จำนวนตรรกยะกับจำนวนอตรรกยะต่างกันอย่างไร

จำนวนตรรกยะเขียนแทนได้ด้วยทศนิยมซ้ำหรือเศษส่วน a/b เมื่อ a, b เป็นจำนวนเต็มและ b ไม่เท่ากับ 0 ส่วนจำนวนอตรรกยะเขียนแบบนั้นไม่ได้ เช่น √2 และ π

เขียนทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วนอย่างไร

ให้ทศนิยมนั้นเป็น N แล้วคูณด้วย 10, 100 หรือ 1000 ให้ได้สองสมการที่ส่วนหลังจุดทศนิยมเหมือนกัน นำมาลบกันจะเหลือแต่จำนวนเต็ม เช่น N = 0.444... ได้ 10N - N = 4 จึงได้ N = 4/9

π เป็นจำนวนตรรกยะหรือไม่

π เป็นจำนวนอตรรกยะ ส่วน 22/7 และ 3.14 เป็นเพียงค่าประมาณของ π ซึ่งเป็นจำนวนตรรกยะ

รากที่สองของ 49 คือ 7 หรือ ±7

รากที่สองของ 49 มีสองค่า คือ 7 และ -7 แต่สัญลักษณ์ √49 หมายถึงรากที่สองที่เป็นบวกเท่านั้น จึงเท่ากับ 7

จำนวนลบมีรากที่สามไหม

มี เช่น รากที่สามของ -125 คือ -5 เพราะ (-5)³ = -125 จำนวนจริงทุกจำนวนมีรากที่สามเพียงค่าเดียว

ม.2 เทอม 1 · บทที่ 2 ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจำนวนจริง · อ่าน 5 นาที

สรุปความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจำนวนจริง ม.2

สรุปจำนวนจริง ม.2 จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ วิธีเขียนทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วน การหารากที่สองและรากที่สามด้วยการแยกตัวประกอบและการประมาณ พร้อมจุดที่พลาดบ่อย

โดย OneClickMathเผยแพร่ 26 กันยายน 2569

จำนวนจริง ประกอบด้วย จำนวนตรรกยะ (เขียนเป็นทศนิยมซ้ำหรือเศษส่วน $\frac{a}{b}$ ได้ เมื่อ $a, b$ เป็นจำนวนเต็มและ $b \neq = 0$ ) และ จำนวนอตรรกยะ (เขียนเป็นทศนิยมซ้ำหรือเศษส่วนแบบนั้นไม่ได้ เช่น $2$ , $π$ ) บทนี้เรียนใน ม.2 เทอม 1 ครอบคลุมจำนวนตรรกยะ การเขียนทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วน จำนวนอตรรกยะ รากที่สอง และรากที่สามของจำนวนจริง

สวัสดีครับ นี่พี่ติว OCM

คำถามที่ออกบ่อยที่สุดของบทนี้คือ "จำนวนนี้เป็นตรรกยะหรืออตรรกยะ" กับ "รากที่สองของจำนวนนี้คืออะไร" จำหลักแยกให้ได้ แล้วเก็บคะแนนได้แทบทั้งบทครับ

สรุปบทนี้ใน 1 ตาราง

หัวข้อ	ต้องทำอะไรเป็น
จำนวนตรรกยะ	เขียนทศนิยมซ้ำให้เป็นเศษส่วนได้
จำนวนอตรรกยะ	แยกออกว่าจำนวนไหนเขียนเป็นทศนิยมซ้ำหรือเศษส่วนไม่ได้
รากที่สอง	หารากที่สองด้วยการแยกตัวประกอบหรือการประมาณ และเปรียบเทียบจำนวนที่ติดรูป
รากที่สาม	หารากที่สามของจำนวนบวกและจำนวนลบ

1จำนวนตรรกยะ

จำนวนตรรกยะ คือจำนวนที่เขียนแทนได้ด้วยทศนิยมซ้ำ หรือเศษส่วน $\frac{a}{b}$ เมื่อ $a$ , $b$ เป็นจำนวนเต็ม และ $b \neq = 0$

ตัวอย่างจำนวนตรรกยะ

จำนวนเต็มทุกตัว เช่น $- 5 = \frac{- 5}{1}$ , $0 = \frac{0}{1}$
เศษส่วน เช่น $\frac{3}{7}$
ทศนิยมที่ซ้ำด้วย 0 เช่น $0.25 = 0.25000 \dots = \frac{1}{4}$
ทศนิยมซ้ำแบบอื่น เช่น $0. \dot{3} = \frac{1}{3}$ , $1. \dot{2} \dot{7} = \frac{14}{11}$

ทศนิยมซ้ำแบ่งได้สองกลุ่ม คือ ทศนิยมซ้ำศูนย์ เช่น $0.25 \dot{0}$ ซึ่งปกติเขียนสั้น ๆ ว่า $0.25$ และ ทศนิยมซ้ำที่ไม่ใช่ทศนิยมซ้ำศูนย์ เช่น $0. \dot{3}$ หรือ $2.1 \dot{4} 5 \dot{6}$ จุดบนตัวเลขบอกตัวแรกกับตัวสุดท้ายของชุดที่ซ้ำ

