ทฤษฎีบทเศษเหลือคืออะไร

เมื่อหารพหุนาม p(x) ด้วย x - c เศษเหลือเท่ากับ p(c) จึงหาเศษได้โดยแทน x = c ไม่ต้องหารจริง

ทฤษฎีบทตัวประกอบใช้ทำอะไร

ใช้หาตัวประกอบของพหุนาม พหุนาม p(x) มี x - c เป็นตัวประกอบก็ต่อเมื่อ p(c) = 0 ถ้าสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม ค่าที่ควรลองคือ k/m ที่ k หารพจน์ค่าคงตัวลงตัวและ m หารสัมประสิทธิ์นำลงตัว

แก้อสมการพหุนามยังไง

จัดให้ข้างหนึ่งเป็น 0 แยกตัวประกอบ วางจุดที่ทำให้แต่ละตัวประกอบเป็นศูนย์บนเส้นจำนวน ดูเครื่องหมายของผลคูณในแต่ละช่วง แล้วเลือกช่วงที่ตรงกับเครื่องหมายอสมการ

ทำไมห้ามคูณตัวส่วนข้ามอสมการ

เพราะตัวส่วนที่มีตัวแปรอาจเป็นบวกหรือลบ ถ้าเป็นลบต้องกลับเครื่องหมายอสมการ ให้ย้ายทุกพจน์มาข้างเดียว รวมเป็นเศษส่วนเดียว แล้วดูเครื่องหมายบนเส้นจำนวน

|x| a แก้ยังไง

เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก |x| a ก็ต่อเมื่อ x a

บทนี้เรียนตอนไหน

เรียนในคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.4 ภาคเรียนที่ 1 บทที่ 3 ต่อจากเซตและตรรกศาสตร์

ม.4 เทอม 1 · บทที่ 3 จำนวนจริง · อ่าน 8 นาที

สรุปจำนวนจริง ม.4

สรุปจำนวนจริง ม.4 เพิ่มเติม เทอม 1 ระบบจำนวนจริง หารพหุนาม ทฤษฎีบทเศษเหลือ ทฤษฎีบทตัวประกอบ สมการและอสมการพหุนาม เศษส่วนของพหุนาม และค่าสัมบูรณ์

โดย OneClickMathเผยแพร่ 26 กันยายน 2569

จำนวนจริง คือยูเนียนของเซตของจำนวนตรรกยะและเซตของจำนวนอตรรกยะ เขียนแทนด้วย $R$ บทจำนวนจริง ม.4 คณิตเพิ่มเติม เทอม 1 เริ่มจากระบบจำนวนจริง แล้วไปต่อที่พหุนามตัวแปรเดียว การหารพหุนาม ทฤษฎีบทเศษเหลือ ทฤษฎีบทตัวประกอบ สมการและอสมการพหุนาม เศษส่วนของพหุนาม และค่าสัมบูรณ์

สวัสดีครับ นี่พี่ติว OCM บทนี้ยาวที่สุดของเทอม แต่แก่นมีสองอย่าง คือ "แยกตัวประกอบให้ได้" กับ "ใช้เส้นจำนวนดูเครื่องหมาย" คล่องสองอย่างนี้ อสมการกี่ข้อก็ไม่กลัวครับ

สรุปบทนี้ใน 1 ตาราง

หัวข้อ	ต้องทำอะไรเป็น
ระบบจำนวนจริง	บอกสมบัติการบวกและการคูณ สมบัติการไม่เท่ากัน
พหุนามตัวแปรเดียว	บวก ลบ คูณ และหารยาว
ทฤษฎีบทเศษเหลือ	หาเศษจากการหารด้วย $x - c$ โดยคำนวณ $p (c)$
ทฤษฎีบทตัวประกอบ	หาตัวประกอบ $x - c$ จาก $p (c) = 0$
สมการพหุนาม	แยกตัวประกอบ แล้วตอบเป็นเซตคำตอบ
เศษส่วนของพหุนาม	ทำเป็นผลสำเร็จ บวก ลบ คูณ หาร แก้สมการ
อสมการ	เขียนคำตอบเป็นช่วง ใช้เส้นจำนวนดูเครื่องหมาย
ค่าสัมบูรณ์	ใช้นิยามและทฤษฎีบทแก้สมการและอสมการ

