สรุปความน่าจะเป็น ม.5

ความน่าจะเป็น ของเหตุการณ์ $E$ คือ $P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}$ เมื่อ $S$ คือ ปริภูมิตัวอย่าง ซึ่งเป็นเซตจำกัดที่สมาชิกทุกตัวมีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากัน และ $E$ คือ เหตุการณ์ ซึ่งเป็นสับเซตของ $S$ ค่านี้บอกว่าเหตุการณ์ที่สนใจมีโอกาสเกิดขึ้นมากน้อยเพียงใด บทนี้ใช้หลักการนับจากบทก่อนหาจำนวนสมาชิก แล้วต่อด้วยกฎสำคัญ เช่น $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

สวัสดีครับ นี่พี่ติว OCM

บทนี้คือ "หลักการนับ + เซต" มาเจอกัน กฎเหล็กมีข้อเดียว นับ $n(S)$ กับ $n(E)$ ด้วยวิธีคิดเดียวกัน ถ้านับ $S$ แบบสนใจลำดับ ก็ต้องนับ $E$ แบบสนใจลำดับด้วยครับ

สรุปบทนี้ใน 1 ตาราง

3.1 การทดลองสุ่มและเหตุการณ์

• การทดลองสุ่ม คือการทดลองที่รู้ว่าผลลัพธ์อาจเป็นอะไรได้บ้าง แต่บอกไม่ได้แน่นอนว่าแต่ละครั้งจะได้ผลใด

• ปริภูมิตัวอย่าง หรือ แซมเปิลสเปซ คือเซตที่มีสมาชิกเป็นผลลัพธ์ที่อาจเป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม

• เหตุการณ์ คือสับเซตของปริภูมิตัวอย่าง เซตว่างและปริภูมิตัวอย่างเองก็เป็นเหตุการณ์

การทดลองเดียวกันเขียนปริภูมิตัวอย่างได้หลายแบบ ขึ้นกับว่าสนใจผลลัพธ์อะไร

ตัวอย่าง: โยนเหรียญหนึ่งเหรียญสามครั้ง

• ถ้าสนใจหน้าของเหรียญแต่ละครั้ง ให้ H แทนหัว T แทนก้อย ได้ $S=\{HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT\}$

• ถ้าสนใจแค่จำนวนครั้งที่ขึ้นก้อย ได้ $S=\{0,1,2,3\}$

ตัวอย่าง: ทอดลูกเต๋าหนึ่งลูกหนึ่งครั้ง สนใจแต้มที่ได้ $S=\{1,2,3,4,5,6\}$ เหตุการณ์ที่ได้แต้มเป็นจำนวนเฉพาะคือ $E=\{2,3,5\}$

3.2 ความน่าจะเป็น

ให้ $S$ เป็นปริภูมิตัวอย่างซึ่งเป็นเซตจำกัด โดยสมาชิกทุกตัวมีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากัน และ $E$ เป็นเหตุการณ์

สมบัติพื้นฐาน

• $0\le P(E)\le 1$ สำหรับทุกเหตุการณ์ $E$

• $P(S)=1$ คือเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นแน่นอน

• $P(\varnothing )=0$ คือเหตุการณ์ที่ไม่มีโอกาสเกิดขึ้นเลย

ข้อควรระวัง: ถ้าทอดลูกเต๋าสองลูกแล้วเขียน $S$ เป็นผลบวกแต้ม $\{2,3,\dots ,12\}$ สมาชิกแต่ละตัวมีโอกาสไม่เท่ากัน (ผลบวก 2 เกิดได้วิธีเดียว แต่ผลบวก 7 เกิดได้ 6 วิธี) จึงใช้สูตรนี้ไม่ได้ ต้องใช้ $S$ ที่เป็นคู่อันดับของแต้ม ซึ่งมี 36 สมาชิก

ตัวอย่าง: ทอดลูกเต๋าที่เที่ยงตรงสองลูกพร้อมกัน ความน่าจะเป็นที่ผลบวกของแต้มเท่ากับ 9

• $n(S)=(6)(6)=36$

• $E=\{(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)\}$ ได้ $n(E)=4$

• $P(E)=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$

ใช้หลักการนับหาจำนวนสมาชิก

เมื่อ $S$ มีสมาชิกมาก ไม่ต้องแจกแจง ใช้ความรู้จากบทหลักการนับเบื้องต้นแทน

ตัวอย่าง: สุ่มเลือกนักเรียน 3 คน จากนักเรียนชาย 5 คนและหญิง 3 คน ความน่าจะเป็นที่ได้นักเรียนหญิง 1 คนพอดี

