ม.6 เทอม 2 · บทที่ 1 การแจกแจงความน่าจะเป็น · อ่าน 4 นาที

สรุปตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น ม.6

Q: ตัวแปรสุ่มคืออะไร

ตัวแปรสุ่มคือฟังก์ชันที่จับคู่ผลลัพธ์แต่ละตัวในปริภูมิตัวอย่างกับจำนวนจริง เช่น โยนเหรียญ 2 เหรียญ แล้วให้ X เป็นจำนวนหัวที่ได้ X จะมีค่า 0, 1 หรือ 2

Q: การแจกแจงทวินามใช้เมื่อไร

ใช้เมื่อทดลองซ้ำ n ครั้งที่เป็นอิสระต่อกัน แต่ละครั้งมีผลแค่สำเร็จหรือไม่สำเร็จ และความน่าจะเป็นที่สำเร็จเท่ากันทุกครั้ง สูตรคือ P(X = x) = C(n, x) pˣ (1 − p)ⁿ⁻ˣ

Q: ค่าคาดหมายคืออะไร

ค่าคาดหมายคือค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มในระยะยาว คำนวณจากผลรวมของค่าแต่ละค่าคูณความน่าจะเป็น เช่น แต้มลูกเต๋ามีค่าคาดหมาย 3.5

Q: ค่ามาตรฐาน z คำนวณยังไง

z = (x − μ)/σ คือบอกว่าค่า x ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ใช้เปิดตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน และใช้เปรียบเทียบคะแนนต่างชุดข้อมูลกัน

Q: บทนี้เรียนตอนไหน

เรียนในรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.6 ภาคเรียนที่ 2 บทที่ 4 เป็นบทสุดท้ายของคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.ปลาย และออกสอบ A-Level คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 บ่อย

ตัวแปรสุ่ม การแจกแจงทวินาม ม.6 เทอม 2 ค่าคาดหมาย การแจกแจงปกติ ค่ามาตรฐาน z พร้อมตัวอย่าง

โดย OneClickMathเผยแพร่ 26 กันยายน 2569

ตัวแปรสุ่ม คือฟังก์ชันที่จับคู่ผลลัพธ์แต่ละตัวในปริภูมิตัวอย่างกับจำนวนจริง แบ่งเป็น ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง (เช่น การแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง การแจกแจงทวินาม) และ ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง (เช่น การแจกแจงปกติ) บทนี้เรียนใน ม.6 คณิตเพิ่มเติม เทอม 2 เป็นบทสุดท้ายของหลักสูตร ม.ปลาย

สวัสดีครับ นี่พี่ติว OCM

บทนี้รวมความน่าจะเป็นจาก ม.5 กับสถิติจากบทก่อนหน้าเข้าด้วยกัน สูตรที่ต้องใช้จริงมีไม่กี่สูตร ถ้าแยกได้ว่าโจทย์เป็นการแจกแจงแบบไหน จะเลือกสูตรถูกทันทีครับ

สรุปสูตรใน 1 ตาราง

เรื่อง	สูตร
ค่าคาดหมาย (ไม่ต่อเนื่อง)	$E (X) = μ = \sum x P (X = x)$
ความแปรปรวน (ไม่ต่อเนื่อง)	$σ^{2} = \sum (x - μ)^{2} P (X = x)$
เอกรูปไม่ต่อเนื่อง ( $n$ ค่า)	$P (X = x) = \frac{1}{n}$
ทวินาม	$P (X = x) = (x n) p^{x} (1 - p)^{n - x}$
ค่าคาดหมายและความแปรปรวนของทวินาม	$μ = n p$ และ $σ^{2} = n p (1 - p)$
ค่ามาตรฐาน	$z = \frac{x - μ}{σ}$

1ความหมายและชนิดของตัวแปรสุ่ม

ตัวอย่าง: โยนเหรียญ 2 เหรียญ ให้ $X$ เป็นจำนวนหัวที่ได้

ผลลัพธ์	TT	HT, TH	HH
$X$	0	1	2
$P (X = x)$	$\frac{1}{4}$	$\frac{2}{4}$	$\frac{1}{4}$