1จำนวนจริง

จำนวนนับ $N = {1, 2, 3, \dots}$ และจำนวนเต็ม $Z = {\dots, - 2, - 1, 0, 1, 2, \dots}$
จำนวนตรรกยะ คือจำนวนที่เขียนได้ในรูป $\frac{a}{b}$ เมื่อ $a, b$ เป็นจำนวนเต็มและ $b \neq = 0$ หรือเขียนเป็นทศนิยมซ้ำได้ เช่น $0. \dot{4} \dot{5} = \frac{45}{99} = \frac{5}{11}$
จำนวนอตรรกยะ คือจำนวนที่เขียนเป็นทศนิยมไม่ซ้ำ เช่น $3, 35, π$ เซตของจำนวนอตรรกยะเขียนแทนด้วย $Q^{'}$

N \subset Z \subset Q \subset R

จำนวนจริงแต่ละจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะหรือจำนวนอตรรกยะอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น

2ระบบจำนวนจริง

ให้ $a, b, c$ เป็นจำนวนจริง

สมบัติ	การบวก	การคูณ
สมบัติปิด	$a + b \in R$	$ab \in R$
สมบัติการสลับที่	$a + b = b + a$	$ab = ba$
สมบัติการเปลี่ยนหมู่	$(a + b) + c = a + (b + c)$	$(ab) c = a (b c)$
สมบัติการมีเอกลักษณ์	$0$ เป็นเอกลักษณ์การบวก	$1$ เป็นเอกลักษณ์การคูณ
สมบัติการมีตัวผกผัน	ตัวผกผันการบวกของ $a$ คือ $- a$	ตัวผกผันการคูณของ $a$ คือ $a^{- 1}$ เมื่อ $a \neq = 0$
สมบัติการแจกแจง	$a (b + c) = ab + a c$

ผลที่ใช้บ่อย: $a \cdot 0 = 0$ , $(- 1) a = - a$ และ $ab = 0$ ก็ต่อเมื่อ $a = 0$ หรือ $b = 0$ ข้อสุดท้ายนี้คือเหตุผลที่แยกตัวประกอบแล้วแก้สมการได้

3พหุนามตัวแปรเดียวและการหารยาว

พหุนามตัวแปรเดียวอยู่ในรูป $a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ถ้า $a_{n} \neq = 0$ เรียกว่า พหุนามดีกรี $n$ เรียก $a_{n}$ ว่า สัมประสิทธิ์นำ เช่น $4 x^{3} - x + 7$ มีดีกรี 3 สัมประสิทธิ์นำคือ 4

ขั้นตอนวิธีการหารสำหรับพหุนาม: ถ้า $a (x)$ และ $b (x)$ เป็นพหุนาม โดยที่ $b (x) \neq = 0$ จะมีผลหาร $q (x)$ และเศษเหลือ $r (x)$ เพียงชุดเดียวที่

a (x) = b (x) q (x) + r (x)

เมื่อ $r (x) = 0$ หรือดีกรีของ $r (x)$ น้อยกว่าดีกรีของ $b (x)$

ตัวอย่างการหารยาว

หาร $2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 5$ ด้วย $x - 2$

$2 x^{3} \div x = 2 x^{2}$ คูณกลับได้ $2 x^{3} - 4 x^{2}$ ลบออก เหลือ $x^{2} + 4 x - 5$
$x^{2} \div x = x$ คูณกลับได้ $x^{2} - 2 x$ ลบออก เหลือ $6 x - 5$
$6 x \div x = 6$ คูณกลับได้ $6 x - 12$ ลบออก เหลือ $7$

