยมมุมฉากยาวเท่า ความยาวรอบรูปของฐาน และสูงเท่าความสูงของปริซึม

ตัวอย่าง: ปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉาก

ฐานเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากด้าน 3, 4, 5 เซนติเมตร ปริซึมสูง 10 เซนติเมตร

• ความยาวรอบฐาน $=3+4+5=12$

• พื้นที่ด้านข้างทั้งหมด $=12\times 10=120$

• พื้นที่ฐาน $=\frac{1}{2}\times 3\times 4=6$

• พื้นที่ผิวทั้งหมด $=120+2(6)=132$ ตารางเซนติเมตร

ถ้าโจทย์ไม่บอกด้านที่สาม ให้ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสหาก่อน

ตัวอย่าง: กล่องสี่เหลี่ยมมุมฉาก

กว้าง $a$ ยาว $b$ สูง $c$ มีพื้นที่ผิว $2(ab+bc+ca)$

กล่องขนาด $4\times 5\times 6$ เซนติเมตร: $2(20+30+24)=148$ ตารางเซนติเมตร

ทำไมมีเลข 2 นำหน้า ดูรูปคลี่ด้านล่างจะเห็นว่าหน้าทั้ง 6 หน้ามาเป็นคู่สีเดียวกัน 3 คู่ คิดพื้นที่แค่ 3 หน้าที่ต่างกันแล้วคูณ 2 ก็ครบ

3พื้นที่ผิวของทรงกระบอก

คลี่ทรงกระบอก ได้วงกลมสองวง กับสี่เหลี่ยมมุมฉากหนึ่งรูปที่ยาวเท่า เส้นรอบวงของฐาน $2\pi r$ และสูง $h$

ส่วนที่คนงงคือ ทำไมสี่เหลี่ยมถึงยาว $2\pi r$ ลองนึกถึงฉลากกระป๋องครับ ฉลากพันรอบกระป๋องพอดีหนึ่งรอบ พอลอกออกมาคลี่ ความยาวของฉลากก็คือเส้นรอบวงของฝากระป๋องนั่นเอง

ตัวอย่าง

ทรงกระบอกรัศมี 7 เซนติเมตร สูง 10 เซนติเมตร ใช้ $\pi \approx \frac{22}{7}$

ทรงกระบอกไม่มีฝา

โจทย์แก้วน้ำหรือถังเปิดฝา ให้บวกพื้นที่ฐานแค่ หนึ่งวง

ท่อกลวงเปิดสองด้าน ใช้แค่พื้นที่ด้านข้าง $2\pi rh$

4ปริมาตรของปริซึม

ตัวอย่าง

ปริซึมฐานสี่เหลี่ยมคางหมู ด้านคู่ขนานยาว 4 และ 6 เซนติเมตร สูงของคางหมู 3 เซนติเมตร ปริซึมยาว 12 เซนติเมตร

• พื้นที่ฐาน $=\frac{1}{2}(4+6)(3)=15$

• ปริมาตร $=15\times 12=180$ ลูกบาศก์เซนติเมตร

5ปริมาตรของทรงกระบอก

ตัวอย่าง

ถังน้ำทรงกระบอกเส้นผ่านศูนย์กลาง 1.4 เมตร สูง 2 เมตร จุน้ำได้กี่ลิตร

• $r=0.7$ เมตร

• $V=\frac{22}{7}\times 0.7^2\times 2=3.08$ ลูกบาศก์เมตร

• $1$ ลูกบาศก์เมตร $=1,000$ ลิตร จึงจุได้ $3,080$ ลิตร

6หน่วยที่ต้องแปลงบ่อย

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

• ใช้เส้นผ่านศูนย์กลางแทนรัศมีในสูตร

• บวกพื้นที่ฐานสองวงทั้งที่โจทย์เป็นภาชนะไม่มีฝา

• สับสนความสูงของรูปฐาน กับความสูงของปริซึม

• แปลงหน่วยพื้นที่หรือปริมาตรด้วยตัวคูณของหน่วยความยาว เช่น คิดว่า $1$ ตารางเมตร $=100$ ตารางเซนติเมตร