ลำดับเลขคณิตกับลำดับเรขาคณิตต่างกันยังไง

ลำดับเลขคณิตมีผลต่างของพจน์ที่อยู่ติดกันคงตัว เรียกว่าผลต่างร่วม d ส่วนลำดับเรขาคณิตมีอัตราส่วนของพจน์ที่อยู่ติดกันคงตัว เรียกว่าอัตราส่วนร่วม r

ลำดับลู่เข้ากับลำดับลู่ออกต่างกันยังไง

ลำดับลู่เข้าคือลำดับอนันต์ที่มีลิมิตเป็นจำนวนจริง เมื่อ n มากขึ้นไม่สิ้นสุด พจน์จะเข้าใกล้จำนวนนั้น ถ้าลำดับไม่มีลิมิต เรียกว่าลำดับลู่ออก

อนุกรมเรขาคณิตอนันต์หาผลบวกได้เมื่อไหร่

หาได้เมื่อ |r| < 1 ผลบวกคือ a₁/(1 - r) ถ้า |r| ≥ 1 อนุกรมนี้ลู่ออก

ลำดับฮาร์มอนิกคืออะไร

ลำดับฮาร์มอนิกคือลำดับที่ส่วนกลับของทุกพจน์เรียงกันเป็นลำดับเลขคณิต เช่น 1/3, 1/7, 1/11 เพราะ 3, 7, 11 มีผลต่างร่วมเท่ากับ 4

สูตรดอกเบี้ยทบต้นคืออะไร

ฝากเงินต้น P บาท อัตราดอกเบี้ย i% ต่อปี ให้ r = i/100 ถ้าทบต้นปีละ k ครั้ง เมื่อครบ n ปีจะมีเงินรวม P(1 + r/k)^(kn) บาท

ม.6 เทอม 1 · บทที่ 1 ลำดับและอนุกรม · อ่าน 7 นาที

สรุปลำดับและอนุกรม ม.6

Q: อนุกรมเรขาคณิตอนันต์หาผลบวกได้เมื่อไหร่

หาได้เมื่อ |r| < 1 ผลบวกคือ a₁/(1 - r) ถ้า |r| ≥ 1 อนุกรมนี้ลู่ออก

Q: ลำดับฮาร์มอนิกคืออะไร

ลำดับฮาร์มอนิกคือลำดับที่ส่วนกลับของทุกพจน์เรียงกันเป็นลำดับเลขคณิต เช่น 1/3, 1/7, 1/11 เพราะ 3, 7, 11 มีผลต่างร่วมเท่ากับ 4

Q: สูตรดอกเบี้ยทบต้นคืออะไร

ฝากเงินต้น P บาท อัตราดอกเบี้ย i% ต่อปี ให้ r = i/100 ถ้าทบต้นปีละ k ครั้ง เมื่อครบ n ปีจะมีเงินรวม P(1 + r/k)^(kn) บาท

สรุปลำดับและอนุกรม ม.6 เพิ่มเติม ลำดับเลขคณิต เรขาคณิต ฮาร์มอนิก ลิมิตของลำดับ อนุกรมอนันต์ ซิกมา ดอกเบี้ยทบต้น มูลค่าปัจจุบัน และค่างวด

โดย OneClickMathเผยแพร่ 26 กันยายน 2569

ลำดับ คือฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็น ${1, 2, 3, \dots, n}$ หรือเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก ส่วน อนุกรม คือการเขียนแสดงการบวกของพจน์ในลำดับ $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots$ บทนี้เป็นคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.6 เทอม 1 เรียงตามหัวข้อ ลำดับ ลิมิตของลำดับอนันต์ อนุกรม สัญลักษณ์แสดงการบวก และการประยุกต์เรื่องดอกเบี้ยกับค่างวด

สวัสดีครับ นี่พี่ติว OCM ถามตัวเองทุกข้อว่า "บวกเท่ากันหรือคูณเท่ากัน" ถ้าบวกเท่ากันคือเลขคณิต ถ้าคูณเท่ากันคือเรขาคณิต แค่นี้ก็เลือกสูตรถูกแล้ว

