เทคนิค & ข่าวสาร · อ่าน 5 นาที

สรุปการวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงปริมาณ ม.6

ค่าวัดการกระจาย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ม.6 เทอม 2 ค่ากลาง ควอร์ไทล์ เปอร์เซ็นไทล์ แผนภาพกล่อง พร้อมสูตร

โดย OneClickMathเผยแพร่ 26 กันยายน 2569

การวิเคราะห์ข้อมูลเชิงปริมาณ ม.6 ใช้ตารางความถี่และแผนภาพ (ฮิสโทแกรม แผนภาพจุด แผนภาพต้น-ใบ แผนภาพกล่อง) นำเสนอข้อมูล แล้วสรุปด้วย ค่าวัดทางสถิติ 3 กลุ่ม คือ ค่ากลาง (ค่าเฉลี่ย มัธยฐาน ฐานนิยม) ค่าวัดการกระจาย (พิสัย พิสัยระหว่างควอร์ไทล์ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความแปรปรวน สัมประสิทธิ์การแปรผัน) และค่าวัดตำแหน่ง (ควอร์ไทล์ เปอร์เซ็นไทล์) บทนี้เป็นบทหลักของ ม.6 เทอม 2

สวัสดีครับ นี่พี่ติว OCM

บทนี้ยาวที่สุดของเทอม และออกสอบ A-Level บ่อย ถ้าจำสูตรตำแหน่งควอร์ไทล์และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานได้แม่น เก็บคะแนนได้หลายข้อครับ

สรุปสูตรใน 1 ตาราง

ค่าวัด	สูตร
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต	$\overset{x}{ˉ} = \frac{\sum x _{i}}{n}$
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก	$\overset{x}{ˉ} = \frac{\sum w _{i} x _{i}}{\sum w _{i}}$
ตำแหน่งควอร์ไทล์ $Q_{r}$	$\frac{r ( n + 1 )}{4}$
ตำแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ $P_{r}$	$\frac{r ( n + 1 )}{100}$
พิสัยระหว่างควอร์ไทล์	$I QR = Q_{3} - Q_{1}$
ความแปรปรวนของประชากร	$σ^{2} = \frac{\sum ( x _{i} - μ ) ^{2}}{N}$
ความแปรปรวนของตัวอย่าง	$s^{2} = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n - 1}$
สัมประสิทธิ์การแปรผัน	$\frac{σ}{μ}$ หรือ $\frac{s}{x ˉ}$

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือรากที่สองของความแปรปรวน

1ตารางความถี่

ถ้าข้อมูลมีจำนวนมาก ให้จัดเป็นอันตรภาคชั้น แต่ละชั้นมี

ขีดจำกัดล่างและบน และ ความกว้าง
จุดกึ่งกลางชั้น $= \frac{ขีดจำกัดล่าง + ขีดจำกัดบน}{2}$
ความถี่สะสม คือผลรวมความถี่ตั้งแต่ชั้นแรกถึงชั้นนั้น
ความถี่สัมพัทธ์ คือความถี่หารด้วยจำนวนข้อมูลทั้งหมด

2นำเสนอด้วยแผนภาพ

แผนภาพ	จุดเด่น
ฮิสโทแกรม	แท่งติดกัน เห็นรูปร่างการแจกแจงของข้อมูลจำนวนมาก
แผนภาพจุด	เห็นค่าข้อมูลทุกตัว เหมาะกับข้อมูลน้อย
แผนภาพต้น-ใบ	เห็นค่าจริง และเห็นรูปร่างการแจกแจงพร้อมกัน
แผนภาพกล่อง	เห็นค่าต่ำสุด $Q_{1}$ $Q_{2}$ $Q_{3}$ ค่าสูงสุด และค่านอกเกณฑ์

แผนภาพกล่อง

ข้อมูลแบ่งเป็น 4 ช่วง แต่ละช่วงมีข้อมูลประมาณ 25% ช่วงที่ยาวแปลว่าข้อมูลในช่วงนั้นกระจายมาก

ค่านอกเกณฑ์ คือค่าที่น้อยกว่า $Q_{1} - 1.5 (Q_{3} - Q_{1})$ หรือมากกว่า $Q_{3} + 1.5 (Q_{3} - Q_{1})$

ตัวอย่าง: ข้อมูล 11 ตัว เรียงแล้วได้ 2, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 20