ผลหารคือ $2 x^{2} + x + 6$ และเศษเหลือคือ $7$ ตรวจได้ว่า $(x - 2) (2 x^{2} + x + 6) + 7 = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 5$

4ทฤษฎีบทเศษเหลือและทฤษฎีบทตัวประกอบ

ทฤษฎีบทเศษเหลือ: ถ้าหารพหุนาม $p (x)$ ด้วย $x - c$ แล้ว เศษเหลือเท่ากับ $p (c)$

จากตัวอย่างเดิม $p (2) = 16 - 12 + 8 - 5 = 7$ ตรงกับเศษจากการหารยาว

ทฤษฎีบทตัวประกอบ: พหุนาม $p (x)$ มี $x - c$ เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมื่อ $p (c) = 0$

กรณีสัมประสิทธิ์นำเป็น 1

ถ้าสัมประสิทธิ์ทุกตัวเป็นจำนวนเต็ม ค่า $c$ ที่เป็นจำนวนเต็มต้องเป็นตัวประกอบของ $a_{0}$

ตัวอย่าง: แยกตัวประกอบ $p (x) = x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$

ตัวประกอบของ 6 คือ $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$
$p (1) = 1 - 4 + 1 + 6 = 4 \neq = 0$ แต่ $p (- 1) = - 1 - 4 - 1 + 6 = 0$ ดังนั้น $x + 1$ เป็นตัวประกอบ
นำ $x + 1$ ไปหาร $p (x)$ ได้ผลหาร $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$

x^{3} - 4 x^{2} + x + 6 = (x + 1) (x - 2) (x - 3)

กรณีสัมประสิทธิ์นำไม่เป็น 1

ทฤษฎีบทตัวประกอบตรรกยะ: ถ้า $x - \frac{k}{m}$ เป็นตัวประกอบของ $p (x)$ ซึ่งมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ ห.ร.ม. ของ $m$ และ $k$ เท่ากับ 1 แล้ว $m$ หาร $a_{n}$ ลงตัว และ $k$ หาร $a_{0}$ ลงตัว

ตัวอย่าง: แยกตัวประกอบ $2 x^{3} + 3 x^{2} - 8 x + 3$

ค่า $\frac{k}{m}$ ที่ต้องลองคือ $\pm 1, \pm 3, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}$
แทน $x = 1$ ได้ $2 + 3 - 8 + 3 = 0$ ดังนั้น $x - 1$ เป็นตัวประกอบ
หารแล้วได้ $2 x^{2} + 5 x - 3 = (2 x - 1) (x + 3)$

2 x^{3} + 3 x^{2} - 8 x + 3 = (x - 1) (2 x - 1) (x + 3)

5สมการพหุนามตัวแปรเดียว

จัดให้ข้างหนึ่งเป็น 0 แยกตัวประกอบ แล้วให้แต่ละตัวประกอบเป็น 0 ตอบเป็น เซตคำตอบ

x^{3} - 4 x^{2} + x + 6 = 0 \Rightarrow (x + 1) (x - 2) (x - 3) = 0

เซตคำตอบคือ ${- 1, 2, 3}$

บางข้อจัดกลุ่มได้เลย เช่น

2 x^{3} - x^{2} - 8 x + 4 = x^{2} (2 x - 1) - 4 (2 x - 1) = (2 x - 1) (x - 2) (x + 2)

เซตคำตอบของ $2 x^{3} - x^{2} - 8 x + 4 = 0$ คือ ${- 2, \frac{1}{2}, 2}$

ถ้าเหลือตัวประกอบกำลังสองที่แยกต่อไม่ได้ ใช้สูตร $x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$ เมื่อ $b^{2} - 4 a c \geq 0$ ถ้า $b^{2} - 4 a c < 0$ ตัวประกอบนั้นไม่ให้คำตอบที่เป็นจำนวนจริง

6เศษส่วนของพหุนามและสมการเศษส่วนของพหุนาม

เศษส่วนของพหุนาม คือ $\frac{p ( x )}{q ( x )}$ เมื่อ $p (x), q (x)$ เป็นพหุนามและ $q (x) \neq = 0$