สรุปสูตรในตารางเดียว

ชนิด	พจน์ทั่วไป	ผลบวก $n$ พจน์แรก
เลขคณิต (ผลต่างร่วม $d$ )	$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$	$S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n}) = \frac{n}{2} [2 a_{1} + (n - 1) d]$
เรขาคณิต (อัตราส่วนร่วม $r$ )	$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$	$S_{n} = \frac{a _{1} ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}$ เมื่อ $r \neq = 1$
อนุกรมเรขาคณิตอนันต์		$\frac{a _{1}}{1 - r}$ เมื่อ $∣ r ∣ < 1$

ลำดับ

ความหมายของลำดับ

ลำดับ คือฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซต ${1, 2, 3, \dots, n}$ หรือมีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก เรียก $a_{n}$ ว่าพจน์ที่ $n$ หรือ พจน์ทั่วไป ของลำดับ

ลำดับจำกัด มีโดเมนเป็น ${1, 2, 3, \dots, n}$ เช่น $4, 9, 14, 19, 24$
ลำดับอนันต์ มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก เช่น $1, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \dots, \frac{1}{n ^{2}}, \dots$

ถ้ารู้พจน์ทั่วไปก็หาพจน์ใดก็ได้ เช่น $a_{n} = 2 n^{2} - 1$ ได้สี่พจน์แรกเป็น $1, 7, 17, 31$

ลำดับเลขคณิต

ลำดับที่ผลต่างของพจน์ที่ $n + 1$ กับพจน์ที่ $n$ มีค่าคงตัว เรียกค่าคงตัวนี้ว่า ผลต่างร่วม $d = a_{n + 1} - a_{n}$

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

ตัวอย่าง: $7, 11, 15, \dots$ มี $d = 4$ พจน์ที่ 25 คือ $7 + (24) (4) = 103$

ตัวอย่าง: ถ้า $a_{4} = 13$ และ $a_{9} = 33$ จะได้ $5 d = 20$ ดังนั้น $d = 4$ และ $a_{1} = 13 - (3) (4) = 1$

ลำดับเรขาคณิต

ลำดับที่อัตราส่วนของพจน์ที่ $n + 1$ ต่อพจน์ที่ $n$ มีค่าคงตัว เรียกค่าคงตัวนี้ว่า อัตราส่วนร่วม $r = \frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$

a_{n} = a_{1} r^{n - 1}

ตัวอย่าง: $5, 15, 45, \dots$ มี $r = 3$ พจน์ที่ 6 คือ $(5) (3^{5}) = 1, 215$

ตัวอย่าง: ถ้า $a_{3} = 12$ และ $a_{6} = - 96$ จะได้ $r^{3} = - 8$ ดังนั้น $r = - 2$ และ $a_{1} = \frac{12}{( - 2 ) ^{2}} = 3$

ลำดับฮาร์มอนิก

ลำดับฮาร์มอนิก คือลำดับ $a_{n}$ ซึ่งลำดับของส่วนกลับ $b_{n} = \frac{1}{a _{n}}$ เป็นลำดับเลขคณิต

ตัวอย่าง: $a_{n} = \frac{1}{4 n - 1}$ ได้ $b_{n} = 4 n - 1$ ซึ่งมี $b_{n + 1} - b_{n} = 4$ คงตัว ดังนั้น $\frac{1}{3}, \frac{1}{7}, \frac{1}{11}, \dots$ เป็นลำดับฮาร์มอนิก

ลิมิตของลำดับอนันต์

ถ้า $a_{n}$ เข้าใกล้จำนวนจริง $L$ เมื่อ $n$ มีค่ามากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุด เขียน $n \to \infty lim a_{n} = L$ และเรียก $a_{n}$ ว่า ลำดับลู่เข้า ถ้าลำดับไม่มีลิมิต เรียกว่า ลำดับลู่ออก