$Q_{1}$ อยู่ตำแหน่ง $\frac{12}{4} = 3$ ได้ $Q_{1} = 4$
$Q_{2}$ อยู่ตำแหน่ง $6$ ได้ $Q_{2} = 7$
$Q_{3}$ อยู่ตำแหน่ง $9$ ได้ $Q_{3} = 10$
$I QR = 6$ ขอบเขตคือ $4 - 9 = - 5$ ถึง $10 + 9 = 19$
ค่า 20 เกิน 19 จึงเป็นค่านอกเกณฑ์

3ค่ากลางของข้อมูล

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ไวต่อค่านอกเกณฑ์
มัธยฐาน คือ $Q_{2}$ ไม่ไวต่อค่านอกเกณฑ์
ฐานนิยม ค่าที่มีความถี่สูงสุด

สมบัติของค่าเฉลี่ย: $\sum (x_{i} - \overset{x}{ˉ}) = 0$ และ $\sum (x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2}$ มีค่าน้อยที่สุด

ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก ใช้เมื่อข้อมูลแต่ละค่ามีความสำคัญไม่เท่ากัน เช่น เกรดเฉลี่ยที่แต่ละวิชามีหน่วยกิตต่างกัน

ค่ากลางกับรูปร่างการแจกแจง

รูปร่าง	ความสัมพันธ์
สมมาตร	ค่าเฉลี่ย ≈ มัธยฐาน ≈ ฐานนิยม
เบ้ขวา (หางยาวทางขวา)	ค่าเฉลี่ยมากกว่ามัธยฐาน
เบ้ซ้าย (หางยาวทางซ้าย)	ค่าเฉลี่ยน้อยกว่ามัธยฐาน

4ค่าวัดการกระจาย

การกระจายสัมบูรณ์ (มีหน่วยเดียวกับข้อมูล)

พิสัย = ค่าสูงสุด − ค่าต่ำสุด คิดง่าย แต่ไวต่อค่านอกเกณฑ์
พิสัยระหว่างควอร์ไทล์ $= Q_{3} - Q_{1}$ ไม่ไวต่อค่านอกเกณฑ์
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และ ความแปรปรวน

ตัวอย่าง: ประชากร 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9

$μ = \frac{40}{8} = 5$
$\sum (x_{i} - μ)^{2} = 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32$
$σ^{2} = \frac{32}{8} = 4$ ดังนั้น $σ = 2$

ถ้าข้อมูลชุดนี้เป็นตัวอย่าง จะได้ $s^{2} = \frac{32}{7}$ (หารด้วย $n - 1$ )

การกระจายสัมพัทธ์ (ไม่มีหน่วย)

สัมประสิทธิ์การแปรผัน $= \frac{s}{x ˉ}$ ใช้เปรียบเทียบการกระจายของข้อมูลสองชุดที่หน่วยต่างกัน หรือค่าเฉลี่ยต่างกันมาก ค่ามากกว่าแปลว่ากระจายมากกว่า

5ค่าวัดตำแหน่งที่ของข้อมูล

เรียงข้อมูลจากน้อยไปมากก่อนเสมอ

ควอร์ไทล์ แบ่งข้อมูลเป็น 4 ส่วน $Q_{r}$ อยู่ตำแหน่ง $\frac{r ( n + 1 )}{4}$
เปอร์เซ็นไทล์ แบ่งข้อมูลเป็น 100 ส่วน $P_{r}$ อยู่ตำแหน่ง $\frac{r ( n + 1 )}{100}$

ถ้าตำแหน่งไม่เป็นจำนวนเต็ม ให้เทียบบัญญัติไตรยางศ์ระหว่างข้อมูลสองตัวที่ขนาบอยู่

ตัวอย่าง: $P_{80}$ ของข้อมูล 40 ตัว อยู่ตำแหน่ง $\frac{80 \times 41}{100} = 32.8$ ถ้าข้อมูลตัวที่ 32 คือ 80 และตัวที่ 33 คือ 82 จะได้ $P_{80} = 80 + 0.8 \times 2 = 81.6$

ความหมาย: $P_{80} = 81.6$ แปลว่าข้อมูลประมาณ 80% มีค่าน้อยกว่า 81.6

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

หาควอร์ไทล์โดยไม่เรียงข้อมูลก่อน
ใช้ตัวหาร $n$ กับข้อมูลตัวอย่าง ทั้งที่ต้องใช้ $n - 1$
ใช้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปรียบเทียบข้อมูลที่หน่วยต่างกัน แทนที่จะใช้สัมประสิทธิ์การแปรผัน
ตำแหน่งเปอร์เซ็นไทล์เป็นทศนิยม แล้วปัดทิ้งแทนการเทียบบัญญัติไตรยางศ์