ชนิด	ค่าที่เป็นไปได้	ตัวอย่าง
ไม่ต่อเนื่อง	นับได้ เช่น 0, 1, 2, …	จำนวนหัว จำนวนลูกค้าที่เข้าร้าน
ต่อเนื่อง	เป็นช่วงของจำนวนจริง	ส่วนสูง น้ำหนัก เวลา

2การแจกแจงของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง

การแจกแจงความน่าจะเป็น บอกความน่าจะเป็นของแต่ละค่า โดย

$0 \leq P (X = x) \leq 1$
ผลรวมของ $P (X = x)$ ทุกค่าเท่ากับ 1

ค่าคาดหมายและความแปรปรวน

ค่าคาดหมายคือค่าเฉลี่ยในระยะยาว ถ้าทำการทดลองซ้ำจำนวนมาก

ตัวอย่าง: ทอดลูกเต๋า 1 ลูก

E (X) = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3.5

ค่าคาดหมายไม่จำเป็นต้องเป็นค่าที่เกิดขึ้นได้จริง

การแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง

ตัวแปรสุ่มที่มี $n$ ค่า และแต่ละค่ามีความน่าจะเป็นเท่ากัน คือ $\frac{1}{n}$ เช่น แต้มลูกเต๋า

การแจกแจงทวินาม

ใช้เมื่อ

ทดลองซ้ำ $n$ ครั้ง แต่ละครั้งเป็นอิสระต่อกัน
แต่ละครั้งมีผลแค่ 2 แบบ คือ สำเร็จ หรือ ไม่สำเร็จ
ความน่าจะเป็นที่สำเร็จ $p$ เท่ากันทุกครั้ง

ให้ $X$ เป็นจำนวนครั้งที่สำเร็จ

P (X = x) = (x n) p^{x} (1 - p)^{n - x}

ตัวอย่าง: ข้อสอบ 5 ข้อ แต่ละข้อมี 4 ตัวเลือก เดาทุกข้อ ความน่าจะเป็นที่ถูก 2 ข้อ

P (X = 2) = (2 5) (\frac{1}{4})^{2} (\frac{3}{4})^{3} = 10 \times \frac{1}{16} \times \frac{27}{64} = \frac{270}{1024} \approx 0.264

ค่าคาดหมาย $= n p = 5 \times \frac{1}{4} = 1.25$ ข้อ

3การแจกแจงของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง

ตัวแปรสุ่มต่อเนื่องใช้ พื้นที่ใต้เส้นโค้ง แทนความน่าจะเป็น

พื้นที่ใต้เส้นโค้งทั้งหมดเท่ากับ 1
$P (X = a) = 0$ ดังนั้น $P (X < a) = P (X \leq a)$

การแจกแจงปกติ

เส้นโค้งรูประฆังคว่ำ สมมาตรรอบค่าเฉลี่ย $μ$

ค่าเฉลี่ย มัธยฐาน ฐานนิยม เท่ากัน
ความกว้างขึ้นกับ $σ$ ยิ่ง $σ$ มาก โค้งยิ่งแบนและกว้าง
ประมาณ 68% ของข้อมูลอยู่ในช่วง $μ \pm σ$ , 95% อยู่ในช่วง $μ \pm 2 σ$ และ 99.7% อยู่ในช่วง $μ \pm 3 σ$

การแจกแจงปกติมาตรฐาน

แปลงค่า $x$ เป็น ค่ามาตรฐาน $z$ จะได้การแจกแจงปกติที่มี $μ = 0$ และ $σ = 1$

z = \frac{x - μ}{σ}

แล้วเปิดตารางหาพื้นที่ใต้เส้นโค้ง

ตัวอย่าง: คะแนนสอบแจกแจงปกติ $μ = 60$ , $σ = 10$ นักเรียนที่ได้ 75 คะแนน

$z = \frac{75 - 60}{10} = 1.5$
จากตาราง พื้นที่ทางซ้ายของ $z = 1.5$ ประมาณ $0.9332$
แปลว่าได้คะแนนสูงกว่าประมาณ 93.32% ของทั้งหมด