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของลำดับ

ถ้า $r$ เป็นจำนวนจริงบวก แล้ว $n \to \infty lim \frac{1}{n ^{r}} = 0$ และ $n \to \infty lim n^{r}$ ไม่มีค่า
ถ้า $∣ r ∣ < 1$ แล้ว $n \to \infty lim r^{n} = 0$ และถ้า $∣ r ∣ > 1$ แล้ว $n \to \infty lim r^{n}$ ไม่มีค่า
ถ้า $n \to \infty lim a_{n} = A$ และ $n \to \infty lim b_{n} = B$ จะได้ลิมิตของค่าคงตัวเท่ากับค่าคงตัวนั้น และ $lim c a_{n} = c A$ , $lim (a_{n} \pm b_{n}) = A \pm B$ , $lim (a_{n} b_{n}) = A B$ , $lim \frac{a _{n}}{b _{n}} = \frac{A}{B}$ เมื่อ $b_{n} \neq = 0$ และ $B \neq = 0$
ถ้า $a_{n} \neq = 0$ ทุกพจน์ และ $n \to \infty lim \frac{1}{a _{n}} = 0$ แล้วลำดับ $a_{n}$ ลู่ออก
ถ้า $a_{n} \geq 0$ และ $n \to \infty lim a_{n} = L$ แล้ว $n \to \infty lim m a_{n} = m L$ เมื่อ $m$ เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่าหรือเท่ากับ 2

ลิมิตของเศษส่วนพหุนาม

หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วย $n$ กำลังสูงสุดของตัวส่วน แล้วใช้ทฤษฎีบทข้อ 1 และ 3

n \to \infty lim \frac{3 n ^{2} - n + 1}{2 n ^{2} + 5} = n \to \infty lim \frac{3 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n ^{2}}}{2 + \frac{5}{n ^{2}}} = \frac{3}{2}

ดีกรีตัวเศษเทียบกับดีกรีตัวส่วน	ผล
ตัวเศษน้อยกว่า	ลู่เข้าสู่ $0$
เท่ากัน	ลู่เข้าสู่อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์ของพจน์ดีกรีสูงสุด
ตัวเศษมากกว่า	ลู่ออก

ตัวอย่าง: $a_{n} = \frac{n ^{3} + 2}{4 n ^{2}}$ ได้ $\frac{1}{a _{n}} = \frac{4 n ^{2}}{n ^{3} + 2} \to 0$ จากทฤษฎีบทข้อ 4 ลำดับนี้ลู่ออก

ตัวอย่าง: $n \to \infty lim \frac{9 n + 2}{n + 7} = 9 = 3$ จากทฤษฎีบทข้อ 5

อนุกรม

ผลบวก $n$ พจน์แรกของอนุกรมเขียนแทนด้วย $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$

อนุกรมเลขคณิต

S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n}) = \frac{n}{2} [2 a_{1} + (n - 1) d]

ตัวอย่าง: $5 + 8 + 11 + \dots + 62$ มี $d = 3$ และ $62 = 5 + (n - 1) (3)$ ได้ $n = 20$ ผลบวกคือ $\frac{20}{2} (5 + 62) = 670$

ตัวอย่าง: จำนวนนับที่หารด้วย 6 ลงตัวตั้งแต่ 6 ถึง 120 มี 20 จำนวน ผลบวกคือ $\frac{20}{2} (6 + 120) = 1, 260$

อนุกรมเรขาคณิต

S_{n} = \frac{a _{1} ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}, r \neq = 1

ตัวอย่าง: $3 + 12 + 48 + \dots$ (6 พจน์) มี $r = 4$ ผลบวกคือ $\frac{3 ( 1 - 4 ^{6} )}{1 - 4} = 4, 095$

อนุกรมอนันต์

เมื่อลำดับเป็นลำดับอนันต์ จะเรียก $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots$ ว่า อนุกรมอนันต์ และเรียก $S_{n}$ ว่า ผลบวกย่อย $n$ พจน์แรก ลำดับ $S_{1}, S_{2}, S_{3}, \dots$ เรียกว่า ลำดับของผลบวกย่อย

ถ้า $n \to \infty lim S_{n} = S$ เมื่อ $S$ เป็นจำนวนจริง อนุกรมนี้เป็น อนุกรมลู่เข้า และ $S$ คือผลบวกของอนุกรม
ถ้าลำดับ $S_{n}$ ลู่ออก อนุกรมนี้เป็น อนุกรมลู่ออก