คำถามที่พบบ่อย

หาตำแหน่งควอร์ไทล์ยังไง

เรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก แล้ว Q_r อยู่ตำแหน่ง r(n + 1)/4 เช่น ข้อมูล 11 ตัว Q1 อยู่ตำแหน่งที่ 3 ถ้าตำแหน่งเป็นทศนิยม ให้เทียบบัญญัติไตรยางศ์ระหว่างข้อมูลสองตัวที่อยู่ติดกัน

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคืออะไร

คือค่าวัดการกระจายที่บอกว่าข้อมูลแต่ละตัวห่างจากค่าเฉลี่ยโดยเฉลี่ยมากน้อยเท่าไร เป็นรากที่สองของความแปรปรวน ค่ายิ่งมาก ข้อมูลยิ่งกระจาย

ความแปรปรวนของประชากรกับตัวอย่างต่างกันยังไง

ความแปรปรวนของประชากรหารด้วย N ส่วนความแปรปรวนของตัวอย่างหารด้วย n − 1 เพื่อให้เป็นตัวประมาณที่ดีของความแปรปรวนประชากร

ค่านอกเกณฑ์ในแผนภาพกล่องหายังไง

ค่าที่น้อยกว่า Q1 − 1.5(Q3 − Q1) หรือมากกว่า Q3 + 1.5(Q3 − Q1) ถือเป็นค่านอกเกณฑ์

สัมประสิทธิ์การแปรผันใช้ตอนไหน

ใช้เปรียบเทียบการกระจายของข้อมูลสองชุดที่มีหน่วยต่างกันหรือค่าเฉลี่ยต่างกันมาก เพราะเป็นค่าที่ไม่มีหน่วย คำนวณจากส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานหารด้วยค่าเฉลี่ย

บทนี้เรียนตอนไหน

เรียนในรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.6 ภาคเรียนที่ 2 บทที่ 3 ต่อด้วยบทตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น

คำถามที่พบบ่อย

$หาตำแหน่งควอร์ไทล์ยังไง$: $เรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก แล้ว Q_r อยู่ตำแหน่ง r(n + 1)/4 เช่น ข้อมูล 11 ตัว Q1 อยู่ตำแหน่งที่ 3 ถ้าตำแหน่งเป็นทศนิยม ให้เทียบบัญญัติไตรยางศ์ระหว่างข้อมูลสองตัวที่อยู่ติดกัน$
$ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคืออะไร$: $คือค่าวัดการกระจายที่บอกว่าข้อมูลแต่ละตัวห่างจากค่าเฉลี่ยโดยเฉลี่ยมากน้อยเท่าไร เป็นรากที่สองของความแปรปรวน ค่ายิ่งมาก ข้อมูลยิ่งกระจาย$
$ความแปรปรวนของประชากรกับตัวอย่างต่างกันยังไง$: $ความแปรปรวนของประชากรหารด้วย N ส่วนความแปรปรวนของตัวอย่างหารด้วย n - 1 เพื่อให้เป็นตัวประมาณที่ดีของความแปรปรวนประชากร$
$ค่านอกเกณฑ์ในแผนภาพกล่องหายังไง$: $ค่าที่น้อยกว่า Q1 - 1.5(Q3 - Q1) หรือมากกว่า Q3 + 1.5(Q3 - Q1) ถือเป็นค่านอกเกณฑ์$
$สัมประสิทธิ์การแปรผันใช้ตอนไหน$: $ใช้เปรียบเทียบการกระจายของข้อมูลสองชุดที่มีหน่วยต่างกันหรือค่าเฉลี่ยต่างกันมาก เพราะเป็นค่าที่ไม่มีหน่วย คำนวณจากส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานหารด้วยค่าเฉลี่ย$
$บทนี้เรียนตอนไหน$: $เรียนในรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.6 ภาคเรียนที่ 2 บทที่ 3 ต่อด้วยบทตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น$

