สรุปความน่าจะเป็น ม.3

ความน่าจะเป็น คือจำนวนที่บอกโอกาสที่เหตุการณ์หนึ่งจะเกิดขึ้น คำนวณจาก จำนวนผลลัพธ์ที่เป็นเหตุการณ์ที่สนใจ หารด้วยจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้น เมื่อผลลัพธ์แต่ละแบบมีโอกาสเกิดเท่า ๆ กัน ค่าที่ได้อยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 บทนี้เรียนใน ม.3 เทอม 2 และต่อยอดใน ม.5 คณิตเพิ่มเติม

สวัสดีครับ นี่พี่ติว OCM

บทนี้ยากที่ "นับให้ครบ" ไม่ใช่ที่สูตร ถ้าเขียนผลลัพธ์ทั้งหมดออกมาเป็นระบบ จะไม่พลาดเลยครับ

สรุปบทนี้ใน 1 ตาราง

1โอกาสของเหตุการณ์

เหตุการณ์หนึ่ง ๆ อาจ เกิดขึ้นอย่างแน่นอน อาจเกิดขึ้นหรือไม่ก็ได้ หรือ ไม่เกิดขึ้นอย่างแน่นอน อย่างใดอย่างหนึ่ง เช่น ขวดใส่ลูกอมสีแดงล้วน หยิบได้สีแดงแน่นอน หยิบได้สีเขียวไม่ได้แน่นอน

2การทดลองสุ่มและเหตุการณ์

การทดลองสุ่ม คือการกระทำที่รู้ว่าผลลัพธ์อาจเป็นอะไรได้บ้าง แต่บอกไม่ได้แน่นอนว่าครั้งนี้จะได้ผลลัพธ์ใด เช่น โยนเหรียญ ทอดลูกเต๋า

เหตุการณ์ คือสิ่งที่สนใจจากการทดลองสุ่ม ผลลัพธ์ที่ตรงกับสิ่งที่สนใจเรียกว่า ผลลัพธ์ของเหตุการณ์ เช่น ทอดลูกเต๋า 1 ลูก เหตุการณ์ "ได้แต้มคู่" มีผลลัพธ์ของเหตุการณ์ 3 แบบ คือ 2, 4, 6

จำนวนผลลัพธ์ของเหตุการณ์น้อยกว่าหรือเท่ากับจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดเสมอ

3ความน่าจะเป็น

เมื่อผลลัพธ์แต่ละแบบที่เกิดจากการทดลองสุ่มมีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่า ๆ กัน

ตัวอย่าง: ทอดลูกเต๋า 1 ลูก ความน่าจะเป็นที่ได้แต้มคู่ $=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

4นับผลลัพธ์ด้วยแผนภาพต้นไม้และตาราง

แผนภาพต้นไม้

ตัวอย่าง: โยนเหรียญ 2 เหรียญ

• ผลลัพธ์ทั้งหมด: HH, HT, TH, TT รวม 4 แบบ

• ความน่าจะเป็นที่ได้หัว 1 เหรียญและก้อย 1 เหรียญ $=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

จุดที่พลาดบ่อย: คิดว่ามีแค่ 3 แบบ คือ หัวทั้งคู่ ก้อยทั้งคู่ และหัวหนึ่งก้อยหนึ่ง แล้วตอบ $\frac{1}{3}$ ซึ่งผิด เพราะ HT กับ TH เป็นคนละผลลัพธ์

ตาราง

ตัวอย่าง: ทอดลูกเต๋า 2 ลูก มีผลลัพธ์ทั้งหมด $6\times 6=36$ แบบ

ความน่าจะเป็นที่ผลรวมแต้มเป็น 10

• ผลลัพธ์: (4,6), (5,5), (6,4) รวม 3 แบบ

• $P=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$

หยิบของแบบไม่ใส่คืน

ตัวอย่าง: ถุงมีลูกแก้วแดง 3 ลูก และน้ำเงิน 1 ลูก หยิบ 2 ลูกทีละลูกแบบไม่ใส่คืน ความน่าจะเป็นที่ได้สีแดงทั้งสองลูก

• ตั้งชื่อ แดง1 แดง2 แดง3 น้ำเงิน แล้วเขียนผลลัพธ์ทั้งหมด (ลำดับมีผล) ได้ $4\times 3=12$ แบบ

• ได้แดงทั้งสอง: เลือกแดงลูกแรกได้ 3 แบบ ลูกที่สองได้ 2 แบบ รวม 6 แบบ

• $P=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$

เคล็ดลับ: ของที่หน้าตาเหมือนกัน ให้ตั้งชื่อแยกกันก่อนนับ

5ความน่าจะเป็นทางทฤษฎีกับทางปฏิบัติ

• ความน่าจะเป็นทางทฤษฎี คือค่าที่คำนวณจากสูตรข้างบน

• ความน่าจะเป็นทางปฏิบัติ คือค่าที่ได้จากการทดลองจริง เท่ากับจำนวนครั้งที่เหตุการณ์เกิด หารด้วยจำนวนครั้งที่ทดลอง

ทดลองน้อยครั้ง สองค่านี้อาจต่างกันมาก แต่ถ้าทดลองหลายครั้งขึ้นมาก ๆ ค่าทางปฏิบัติมักเข้าใกล้ค่าทางทฤษฎี

ความน่าจะเป็นยังช่วยตัดสินใจได้ด้วย เช่น ทอดลูกเต๋า 1 ลูก ถ้าได้แต้ม 1 ถึง 4 นายเอชนะ ถ้าได้ 5 หรือ 6 นายบีชนะ เกมนี้ไม่ยุติธรรม เพราะนายเอชนะด้วยความน่าจะเป็น $\frac{4}{6}$ แต่นายบีแค่ $\frac{2}{6}$

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

• นับผลลัพธ์ทั้งหมดไม่ครบ หรือนับซ้ำ

• ไม่แยกลำดับ เช่น ถือว่า HT กับ TH เป็นผลลัพธ์เดียวกัน

• หยิบแบบไม่ใส่คืนแต่นับเหมือนใส่คืน

• ได้ความน่าจะเป็นมากกว่า 1 หรือติดลบ แล้วไม่สงสัยว่าผิด