ตัวอย่าง: $\frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \dots$ แยกแต่ละพจน์เป็น $\frac{1}{k + 2} - \frac{1}{k + 3}$ จะตัดกันเหลือ $S_{n} = \frac{1}{3} - \frac{1}{n + 3}$ ดังนั้นอนุกรมนี้ลู่เข้าและมีผลบวก $\frac{1}{3}$

ตัวอย่าง: อนุกรม $2 + 4 + 6 + \dots$ มี $S_{n} = n (n + 1)$ ซึ่งไม่มีลิมิต จึงลู่ออก

อนุกรมเรขาคณิตอนันต์ ที่มี $a_{1}$ เป็นพจน์แรก และ $r$ เป็นอัตราส่วนร่วม

ถ้า $∣ r ∣ < 1$ อนุกรมลู่เข้าและมีผลบวก $\frac{a _{1}}{1 - r}$
ถ้า $∣ r ∣ \geq 1$ อนุกรมลู่ออก

ตัวอย่าง: $12 - 4 + \frac{4}{3} - \dots$ มี $r = - \frac{1}{3}$ ผลบวกคือ $\frac{12}{1 - ( - \frac{1}{3} )} = 9$

ตัวอย่าง: ทศนิยมซ้ำ $0. \dot{2} \dot{7} = 0.27 + 0.0027 + \dots = \frac{0.27}{1 - 0.01} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$

6, 3, 32, 34

แท่งคือผลบวกย่อย S₁ ถึง S₄ เส้นประสีส้มคือผลบวกของอนุกรมอนันต์ 12

a₁ = 6n = 4

r =

ผลบวกย่อยของอนุกรม: เลือกชนิด แล้วเลื่อนพจน์แรก ผลต่างร่วมหรืออัตราส่วนร่วม และ nสลับเป็นอนุกรมเรขาคณิตแล้วลอง r = 12 กับ r = 2 แท่งผลบวกย่อยจะหยุดอยู่ใต้เส้นประเมื่อ |r| < 1 แต่พุ่งไม่หยุดเมื่อ |r| ≥ 1 ส่วนอนุกรมเลขคณิตที่ d ไม่เป็นศูนย์จะลู่ออกเสมอ

สัญลักษณ์แสดงการบวก

i = 1 \sum n a_{i} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}

สมบัติ

$i = 1 \sum n c = n c$ เมื่อ $c$ เป็นค่าคงตัว
$i = 1 \sum n c a_{i} = c i = 1 \sum n a_{i}$
$i = 1 \sum n (a_{i} + b_{i}) = i = 1 \sum n a_{i} + i = 1 \sum n b_{i}$ และ $i = 1 \sum n (a_{i} - b_{i}) = i = 1 \sum n a_{i} - i = 1 \sum n b_{i}$

สูตรผลบวก

i = 1 \sum n i = \frac{n ( n + 1 )}{2}, i = 1 \sum n i^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}, i = 1 \sum n i^{3} = (\frac{n ( n + 1 )}{2})^{2}

ตัวอย่าง

i = 1 \sum 10 (2 i^{2} - 3) = 2 \cdot \frac{( 10 ) ( 11 ) ( 21 )}{6} - (10) (3) = 770 - 30 = 740

ตัวอย่าง: $i = 1 \sum 6 i^{3} = (\frac{( 6 ) ( 7 )}{2})^{2} = 441$

การประยุกต์ของลำดับและอนุกรม

ดอกเบี้ยทบต้น

ฝากเงินต้น $P$ บาท ได้อัตราดอกเบี้ย $i %$ ต่อปี ให้ $r = \frac{i}{100}$ ถ้าคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นปีละครั้ง เมื่อสิ้นปีที่ $n$ จะมีเงินรวม $P (1 + r)^{n}$ บาท ถ้าคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นปีละ $k$ ครั้ง จะมีเงินรวม

P (1 + \frac{r}{k})^{k n}

ตัวอย่าง: ฝาก $25, 000$ บาท อัตราดอกเบี้ย 2% ต่อปี ทบต้นทุก 3 เดือน ( $k = 4$ ) เป็นเวลา 2 ปี