เทคนิค & ข่าวสาร · อ่าน 5 นาที

สรุปการวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงปริมาณ ม.6

โดย OneClickMathเผยแพร่ 26 กันยายน 2569

สวัสดีครับ นี่พี่ติว OCM

สรุปสูตรใน 1 ตาราง

ค่าวัด	สูตร
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต	$\overset{x}{ˉ} = \frac{\sum x _{i}}{n}$
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก	$\overset{x}{ˉ} = \frac{\sum w _{i} x _{i}}{\sum w _{i}}$
ตำแหน่งควอร์ไทล์ $Q_{r}$	$\frac{r ( n + 1 )}{4}$
ตำแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ $P_{r}$	$\frac{r ( n + 1 )}{100}$
พิสัยระหว่างควอร์ไทล์	$I QR = Q_{3} - Q_{1}$
ความแปรปรวนของประชากร	$σ^{2} = \frac{\sum ( x _{i} - μ ) ^{2}}{N}$
ความแปรปรวนของตัวอย่าง	$s^{2} = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n - 1}$
สัมประสิทธิ์การแปรผัน	$\frac{σ}{μ}$ หรือ $\frac{s}{x ˉ}$

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือรากที่สองของความแปรปรวน

1ตารางความถี่

ถ้าข้อมูลมีจำนวนมาก ให้จัดเป็นอันตรภาคชั้น แต่ละชั้นมี

ขีดจำกัดล่างและบน และ ความกว้าง
จุดกึ่งกลางชั้น $= \frac{ขีดจำกัดล่าง + ขีดจำกัดบน}{2}$
ความถี่สะสม คือผลรวมความถี่ตั้งแต่ชั้นแรกถึงชั้นนั้น
ความถี่สัมพัทธ์ คือความถี่หารด้วยจำนวนข้อมูลทั้งหมด

2นำเสนอด้วยแผนภาพ

แผนภาพ	จุดเด่น
ฮิสโทแกรม	แท่งติดกัน เห็นรูปร่างการแจกแจงของข้อมูลจำนวนมาก
แผนภาพจุด	เห็นค่าข้อมูลทุกตัว เหมาะกับข้อมูลน้อย
แผนภาพต้น-ใบ	เห็นค่าจริง และเห็นรูปร่างการแจกแจงพร้อมกัน
แผนภาพกล่อง	เห็นค่าต่ำสุด $Q_{1}$ $Q_{2}$ $Q_{3}$ ค่าสูงสุด และค่านอกเกณฑ์

แผนภาพกล่อง

ค่านอกเกณฑ์ คือค่าที่น้อยกว่า $Q_{1} - 1.5 (Q_{3} - Q_{1})$ หรือมากกว่า $Q_{3} + 1.5 (Q_{3} - Q_{1})$

ตัวอย่าง: ข้อมูล 11 ตัว เรียงแล้วได้ 2, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 20

$Q_{1}$ อยู่ตำแหน่ง $\frac{12}{4} = 3$ ได้ $Q_{1} = 4$
$Q_{2}$ อยู่ตำแหน่ง $6$ ได้ $Q_{2} = 7$
$Q_{3}$ อยู่ตำแหน่ง $9$ ได้ $Q_{3} = 10$
$I QR = 6$ ขอบเขตคือ $4 - 9 = - 5$ ถึง $10 + 9 = 19$
ค่า 20 เกิน 19 จึงเป็นค่านอกเกณฑ์

3ค่ากลางของข้อมูล

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ไวต่อค่านอกเกณฑ์
มัธยฐาน คือ $Q_{2}$ ไม่ไวต่อค่านอกเกณฑ์
ฐานนิยม ค่าที่มีความถี่สูงสุด

สมบัติของค่าเฉลี่ย: $\sum (x_{i} - \overset{x}{ˉ}) = 0$ และ $\sum (x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2}$ มีค่าน้อยที่สุด

ค่ากลางกับรูปร่างการแจกแจง

รูปร่าง	ความสัมพันธ์
สมมาตร	ค่าเฉลี่ย ≈ มัธยฐาน ≈ ฐานนิยม
เบ้ขวา (หางยาวทางขวา)	ค่าเฉลี่ยมากกว่ามัธยฐาน
เบ้ซ้าย (หางยาวทางซ้าย)	ค่าเฉลี่ยน้อยกว่ามัธยฐาน

4ค่าวัดการกระจาย

การกระจายสัมบูรณ์ (มีหน่วยเดียวกับข้อมูล)

พิสัย = ค่าสูงสุด − ค่าต่ำสุด คิดง่าย แต่ไวต่อค่านอกเกณฑ์
พิสัยระหว่างควอร์ไทล์ $= Q_{3} - Q_{1}$ ไม่ไวต่อค่านอกเกณฑ์
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และ ความแปรปรวน