ทำเป็นผลสำเร็จ: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวร่วม และบอกเงื่อนไขของค่าที่ตัดไป เช่น $\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} + x - 6} = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{( x - 2 ) ( x + 3 )} = \frac{x - 3}{x - 2}$ เมื่อ $x \neq = - 3$
บวก ลบ: ทำตัวส่วนให้เท่ากันก่อน
คูณ หาร: ใช้หลักเดียวกับเศษส่วนของจำนวนเต็ม

แก้สมการเศษส่วนของพหุนาม

หาค่า $x$ ที่ทำให้ตัวส่วนเป็น 0 ค่าเหล่านี้เป็นคำตอบไม่ได้
ย้ายข้างให้อีกข้างเป็น 0 แล้วรวมเป็นเศษส่วนเดียว หรือคูณด้วย ค.ร.น. ของตัวส่วน
แก้สมการ แล้วตัดค่าที่ทำให้ตัวส่วนเป็น 0 ทิ้ง

\frac{x}{x - 2} - \frac{8}{x ^{2} - 4} = 1 (x \neq = \pm 2)

คูณด้วย $(x - 2) (x + 2)$

x (x + 2) - 8 = x^{2} - 4 \Rightarrow 2 x = 4 \Rightarrow x = 2

แต่ $x = 2$ ทำให้ตัวส่วนเป็น 0 เซตคำตอบจึงเป็น $\emptyset$

7การไม่เท่ากันของจำนวนจริงและช่วง

สำหรับจำนวนจริง $a$ ใด ๆ จะได้ $a = 0$ หรือ $a > 0$ หรือ $a < 0$ เพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง

สมบัติที่ใช้แก้อสมการ

ถ้า $a > b$ แล้ว $a + c > b + c$
ถ้า $a > b$ และ $c > 0$ แล้ว $a c > b c$
ถ้า $a > b$ และ $c < 0$ แล้ว $a c < b c$ (คูณด้วยจำนวนลบ เครื่องหมายกลับข้าง)

ช่วง เป็นสับเซตของ $R$ เมื่อ $a < b$

ช่วง	ความหมาย	ชื่อ
$(a, b)$	${x ∣ a < x < b}$	ช่วงเปิด
$[a, b]$	${x ∣ a \leq x \leq b}$	ช่วงปิด
$(a, b]$ , $[a, b)$	$a < x \leq b$ , $a \leq x < b$	ช่วงครึ่งเปิดหรือช่วงครึ่งปิด
$(a, \infty)$ , $(- \infty, a)$	$x > a$ , $x < a$	ช่วงเปิดอนันต์
$[a, \infty)$ , $(- \infty, a]$	$x \geq a$ , $x \leq a$	ช่วงปิดอนันต์

บนเส้นจำนวน จุดปลายที่รวมอยู่ในช่วงใช้จุดทึบ จุดปลายที่ไม่รวมใช้จุดโปร่ง

8อสมการพหุนามตัวแปรเดียว

จัดให้ข้างหนึ่งเป็น 0 แล้วแยกตัวประกอบ
หาจุดที่ทำให้แต่ละตัวประกอบเป็นศูนย์ แล้ววางบนเส้นจำนวน
ดูเครื่องหมายของผลคูณในแต่ละช่วง จากเครื่องหมายของตัวประกอบแต่ละตัว
เลือกช่วงที่ตรงกับเครื่องหมายอสมการ ถ้าเป็น $\leq$ หรือ $\geq$ ให้รวมจุดแบ่งด้วย

(x + 1) (x - 2) (x - 3) < 0

จุดแบ่งคือ $- 1, 2, 3$ เมื่อ $x > 3$ ตัวประกอบทุกตัวเป็นบวก ผลคูณเป็นบวก และทุกครั้งที่ข้ามจุดแบ่งไปทางซ้าย จะมีตัวประกอบหนึ่งตัวเปลี่ยนเครื่องหมาย