25, 000 (1 + \frac{0.02}{4})^{8} = 25, 000 (1.005)^{8} \approx 26, 017.68 บาท

มูลค่าปัจจุบันและมูลค่าอนาคต

เงินรวม $S = P (1 + \frac{r}{k})^{k n}$ เรียกว่า มูลค่าอนาคต ของเงินต้น $P$ ในทางกลับกัน $P$ คือ มูลค่าปัจจุบัน ของเงินรวม $S$

P = S (1 + \frac{r}{k})^{- k n}

ค่างวด

การรับหรือจ่ายเงินเท่ากันทุกงวด ติดต่อกันทุกงวด ตอนต้นงวดหรือสิ้นงวด เรียกว่า ค่างวด ให้ฝากงวดละ $R$ บาท รวม $n$ งวด อัตราดอกเบี้ยต่องวดเป็น $i %$ และ $r = \frac{i}{100}$ เงินรวมเมื่อสิ้นงวดที่ $n$ เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วม $1 + r$

ค่างวด	เงินรวมเมื่อสิ้นงวดที่ $n$
ฝากตอนต้นงวด	$\frac{R ( 1 + r ) ( ( 1 + r ) ^{n} - 1 )}{r}$
ฝากตอนสิ้นงวด	$\frac{R ( ( 1 + r ) ^{n} - 1 )}{r}$

ตัวอย่าง: ฝากเงินทุกสิ้นเดือน เดือนละ 500 บาท อัตราดอกเบี้ย 1.2% ต่อปี ทบต้นทุกเดือน ได้ $r = \frac{0.012}{12} = 0.001$ เมื่อครบ 3 ปี (36 งวด) จะมีเงินรวม $\frac{500 ( ( 1.001 ) ^{36} - 1 )}{0.001} \approx 18, 318.60$ บาท

การผ่อนชำระสินค้าคิดจากมูลค่าปัจจุบัน ยอดที่ต้องผ่อนเท่ากับผลบวกของมูลค่าปัจจุบันของค่างวดทุกงวด ถ้าผ่อนทุกสิ้นงวด งวดละ $R$ บาท รวม $n$ งวด ผลบวกนี้คือ $R (1 + r)^{- 1} + R (1 + r)^{- 2} + \dots + R (1 + r)^{- n}$ ซึ่งเป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วม $(1 + r)^{- 1}$ ตั้งให้เท่ากับยอดที่ผ่อนแล้วแก้หา $R$

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

ใช้ $a_{n} = a_{1} + n d$ ที่ถูกคือ $a_{1} + (n - 1) d$
ใช้ $\frac{a _{1}}{1 - r}$ ทั้งที่ $∣ r ∣ \geq 1$
ทบต้นปีละ $k$ ครั้ง ต้องใช้อัตรา $\frac{r}{k}$ ต่องวด และจำนวนงวด $k n$
ค่างวดตอนต้นงวดกับสิ้นงวดต่างกันที่ตัวคูณ $1 + r$
$i = 1 \sum n c = n c$ ไม่ใช่ $c$

คำถามที่พบบ่อย

$ลำดับเลขคณิตกับลำดับเรขาคณิตต่างกันยังไง$: $ลำดับเลขคณิตมีผลต่างของพจน์ที่อยู่ติดกันคงตัว เรียกว่าผลต่างร่วม d ส่วนลำดับเรขาคณิตมีอัตราส่วนของพจน์ที่อยู่ติดกันคงตัว เรียกว่าอัตราส่วนร่วม r$
$ลำดับลู่เข้ากับลำดับลู่ออกต่างกันยังไง$: $ลำดับลู่เข้าคือลำดับอนันต์ที่มีลิมิตเป็นจำนวนจริง เมื่อ n มากขึ้นไม่สิ้นสุด พจน์จะเข้าใกล้จำนวนนั้น ถ้าลำดับไม่มีลิมิต เรียกว่าลำดับลู่ออก$
$อนุกรมเรขาคณิตอนันต์หาผลบวกได้เมื่อไหร่$: $หาได้เมื่อ |r| < 1 ผลบวกคือ a₁/(1 - r) ถ้า |r| \geq 1 อนุกรมนี้ลู่ออก$
$ลำดับฮาร์มอนิกคืออะไร$: $ลำดับฮาร์มอนิกคือลำดับที่ส่วนกลับของทุกพจน์เรียงกันเป็นลำดับเลขคณิต เช่น 1/3, 1/7, 1/11 เพราะ 3, 7, 11 มีผลต่างร่วมเท่ากับ 4$
$สูตรดอกเบี้ยทบต้นคืออะไร$: $ฝากเงินต้น P บาท อัตราดอกเบี้ย i% ต่อปี ให้ r = i/100 ถ้าทบต้นปีละ k ครั้ง เมื่อครบ n ปีจะมีเงินรวม P(1 + r/k)^(kn) บาท$