ค่ามาตรฐานยังใช้เปรียบเทียบคะแนนที่มาจากข้อมูลคนละชุดได้ ค่า $z$ มากกว่าแปลว่าอยู่ในตำแหน่งที่ดีกว่าเมื่อเทียบกับกลุ่มของตัวเอง

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

ใช้สูตรทวินามกับการทดลองที่ความน่าจะเป็นเปลี่ยนไปในแต่ละครั้ง เช่น หยิบแบบไม่ใส่คืน
ลืมคูณ $(x n)$ ในสูตรทวินาม
อ่านตาราง $z$ ผิดแบบ ตารางบางแบบให้พื้นที่จาก 0 ถึง $z$ บางแบบให้พื้นที่ทางซ้ายทั้งหมด
คิดว่า $P (X = a)$ ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องมีค่ามากกว่า 0

คำถามที่พบบ่อย

ตัวแปรสุ่มคืออะไร

ตัวแปรสุ่มคือฟังก์ชันที่จับคู่ผลลัพธ์แต่ละตัวในปริภูมิตัวอย่างกับจำนวนจริง เช่น โยนเหรียญ 2 เหรียญ แล้วให้ X เป็นจำนวนหัวที่ได้ X จะมีค่า 0, 1 หรือ 2

การแจกแจงทวินามใช้เมื่อไร

ใช้เมื่อทดลองซ้ำ n ครั้งที่เป็นอิสระต่อกัน แต่ละครั้งมีผลแค่สำเร็จหรือไม่สำเร็จ และความน่าจะเป็นที่สำเร็จเท่ากันทุกครั้ง สูตรคือ P(X = x) = C(n, x) pˣ (1 − p)ⁿ⁻ˣ

ค่าคาดหมายคืออะไร

ค่าคาดหมายคือค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มในระยะยาว คำนวณจากผลรวมของค่าแต่ละค่าคูณความน่าจะเป็น เช่น แต้มลูกเต๋ามีค่าคาดหมาย 3.5

ค่ามาตรฐาน z คำนวณยังไง

z = (x − μ)/σ คือบอกว่าค่า x ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ใช้เปิดตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน และใช้เปรียบเทียบคะแนนต่างชุดข้อมูลกัน

บทนี้เรียนตอนไหน

เรียนในรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.6 ภาคเรียนที่ 2 บทที่ 4 เป็นบทสุดท้ายของคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.ปลาย และออกสอบ A-Level คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 บ่อย

คำถามที่พบบ่อย

$ตัวแปรสุ่มคืออะไร$: $ตัวแปรสุ่มคือฟังก์ชันที่จับคู่ผลลัพธ์แต่ละตัวในปริภูมิตัวอย่างกับจำนวนจริง เช่น โยนเหรียญ 2 เหรียญ แล้วให้ X เป็นจำนวนหัวที่ได้ X จะมีค่า 0, 1 หรือ 2$
$การแจกแจงทวินามใช้เมื่อไร$: $ใช้เมื่อทดลองซ้ำ n ครั้งที่เป็นอิสระต่อกัน แต่ละครั้งมีผลแค่สำเร็จหรือไม่สำเร็จ และความน่าจะเป็นที่สำเร็จเท่ากันทุกครั้ง สูตรคือ P(X = x) = C(n, x) pˣ (1 - p)ⁿ⁻ˣ$
$ค่าคาดหมายคืออะไร$: $ค่าคาดหมายคือค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มในระยะยาว คำนวณจากผลรวมของค่าแต่ละค่าคูณความน่าจะเป็น เช่น แต้มลูกเต๋ามีค่าคาดหมาย 3.5$
$ค่ามาตรฐาน z คำนวณยังไง$: $z = (x - μ)/σ คือบอกว่าค่า x ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ใช้เปิดตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน และใช้เปรียบเทียบคะแนนต่างชุดข้อมูลกัน$
$บทนี้เรียนตอนไหน$: $เรียนในรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.6 ภาคเรียนที่ 2 บทที่ 4 เป็นบทสุดท้ายของคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.ปลาย และออกสอบ A-Level คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 บ่อย$