ช่วง	$(- \infty, - 1)$	$(- 1, 2)$	$(2, 3)$	$(3, \infty)$
เครื่องหมาย	$-$	$+$	$-$	$+$

เซตคำตอบคือ $(- \infty, - 1) \cup (2, 3)$

(x + 1)(x − 2)(x − 3) < 0

เซตคำตอบ = (−∞, −1) ∪ (2, 3)

จุดที่ 1 = −1จุดที่ 2 = 2จุดที่ 3 = 3

อสมการพหุนาม: เลื่อนจุดที่ทำให้แต่ละตัวประกอบเป็นศูนย์ แล้วอ่านเครื่องหมายแต่ละช่วงเลื่อนจุดแบ่งทั้งสามจุดและเปลี่ยนเครื่องหมายอสมการ ลองให้สองจุดทับกัน จะเห็นว่าตัวประกอบยกกำลังสองไม่ทำให้เครื่องหมายเปลี่ยน

อสมการเศษส่วนของพหุนาม

ห้ามคูณตัวส่วนที่มีตัวแปรข้ามไป เพราะไม่รู้ว่าตัวส่วนเป็นบวกหรือลบ ให้ย้ายทุกพจน์มาข้างเดียว รวมเป็นเศษส่วนเดียว แล้วดูเครื่องหมายบนเส้นจำนวน จุดที่ทำให้ตัวส่วนเป็น 0 ไม่รวมในคำตอบเสมอ

\frac{x + 3}{x - 1} \geq 2 \Rightarrow \frac{x + 3 - 2 ( x - 1 )}{x - 1} \geq 0 \Rightarrow \frac{5 - x}{x - 1} \geq 0 \Rightarrow \frac{x - 5}{x - 1} \leq 0

เซตคำตอบคือ $(1, 5]$

9ค่าสัมบูรณ์

∣ a ∣ = {a - a เมื่อ a \geq 0 เมื่อ a < 0

$∣ a ∣$ คือระยะจากจุดที่แทน 0 ถึงจุดที่แทน $a$ บนเส้นจำนวน จึงไม่เป็นลบเสมอ และ $∣ a - b ∣$ คือระยะระหว่างจุดที่แทน $a$ กับ $b$ เช่น $∣7 - (- 3) ∣ = 10$

ทฤษฎีบทที่ใช้บ่อย เมื่อ $x, y$ เป็นจำนวนจริง

$∣ x ∣ = ∣ - x ∣$ และ $∣ x - y ∣ = ∣ y - x ∣$
$∣ x y ∣ = ∣ x ∣∣ y ∣$ และ $\frac{x}{y} = \frac{∣ x ∣}{∣ y ∣}$ เมื่อ $y \neq = 0$
$∣ x ∣^{2} = x^{2}$
$∣ x + y ∣ \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣$

10สมการและอสมการค่าสัมบูรณ์

เมื่อ $a$ เป็นจำนวนจริงบวก

รูป	ความหมาย
$∣ x ∣ = a$	$x = - a$ หรือ $x = a$
$∣ x ∣ < a$	$- a < x < a$
$∣ x ∣ \leq a$	$- a \leq x \leq a$
$∣ x ∣ > a$	$x < - a$ หรือ $x > a$
$∣ x ∣ \geq a$	$x \leq - a$ หรือ $x \geq a$

ตัวอย่าง

$∣2 x - 3∣ = 7$ ได้ $2 x - 3 = 7$ หรือ $2 x - 3 = - 7$ เซตคำตอบคือ ${- 2, 5}$

$∣ x - 4∣ \leq 3$ ได้ $- 3 \leq x - 4 \leq 3$ เซตคำตอบคือ $[1, 7]$

$∣3 x + 1∣ > 5$ ได้ $3 x + 1 < - 5$ หรือ $3 x + 1 > 5$ เซตคำตอบคือ $(- \infty, - 2) \cup (\frac{4}{3}, \infty)$