ม.6 เทอม 1 · บทที่ 1 ลำดับและอนุกรม · อ่าน 7 นาที

สรุปลำดับและอนุกรม ม.6

โดย OneClickMathเผยแพร่ 26 กันยายน 2569

สรุปสูตรในตารางเดียว

ชนิด	พจน์ทั่วไป	ผลบวก $n$ พจน์แรก
เลขคณิต (ผลต่างร่วม $d$ )	$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$	$S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n}) = \frac{n}{2} [2 a_{1} + (n - 1) d]$
เรขาคณิต (อัตราส่วนร่วม $r$ )	$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$	$S_{n} = \frac{a _{1} ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}$ เมื่อ $r \neq = 1$
อนุกรมเรขาคณิตอนันต์		$\frac{a _{1}}{1 - r}$ เมื่อ $∣ r ∣ < 1$

ลำดับ

ความหมายของลำดับ

ลำดับจำกัด มีโดเมนเป็น ${1, 2, 3, \dots, n}$ เช่น $4, 9, 14, 19, 24$
ลำดับอนันต์ มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก เช่น $1, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \dots, \frac{1}{n ^{2}}, \dots$

ถ้ารู้พจน์ทั่วไปก็หาพจน์ใดก็ได้ เช่น $a_{n} = 2 n^{2} - 1$ ได้สี่พจน์แรกเป็น $1, 7, 17, 31$

ลำดับเลขคณิต

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

ตัวอย่าง: $7, 11, 15, \dots$ มี $d = 4$ พจน์ที่ 25 คือ $7 + (24) (4) = 103$

ตัวอย่าง: ถ้า $a_{4} = 13$ และ $a_{9} = 33$ จะได้ $5 d = 20$ ดังนั้น $d = 4$ และ $a_{1} = 13 - (3) (4) = 1$

ลำดับเรขาคณิต

a_{n} = a_{1} r^{n - 1}

ตัวอย่าง: $5, 15, 45, \dots$ มี $r = 3$ พจน์ที่ 6 คือ $(5) (3^{5}) = 1, 215$

ตัวอย่าง: ถ้า $a_{3} = 12$ และ $a_{6} = - 96$ จะได้ $r^{3} = - 8$ ดังนั้น $r = - 2$ และ $a_{1} = \frac{12}{( - 2 ) ^{2}} = 3$

ลำดับฮาร์มอนิก

ลิมิตของลำดับอนันต์

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของลำดับ

ถ้า $r$ เป็นจำนวนจริงบวก แล้ว $n \to \infty lim \frac{1}{n ^{r}} = 0$ และ $n \to \infty lim n^{r}$ ไม่มีค่า
ถ้า $∣ r ∣ < 1$ แล้ว $n \to \infty lim r^{n} = 0$ และถ้า $∣ r ∣ > 1$ แล้ว $n \to \infty lim r^{n}$ ไม่มีค่า
ถ้า $n \to \infty lim a_{n} = A$ และ $n \to \infty lim b_{n} = B$ จะได้ลิมิตของค่าคงตัวเท่ากับค่าคงตัวนั้น และ $lim c a_{n} = c A$ , $lim (a_{n} \pm b_{n}) = A \pm B$ , $lim (a_{n} b_{n}) = A B$ , $lim \frac{a _{n}}{b _{n}} = \frac{A}{B}$ เมื่อ $b_{n} \neq = 0$ และ $B \neq = 0$
ถ้า $a_{n} \neq = 0$ ทุกพจน์ และ $n \to \infty lim \frac{1}{a _{n}} = 0$ แล้วลำดับ $a_{n}$ ลู่ออก
ถ้า $a_{n} \geq 0$ และ $n \to \infty lim a_{n} = L$ แล้ว $n \to \infty lim m a_{n} = m L$ เมื่อ $m$ เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่าหรือเท่ากับ 2