เขียนทศนิยมซ้ำให้เป็นเศษส่วน

หลักคือตั้งให้ทศนิยมนั้นเป็น $N$ แล้วคูณด้วย $10$ , $100$ , $1000$ ให้ได้สองสมการที่หลังจุดทศนิยมเหมือนกันทุกตัว พอนำมาลบกัน ส่วนที่ซ้ำจะหายไป

ตัวอย่าง 1 เขียน $0. \dot{4}$ เป็นเศษส่วน

N 10 N 10 N - N 9 N = 0.444 \dots = 4.444 \dots = 4 = 4 \Rightarrow N = \frac{4}{9}

ตัวอย่าง 2 เขียน $0.3 \dot{1} \dot{8}$ เป็นเศษส่วน (ชุดที่ซ้ำคือ 18 เริ่มหลังเลข 3)

N 1000 N 10 N 1000 N - 10 N 990 N = 0.31818 \dots = 318.1818 \dots = 3.1818 \dots = 315 = 315 \Rightarrow N = \frac{315}{990} = \frac{7}{22}

ตรวจคำตอบได้โดยหาร $7 \div 22 = 0.31818 \dots$ จริง

2จำนวนอตรรกยะ

จำนวนอตรรกยะ คือจำนวนที่เขียนแทนด้วยทศนิยมซ้ำหรือเศษส่วน $\frac{a}{b}$ (เมื่อ $a, b$ เป็นจำนวนเต็มและ $b \neq = 0$ ) ไม่ได้ ถ้าเขียนเป็นทศนิยมจะได้ทศนิยมที่ ไม่ซ้ำ ไปเรื่อย ๆ

ตัวอย่าง

$2 = 1.41421356 \dots$
$3$ , $5$ , $7$ (รากที่สองของจำนวนนับที่ไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์)
$π = 3.14159265 \dots$
$0.101001000100001 \dots$ (มีแบบรูปแต่ไม่ซ้ำเป็นชุด)

แผนผังจำนวนจริง

จำนวนจริง	แบ่งย่อย	ตัวอย่าง
จำนวนตรรกยะ	จำนวนเต็ม (บวก ศูนย์ ลบ)	$- 3$ , $0$ , $12$
จำนวนตรรกยะ	ไม่ใช่จำนวนเต็ม	$\frac{2}{5}$ , $0.75$ , $0. \dot{6}$
จำนวนอตรรกยะ	ทศนิยมที่ไม่ซ้ำ	$2$ , $10$ , $π$

3รากที่สองของจำนวนจริง

รากที่สองของ $a$ (เมื่อ $a$ เป็นจำนวนจริงบวกหรือศูนย์) คือจำนวนจริงที่ยกกำลังสองแล้วได้ $a$

รากที่สองของ $49$ คือ $7$ และ $- 7$ เพราะ $7^{2} = (- 7)^{2} = 49$
เขียน $a$ แทน รากที่สองที่เป็นบวก และ $- a$ แทนรากที่สองที่เป็นลบ
$49 = 7$ เท่านั้น ไม่ใช่ $\pm 7$
รากที่สองของ 0 คือ 0
ไม่พูดถึงรากที่สองของจำนวนลบ เพราะไม่มีจำนวนจริงใดยกกำลังสองแล้วได้จำนวนลบ
ถ้าหาจำนวนเต็มที่ยกกำลังสองแล้วได้จำนวนนั้นไม่ได้ เช่น 15 รากที่สองคือ $15$ และ $- 15$ ซึ่งเป็นจำนวนอตรรกยะ

วิธีหารากที่สอง

1. แยกตัวประกอบ

324 = 2^{2} \times 3^{4} = 2 \times 3^{2} = 18

2. การประมาณ (เมื่อไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์)

หา $20$ ทีละขั้น

จำนวนเต็ม: $4^{2} = 16$ และ $5^{2} = 25$ ดังนั้น $20$ อยู่ระหว่าง 4 กับ 5 และ 20 ใกล้ 16 มากกว่า 25 จึงประมาณเป็นจำนวนเต็มได้ 4
ทศนิยม 1 ตำแหน่ง: $4. 4^{2} = 19.36$ และ $4. 5^{2} = 20.25$ ดังนั้น $20$ อยู่ระหว่าง 4.4 กับ 4.5 และ 20 ใกล้ 20.25 มากกว่า จึงได้ $20 \approx 4.5$
ทศนิยม 2 ตำแหน่ง: $4.4 7^{2} = 19.9809$ และ $4.4 8^{2} = 20.0704$ และ 20 ใกล้ 19.9809 มากกว่า จึงได้ $20 \approx 4.47$

วิธีนี้คือการ "บีบ" ครับ หาสองจำนวนที่ประกบไว้ก่อน แล้วค่อยขยับทีละตำแหน่งทศนิยม ลองเลื่อนค่า n ดู