ค่าสัมบูรณ์สองข้าง

$∣ x + 2∣ = ∣2 x - 5∣$ ทั้งสองข้างไม่เป็นลบ จึงยกกำลังสองได้

(x + 2)^{2} = (2 x - 5)^{2} \Rightarrow 3 x^{2} - 24 x + 21 = 0 \Rightarrow 3 (x - 1) (x - 7) = 0

เซตคำตอบคือ ${1, 7}$

ค่าสัมบูรณ์ปนพจน์อื่น

แบ่งกรณีตามเครื่องหมายของพจน์ในค่าสัมบูรณ์ แล้วตรวจคำตอบกับเงื่อนไขของกรณีนั้น

ตัวอย่าง: $∣ x - 3∣ = 2 x$

กรณี $x \geq 3$ : $x - 3 = 2 x$ ได้ $x = - 3$ ขัดแย้งกับ $x \geq 3$ ใช้ไม่ได้
กรณี $x < 3$ : $- (x - 3) = 2 x$ ได้ $x = 1$ ซึ่ง $1 < 3$ ใช้ได้

เซตคำตอบคือ ${1}$ ถ้าใช้วิธียกกำลังสองแทน ต้องแทนค่ากลับไปตรวจคำตอบทุกครั้ง

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

หารยาวโดยลืมเติมพจน์ที่มีสัมประสิทธิ์เป็น 0
แก้สมการเศษส่วนแล้วไม่ตัดค่าที่ทำให้ตัวส่วนเป็น 0
คูณตัวส่วนที่มีตัวแปรข้ามเครื่องหมายอสมการ
ตอบ $∣ x ∣ < - 2$ ว่า $2 < x < - 2$ ที่ถูกคือเซตคำตอบเป็น $\emptyset$ เพราะค่าสัมบูรณ์ไม่เป็นลบ
สลับเครื่องหมายบนเส้นจำนวนตอนข้ามจุดที่มาจากตัวประกอบยกกำลังคู่

คำถามที่พบบ่อย

$ทฤษฎีบทเศษเหลือคืออะไร$: $เมื่อหารพหุนาม p(x) ด้วย x - c เศษเหลือเท่ากับ p(c) จึงหาเศษได้โดยแทน x = c ไม่ต้องหารจริง$
$ทฤษฎีบทตัวประกอบใช้ทำอะไร$: $ใช้หาตัวประกอบของพหุนาม พหุนาม p(x) มี x - c เป็นตัวประกอบก็ต่อเมื่อ p(c) = 0 ถ้าสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม ค่าที่ควรลองคือ k/m ที่ k หารพจน์ค่าคงตัวลงตัวและ m หารสัมประสิทธิ์นำลงตัว$
$แก้อสมการพหุนามยังไง$: $จัดให้ข้างหนึ่งเป็น 0 แยกตัวประกอบ วางจุดที่ทำให้แต่ละตัวประกอบเป็นศูนย์บนเส้นจำนวน ดูเครื่องหมายของผลคูณในแต่ละช่วง แล้วเลือกช่วงที่ตรงกับเครื่องหมายอสมการ$
$ทำไมห้ามคูณตัวส่วนข้ามอสมการ$: $เพราะตัวส่วนที่มีตัวแปรอาจเป็นบวกหรือลบ ถ้าเป็นลบต้องกลับเครื่องหมายอสมการ ให้ย้ายทุกพจน์มาข้างเดียว รวมเป็นเศษส่วนเดียว แล้วดูเครื่องหมายบนเส้นจำนวน$
$|x| < a กับ |x| > a แก้ยังไง$: $เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก |x| < a ก็ต่อเมื่อ -a < x < a ส่วน |x| > a ก็ต่อเมื่อ x < -a หรือ x > a$
$บทนี้เรียนตอนไหน$: $เรียนในคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.4 ภาคเรียนที่ 1 บทที่ 3 ต่อจากเซตและตรรกศาสตร์$