ลิมิตของเศษส่วนพหุนาม

n \to \infty lim \frac{3 n ^{2} - n + 1}{2 n ^{2} + 5} = n \to \infty lim \frac{3 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n ^{2}}}{2 + \frac{5}{n ^{2}}} = \frac{3}{2}

ดีกรีตัวเศษเทียบกับดีกรีตัวส่วน	ผล
ตัวเศษน้อยกว่า	ลู่เข้าสู่ $0$
เท่ากัน	ลู่เข้าสู่อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์ของพจน์ดีกรีสูงสุด
ตัวเศษมากกว่า	ลู่ออก

ตัวอย่าง: $n \to \infty lim \frac{9 n + 2}{n + 7} = 9 = 3$ จากทฤษฎีบทข้อ 5

อนุกรม

ผลบวก $n$ พจน์แรกของอนุกรมเขียนแทนด้วย $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$

อนุกรมเลขคณิต

S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n}) = \frac{n}{2} [2 a_{1} + (n - 1) d]

ตัวอย่าง: $5 + 8 + 11 + \dots + 62$ มี $d = 3$ และ $62 = 5 + (n - 1) (3)$ ได้ $n = 20$ ผลบวกคือ $\frac{20}{2} (5 + 62) = 670$

อนุกรมเรขาคณิต

S_{n} = \frac{a _{1} ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}, r \neq = 1

ตัวอย่าง: $3 + 12 + 48 + \dots$ (6 พจน์) มี $r = 4$ ผลบวกคือ $\frac{3 ( 1 - 4 ^{6} )}{1 - 4} = 4, 095$

อนุกรมอนันต์

ถ้า $n \to \infty lim S_{n} = S$ เมื่อ $S$ เป็นจำนวนจริง อนุกรมนี้เป็น อนุกรมลู่เข้า และ $S$ คือผลบวกของอนุกรม
ถ้าลำดับ $S_{n}$ ลู่ออก อนุกรมนี้เป็น อนุกรมลู่ออก

ตัวอย่าง: อนุกรม $2 + 4 + 6 + \dots$ มี $S_{n} = n (n + 1)$ ซึ่งไม่มีลิมิต จึงลู่ออก

อนุกรมเรขาคณิตอนันต์ ที่มี $a_{1}$ เป็นพจน์แรก และ $r$ เป็นอัตราส่วนร่วม

ถ้า $∣ r ∣ < 1$ อนุกรมลู่เข้าและมีผลบวก $\frac{a _{1}}{1 - r}$
ถ้า $∣ r ∣ \geq 1$ อนุกรมลู่ออก

ตัวอย่าง: $12 - 4 + \frac{4}{3} - \dots$ มี $r = - \frac{1}{3}$ ผลบวกคือ $\frac{12}{1 - ( - \frac{1}{3} )} = 9$

ตัวอย่าง: ทศนิยมซ้ำ $0. \dot{2} \dot{7} = 0.27 + 0.0027 + \dots = \frac{0.27}{1 - 0.01} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$

6, 3, 32, 34

แท่งคือผลบวกย่อย S₁ ถึง S₄ เส้นประสีส้มคือผลบวกของอนุกรมอนันต์ 12

a₁ = 6n = 4

r =

สัญลักษณ์แสดงการบวก

i = 1 \sum n a_{i} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}

สมบัติ

$i = 1 \sum n c = n c$ เมื่อ $c$ เป็นค่าคงตัว
$i = 1 \sum n c a_{i} = c i = 1 \sum n a_{i}$
$i = 1 \sum n (a_{i} + b_{i}) = i = 1 \sum n a_{i} + i = 1 \sum n b_{i}$ และ $i = 1 \sum n (a_{i} - b_{i}) = i = 1 \sum n a_{i} - i = 1 \sum n b_{i}$