ม.6 เทอม 2 · บทที่ 1 การแจกแจงความน่าจะเป็น · อ่าน 4 นาที

สรุปตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น ม.6

โดย OneClickMathเผยแพร่ 26 กันยายน 2569

สวัสดีครับ นี่พี่ติว OCM

สรุปสูตรใน 1 ตาราง

เรื่อง	สูตร
ค่าคาดหมาย (ไม่ต่อเนื่อง)	$E (X) = μ = \sum x P (X = x)$
ความแปรปรวน (ไม่ต่อเนื่อง)	$σ^{2} = \sum (x - μ)^{2} P (X = x)$
เอกรูปไม่ต่อเนื่อง ( $n$ ค่า)	$P (X = x) = \frac{1}{n}$
ทวินาม	$P (X = x) = (x n) p^{x} (1 - p)^{n - x}$
ค่าคาดหมายและความแปรปรวนของทวินาม	$μ = n p$ และ $σ^{2} = n p (1 - p)$
ค่ามาตรฐาน	$z = \frac{x - μ}{σ}$

1ความหมายและชนิดของตัวแปรสุ่ม

ตัวอย่าง: โยนเหรียญ 2 เหรียญ ให้ $X$ เป็นจำนวนหัวที่ได้

ผลลัพธ์	TT	HT, TH	HH
$X$	0	1	2
$P (X = x)$	$\frac{1}{4}$	$\frac{2}{4}$	$\frac{1}{4}$

ชนิด	ค่าที่เป็นไปได้	ตัวอย่าง
ไม่ต่อเนื่อง	นับได้ เช่น 0, 1, 2, …	จำนวนหัว จำนวนลูกค้าที่เข้าร้าน
ต่อเนื่อง	เป็นช่วงของจำนวนจริง	ส่วนสูง น้ำหนัก เวลา

2การแจกแจงของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง

การแจกแจงความน่าจะเป็น บอกความน่าจะเป็นของแต่ละค่า โดย

$0 \leq P (X = x) \leq 1$
ผลรวมของ $P (X = x)$ ทุกค่าเท่ากับ 1

ค่าคาดหมายและความแปรปรวน

ค่าคาดหมายคือค่าเฉลี่ยในระยะยาว ถ้าทำการทดลองซ้ำจำนวนมาก

ตัวอย่าง: ทอดลูกเต๋า 1 ลูก

E (X) = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3.5

ค่าคาดหมายไม่จำเป็นต้องเป็นค่าที่เกิดขึ้นได้จริง

การแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง

การแจกแจงทวินาม

ใช้เมื่อ

ทดลองซ้ำ $n$ ครั้ง แต่ละครั้งเป็นอิสระต่อกัน
แต่ละครั้งมีผลแค่ 2 แบบ คือ สำเร็จ หรือ ไม่สำเร็จ
ความน่าจะเป็นที่สำเร็จ $p$ เท่ากันทุกครั้ง

ให้ $X$ เป็นจำนวนครั้งที่สำเร็จ

P (X = x) = (x n) p^{x} (1 - p)^{n - x}

P (X = 2) = (2 5) (\frac{1}{4})^{2} (\frac{3}{4})^{3} = 10 \times \frac{1}{16} \times \frac{27}{64} = \frac{270}{1024} \approx 0.264

ค่าคาดหมาย $= n p = 5 \times \frac{1}{4} = 1.25$ ข้อ

3การแจกแจงของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง

ตัวแปรสุ่มต่อเนื่องใช้ พื้นที่ใต้เส้นโค้ง แทนความน่าจะเป็น

พื้นที่ใต้เส้นโค้งทั้งหมดเท่ากับ 1
$P (X = a) = 0$ ดังนั้น $P (X < a) = P (X \leq a)$