• $n(S)=C_{8,3}=56$

• เลือกหญิง 1 คนจาก 3 คน และชาย 2 คนจาก 5 คน ได้ $n(E)=(3)(C_{5,2})=(3)(10)=30$

• $P(E)=\frac{30}{56}=\frac{15}{28}$

ตัวอย่าง: สุ่มหยิบบัตร 2 ใบจากบัตรหมายเลข 1 ถึง 5 ทีละใบโดยไม่ใส่คืน ความน่าจะเป็นที่ได้เลขคี่ทั้งสองใบ

• $n(S)=(5)(4)=20$

• ใบแรกเป็นเลขคี่ได้ 3 แบบ ใบที่สองเหลือเลขคี่ 2 แบบ ได้ $n(E)=(3)(2)=6$

• $P(E)=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$

ตัวอย่าง: สุ่มให้ 8 คนนั่งรอบโต๊ะกลม ความน่าจะเป็นที่คน 2 คนที่กำหนดได้นั่งติดกัน

• $n(S)=(8-1)!=7!$

• มัดสองคนเป็น 1 หน่วย เหลือ 7 หน่วย จัดได้ $6!$ วิธี สลับกันในมัดได้ 2 วิธี ได้ $n(E)=(6!)(2)$

• $P(E)=\frac{(6!)(2)}{7!}=\frac{2}{7}$

ความน่าจะเป็นเชิงทฤษฎีกับเชิงการทดลอง

ความน่าจะเป็นที่หาจาก $\frac{n(E)}{n(S)}$ เรียกว่า ความน่าจะเป็นเชิงทฤษฎี ใช้ได้เมื่อสมาชิกของ $S$ มีโอกาสเกิดเท่ากัน แต่หลายสถานการณ์จริงไม่เป็นแบบนั้น เช่น โอกาสที่ฝนจะตกแต่ละวัน จึงใช้ข้อมูลจากการทำซ้ำหลาย ๆ ครั้ง หรือการสุ่มตัวอย่าง เรียกว่า ความน่าจะเป็นเชิงการทดลอง เช่น สุ่มตรวจสินค้า 200 ชิ้น พบของเสีย 5 ชิ้น ประมาณได้ว่าความน่าจะเป็นที่สินค้าเสียเท่ากับ $\frac{5}{200}$ หรือ 2.5%

3.3 กฎที่สำคัญบางประการของความน่าจะเป็น

เหตุการณ์เป็นเซต จึงใช้การดำเนินการของเซตได้ ให้ $A,B\subset S$

ทฤษฎีบท ให้ $S$ เป็นปริภูมิตัวอย่างซึ่งเป็นเซตจำกัด และ $A,B$ เป็นเหตุการณ์ใด ๆ

1. $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

2. ถ้า $A\cap B=\varnothing$ แล้ว $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

3. $P(A^{\prime })=1-P(A)$

4. $P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)$

ข้อ 1 มาจาก $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$ แล้วหารทั้งสองข้างด้วย $n(S)$

ตัวอย่าง: ทอดลูกเต๋าที่เที่ยงตรงสองลูก ให้ $A$ แทนเหตุการณ์ที่ลูกแรกได้แต้มคู่ และ $B$ แทนเหตุการณ์ที่ผลบวกของแต้มเท่ากับ 8

• $n(A)=(3)(6)=18$ ได้ $P(A)=\frac{18}{36}$

• $B=\{(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)\}$ ได้ $P(B)=\frac{5}{36}$

• $A\cap B=\{(2,6),(4,4),(6,2)\}$ ได้ $P(A\cap B)=\frac{3}{36}$

• $P(A\cup B)=\frac{18+5-3}{36}=\frac{20}{36}=\frac{5}{9}$

• $P(A-B)=\frac{18}{36}-\frac{3}{36}=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$ คือลูกแรกได้แต้มคู่ แต่ผลบวกไม่เท่ากับ 8

ใช้คอมพลีเมนต์เมื่อเจอคำว่า "อย่างน้อย"

ตัวอย่าง: โยนเหรียญที่เที่ยงตรง 4 เหรียญ ความน่าจะเป็นที่ขึ้นหัวอย่างน้อย 1 เหรียญ

• $n(S)=2^4=16$ และเหตุการณ์ตรงข้ามคือขึ้นก้อยทั้ง 4 เหรียญ มี 1 แบบ

• $P=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

• นับ $n(S)$ แบบสนใจลำดับ แต่นับ $n(E)$ แบบไม่สนใจลำดับ

• ใช้ปริภูมิตัวอย่างที่สมาชิกมีโอกาสเกิดไม่เท่ากัน แล้วหาร $n(E)$ ด้วย $n(S)$

• ใช้ $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ ทั้งที่ $A$ กับ $B$ เกิดร่วมกันได้

• โจทย์ "อย่างน้อย" แล้วนับทีละกรณีจนตกหล่น

• ได้คำตอบเกิน 1 แล้วไม่ย้อนตรวจ