สูตรผลบวก

i = 1 \sum n i = \frac{n ( n + 1 )}{2}, i = 1 \sum n i^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}, i = 1 \sum n i^{3} = (\frac{n ( n + 1 )}{2})^{2}

ตัวอย่าง

i = 1 \sum 10 (2 i^{2} - 3) = 2 \cdot \frac{( 10 ) ( 11 ) ( 21 )}{6} - (10) (3) = 770 - 30 = 740

ตัวอย่าง: $i = 1 \sum 6 i^{3} = (\frac{( 6 ) ( 7 )}{2})^{2} = 441$

การประยุกต์ของลำดับและอนุกรม

ดอกเบี้ยทบต้น

P (1 + \frac{r}{k})^{k n}

25, 000 (1 + \frac{0.02}{4})^{8} = 25, 000 (1.005)^{8} \approx 26, 017.68 บาท

มูลค่าปัจจุบันและมูลค่าอนาคต

P = S (1 + \frac{r}{k})^{- k n}

ค่างวด

ค่างวด	เงินรวมเมื่อสิ้นงวดที่ $n$
ฝากตอนต้นงวด	$\frac{R ( 1 + r ) ( ( 1 + r ) ^{n} - 1 )}{r}$
ฝากตอนสิ้นงวด	$\frac{R ( ( 1 + r ) ^{n} - 1 )}{r}$

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

ใช้ $a_{n} = a_{1} + n d$ ที่ถูกคือ $a_{1} + (n - 1) d$
ใช้ $\frac{a _{1}}{1 - r}$ ทั้งที่ $∣ r ∣ \geq 1$
ทบต้นปีละ $k$ ครั้ง ต้องใช้อัตรา $\frac{r}{k}$ ต่องวด และจำนวนงวด $k n$
ค่างวดตอนต้นงวดกับสิ้นงวดต่างกันที่ตัวคูณ $1 + r$
$i = 1 \sum n c = n c$ ไม่ใช่ $c$

คำถามที่พบบ่อย

$ลำดับเลขคณิตกับลำดับเรขาคณิตต่างกันยังไง$: $ลำดับเลขคณิตมีผลต่างของพจน์ที่อยู่ติดกันคงตัว เรียกว่าผลต่างร่วม d ส่วนลำดับเรขาคณิตมีอัตราส่วนของพจน์ที่อยู่ติดกันคงตัว เรียกว่าอัตราส่วนร่วม r$
$ลำดับลู่เข้ากับลำดับลู่ออกต่างกันยังไง$: $ลำดับลู่เข้าคือลำดับอนันต์ที่มีลิมิตเป็นจำนวนจริง เมื่อ n มากขึ้นไม่สิ้นสุด พจน์จะเข้าใกล้จำนวนนั้น ถ้าลำดับไม่มีลิมิต เรียกว่าลำดับลู่ออก$
$อนุกรมเรขาคณิตอนันต์หาผลบวกได้เมื่อไหร่$: $หาได้เมื่อ |r| < 1 ผลบวกคือ a₁/(1 - r) ถ้า |r| \geq 1 อนุกรมนี้ลู่ออก$
$ลำดับฮาร์มอนิกคืออะไร$: $ลำดับฮาร์มอนิกคือลำดับที่ส่วนกลับของทุกพจน์เรียงกันเป็นลำดับเลขคณิต เช่น 1/3, 1/7, 1/11 เพราะ 3, 7, 11 มีผลต่างร่วมเท่ากับ 4$
$สูตรดอกเบี้ยทบต้นคืออะไร$: $ฝากเงินต้น P บาท อัตราดอกเบี้ย i% ต่อปี ให้ r = i/100 ถ้าทบต้นปีละ k ครั้ง เมื่อครบ n ปีจะมีเงินรวม P(1 + r/k)^(kn) บาท$