การแจกแจงปกติ

เส้นโค้งรูประฆังคว่ำ สมมาตรรอบค่าเฉลี่ย $μ$

ค่าเฉลี่ย มัธยฐาน ฐานนิยม เท่ากัน
ความกว้างขึ้นกับ $σ$ ยิ่ง $σ$ มาก โค้งยิ่งแบนและกว้าง
ประมาณ 68% ของข้อมูลอยู่ในช่วง $μ \pm σ$ , 95% อยู่ในช่วง $μ \pm 2 σ$ และ 99.7% อยู่ในช่วง $μ \pm 3 σ$

การแจกแจงปกติมาตรฐาน

แปลงค่า $x$ เป็น ค่ามาตรฐาน $z$ จะได้การแจกแจงปกติที่มี $μ = 0$ และ $σ = 1$

z = \frac{x - μ}{σ}

แล้วเปิดตารางหาพื้นที่ใต้เส้นโค้ง

ตัวอย่าง: คะแนนสอบแจกแจงปกติ $μ = 60$ , $σ = 10$ นักเรียนที่ได้ 75 คะแนน

$z = \frac{75 - 60}{10} = 1.5$
จากตาราง พื้นที่ทางซ้ายของ $z = 1.5$ ประมาณ $0.9332$
แปลว่าได้คะแนนสูงกว่าประมาณ 93.32% ของทั้งหมด

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

ใช้สูตรทวินามกับการทดลองที่ความน่าจะเป็นเปลี่ยนไปในแต่ละครั้ง เช่น หยิบแบบไม่ใส่คืน
ลืมคูณ $(x n)$ ในสูตรทวินาม
อ่านตาราง $z$ ผิดแบบ ตารางบางแบบให้พื้นที่จาก 0 ถึง $z$ บางแบบให้พื้นที่ทางซ้ายทั้งหมด
คิดว่า $P (X = a)$ ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องมีค่ามากกว่า 0

คำถามที่พบบ่อย

ตัวแปรสุ่มคืออะไร

การแจกแจงทวินามใช้เมื่อไร

ค่าคาดหมายคืออะไร

ค่ามาตรฐาน z คำนวณยังไง

บทนี้เรียนตอนไหน

คำถามที่พบบ่อย

$ตัวแปรสุ่มคืออะไร$: $ตัวแปรสุ่มคือฟังก์ชันที่จับคู่ผลลัพธ์แต่ละตัวในปริภูมิตัวอย่างกับจำนวนจริง เช่น โยนเหรียญ 2 เหรียญ แล้วให้ X เป็นจำนวนหัวที่ได้ X จะมีค่า 0, 1 หรือ 2$
$การแจกแจงทวินามใช้เมื่อไร$: $ใช้เมื่อทดลองซ้ำ n ครั้งที่เป็นอิสระต่อกัน แต่ละครั้งมีผลแค่สำเร็จหรือไม่สำเร็จ และความน่าจะเป็นที่สำเร็จเท่ากันทุกครั้ง สูตรคือ P(X = x) = C(n, x) pˣ (1 - p)ⁿ⁻ˣ$
$ค่าคาดหมายคืออะไร$: $ค่าคาดหมายคือค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มในระยะยาว คำนวณจากผลรวมของค่าแต่ละค่าคูณความน่าจะเป็น เช่น แต้มลูกเต๋ามีค่าคาดหมาย 3.5$
$ค่ามาตรฐาน z คำนวณยังไง$: $z = (x - μ)/σ คือบอกว่าค่า x ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ใช้เปิดตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน และใช้เปรียบเทียบคะแนนต่างชุดข้อมูลกัน$
$บทนี้เรียนตอนไหน$: $เรียนในรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.6 ภาคเรียนที่ 2 บทที่ 4 เป็นบทสุดท้ายของคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.ปลาย และออกสอบ A-Level คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 บ่อย$