ตัวอย่าง: ประชากร 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9

$μ = \frac{40}{8} = 5$
$\sum (x_{i} - μ)^{2} = 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32$
$σ^{2} = \frac{32}{8} = 4$ ดังนั้น $σ = 2$

ถ้าข้อมูลชุดนี้เป็นตัวอย่าง จะได้ $s^{2} = \frac{32}{7}$ (หารด้วย $n - 1$ )

การกระจายสัมพัทธ์ (ไม่มีหน่วย)

5ค่าวัดตำแหน่งที่ของข้อมูล

เรียงข้อมูลจากน้อยไปมากก่อนเสมอ

ควอร์ไทล์ แบ่งข้อมูลเป็น 4 ส่วน $Q_{r}$ อยู่ตำแหน่ง $\frac{r ( n + 1 )}{4}$
เปอร์เซ็นไทล์ แบ่งข้อมูลเป็น 100 ส่วน $P_{r}$ อยู่ตำแหน่ง $\frac{r ( n + 1 )}{100}$

ความหมาย: $P_{80} = 81.6$ แปลว่าข้อมูลประมาณ 80% มีค่าน้อยกว่า 81.6

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

หาควอร์ไทล์โดยไม่เรียงข้อมูลก่อน
ใช้ตัวหาร $n$ กับข้อมูลตัวอย่าง ทั้งที่ต้องใช้ $n - 1$
ใช้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปรียบเทียบข้อมูลที่หน่วยต่างกัน แทนที่จะใช้สัมประสิทธิ์การแปรผัน
ตำแหน่งเปอร์เซ็นไทล์เป็นทศนิยม แล้วปัดทิ้งแทนการเทียบบัญญัติไตรยางศ์

คำถามที่พบบ่อย

หาตำแหน่งควอร์ไทล์ยังไง

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคืออะไร

ความแปรปรวนของประชากรกับตัวอย่างต่างกันยังไง

ค่านอกเกณฑ์ในแผนภาพกล่องหายังไง

ค่าที่น้อยกว่า Q1 − 1.5(Q3 − Q1) หรือมากกว่า Q3 + 1.5(Q3 − Q1) ถือเป็นค่านอกเกณฑ์

สัมประสิทธิ์การแปรผันใช้ตอนไหน

บทนี้เรียนตอนไหน

คำถามที่พบบ่อย

$หาตำแหน่งควอร์ไทล์ยังไง$: $เรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก แล้ว Q_r อยู่ตำแหน่ง r(n + 1)/4 เช่น ข้อมูล 11 ตัว Q1 อยู่ตำแหน่งที่ 3 ถ้าตำแหน่งเป็นทศนิยม ให้เทียบบัญญัติไตรยางศ์ระหว่างข้อมูลสองตัวที่อยู่ติดกัน$
$ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคืออะไร$: $คือค่าวัดการกระจายที่บอกว่าข้อมูลแต่ละตัวห่างจากค่าเฉลี่ยโดยเฉลี่ยมากน้อยเท่าไร เป็นรากที่สองของความแปรปรวน ค่ายิ่งมาก ข้อมูลยิ่งกระจาย$
$ความแปรปรวนของประชากรกับตัวอย่างต่างกันยังไง$: $ความแปรปรวนของประชากรหารด้วย N ส่วนความแปรปรวนของตัวอย่างหารด้วย n - 1 เพื่อให้เป็นตัวประมาณที่ดีของความแปรปรวนประชากร$
$ค่านอกเกณฑ์ในแผนภาพกล่องหายังไง$: $ค่าที่น้อยกว่า Q1 - 1.5(Q3 - Q1) หรือมากกว่า Q3 + 1.5(Q3 - Q1) ถือเป็นค่านอกเกณฑ์$
$สัมประสิทธิ์การแปรผันใช้ตอนไหน$: $ใช้เปรียบเทียบการกระจายของข้อมูลสองชุดที่มีหน่วยต่างกันหรือค่าเฉลี่ยต่างกันมาก เพราะเป็นค่าที่ไม่มีหน่วย คำนวณจากส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานหารด้วยค่าเฉลี่ย$
$บทนี้เรียนตอนไหน$: $เรียนในรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.6 ภาคเรียนที่ 2 บทที่ 3 ต่อด้วยบทตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น$