² = <<² =

ลอง	4.3	4.4	4.5
ยกกำลังสอง	18.49	19.36	20.25

จำนวน n = 20

หารากที่สองโดยประมาณ: บีบให้อยู่ระหว่างกำลังสองสมบูรณ์จุดสีน้ำเงินคือตำแหน่งของรากที่สองบนเส้นจำนวน ตารางด้านล่างคือการลองทศนิยมทีละ 0.1

ถ้าจำนวนมาก ๆ หรือต้องการทศนิยมหลายตำแหน่ง ใช้เครื่องคิดเลขช่วยได้

สมบัติของรากที่สองที่ใช้บ่อย

เมื่อ $a > 0$ และ $b > 0$

ถ้า $a < b$ แล้ว $a < b$ เช่น $5 < 13$
$a \times b = ab$ เช่น $8 = 4 \times 2 = 22$
$\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$ เช่น $\frac{18}{2} = 9 = 3$

เปรียบเทียบ $27$ กับ $33$ : เขียนใหม่เป็น $4 \times 7 = 28$ และ $9 \times 3 = 27$ เพราะ $27 < 28$ จึงได้ $33 < 27$

กำลังสองสมบูรณ์ที่ควรจำ

$1 1^{2} = 121$ , $1 2^{2} = 144$ , $1 3^{2} = 169$ , $1 4^{2} = 196$ , $1 5^{2} = 225$ , $1 6^{2} = 256$ , $1 7^{2} = 289$ , $1 8^{2} = 324$ , $1 9^{2} = 361$ , $2 0^{2} = 400$

4รากที่สามของจำนวนจริง

รากที่สามของ $a$ (เมื่อ $a$ เป็นจำนวนจริงใด ๆ) คือจำนวนจริงที่ยกกำลังสามแล้วได้ $a$ เขียนแทนด้วย $3 a$

$364 = 4$ เพราะ $4^{3} = 64$
$3 - 125 = - 5$ เพราะ $(- 5)^{3} = - 125$
$3 0.008 = 0.2$ เพราะ $0. 2^{3} = 0.008$
$3 \frac{8}{27} = \frac{2}{3}$

รากที่สามต่างจากรากที่สองสองข้อ

จำนวนจริงทุกตัวมีรากที่สามที่เป็นจำนวนจริง เพียงค่าเดียว
จำนวนลบมีรากที่สามได้ และเป็นจำนวนลบ

หารากที่สามด้วยการแยกตัวประกอบ

31728 = 3 2^{6} \times 3^{3} = 2^{2} \times 3 = 12

กำลังสามที่ควรจำ

$1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000$

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

ตอบว่า $49 = \pm 7$ ที่ถูกคือ $49 = 7$ ส่วนรากที่สองของ 49 คือ $\pm 7$
คิดว่า $4$ เป็นจำนวนอตรรกยะเพราะมีเครื่องหมายราก ที่จริง $4 = 2$ เป็นตรรกยะ
คิดว่าทศนิยมที่ยาวไม่รู้จบทุกตัวเป็นอตรรกยะ แต่ทศนิยมซ้ำเป็นตรรกยะเสมอ
เขียนทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วนแล้วลืมตัดทอนเศษส่วนให้เป็นอย่างต่ำ
ตอบว่า $3 - 27$ หาค่าไม่ได้ ที่จริงได้ $- 3$

คำถามที่พบบ่อย

$จำนวนตรรกยะกับจำนวนอตรรกยะต่างกันอย่างไร$: $จำนวนตรรกยะเขียนแทนได้ด้วยทศนิยมซ้ำหรือเศษส่วน a/b เมื่อ a, b เป็นจำนวนเต็มและ b ไม่เท่ากับ 0 ส่วนจำนวนอตรรกยะเขียนแบบนั้นไม่ได้ เช่น \sqrt2 และ π$
$เขียนทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วนอย่างไร$: $ให้ทศนิยมนั้นเป็น N แล้วคูณด้วย 10, 100 หรือ 1000 ให้ได้สองสมการที่ส่วนหลังจุดทศนิยมเหมือนกัน นำมาลบกันจะเหลือแต่จำนวนเต็ม เช่น N = 0.444... ได้ 10N - N = 4 จึงได้ N = 4/9$
$π เป็นจำนวนตรรกยะหรือไม่$: $π เป็นจำนวนอตรรกยะ ส่วน 22/7 และ 3.14 เป็นเพียงค่าประมาณของ π ซึ่งเป็นจำนวนตรรกยะ$
$รากที่สองของ 49 คือ 7 หรือ \pm7$: $รากที่สองของ 49 มีสองค่า คือ 7 และ -7 แต่สัญลักษณ์ \sqrt49 หมายถึงรากที่สองที่เป็นบวกเท่านั้น จึงเท่ากับ 7$
$จำนวนลบมีรากที่สามไหม$: $มี เช่น รากที่สามของ -125 คือ -5 เพราะ (-5)³ = -125 จำนวนจริงทุกจำนวนมีรากที่สามเพียงค่าเดียว$