สับเซตกับเพาเวอร์เซตต่างกันยังไง

A เป็นสับเซตของ B เมื่อสมาชิกทุกตัวของ A อยู่ใน B ส่วนเพาเวอร์เซตของ A คือเซตของสับเซตทั้งหมดของ A ถ้า A มีสมาชิก n ตัว เพาเวอร์เซตของ A จะมีสมาชิก 2^n ตัว

เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซตไหม

ใช่ เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต และเซตทุกเซตก็เป็นสับเซตของตัวเองด้วย

สูตรหาจำนวนสมาชิกของ A ∪ B คืออะไร

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) ต้องลบ n(A ∩ B) เพราะสมาชิกที่อยู่ทั้งสองเซตถูกนับซ้ำ

ถ้าโจทย์ไม่บอกเอกภพสัมพัทธ์ต้องใช้อะไร

ถ้าพูดถึงเซตของจำนวนแต่ไม่ได้บอกเอกภพสัมพัทธ์ ให้ถือว่าเอกภพสัมพัทธ์คือเซตของจำนวนจริง

ม.4 เทอม 1 · บทที่ 1 เซต · อ่าน 5 นาที

เซต ม.4

สรุปเซต ม.4 เพิ่มเติม เทอม 1 การเขียนเซต สับเซต เพาเวอร์เซต ยูเนียน อินเตอร์เซกชัน คอมพลีเมนต์ ผลต่าง และสูตรนับสมาชิก n(A ∪ B) พร้อมแผนภาพเวนน์ให้ลองปรับ

โดย OneClickMathเผยแพร่ 26 กันยายน 2569

เซต คือคำที่ใช้เรียกกลุ่มของสิ่งต่าง ๆ ที่บอกได้แน่นอนว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่ม และสิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่ม บทเซต ม.4 คณิตเพิ่มเติม เทอม 1 มี 3 เรื่อง คือ เซต (การเขียนเซต เซตว่าง เซตจำกัด เซตอนันต์ เอกภพสัมพัทธ์ สับเซต เพาเวอร์เซต แผนภาพเวนน์) การดำเนินการระหว่างเซต และการแก้ปัญหาโดยใช้เซต

สวัสดีครับ นี่พี่ติว OCM บทนี้เป็นภาษาพื้นฐานที่ใช้ต่อทั้งตรรกศาสตร์ จำนวนจริง และความน่าจะเป็น คิดแบบ "ตะกร้าใส่ของ" ก่อน แล้วค่อยใส่สัญลักษณ์ จะเข้าใจง่ายกว่าครับ

1เซตและการเขียนเซต

สิ่งที่อยู่ในเซตเรียกว่า สมาชิก นิยมใช้ตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น $A, B, C$ แทนเซต และตัวพิมพ์เล็กแทนสมาชิก

$a \in A$ อ่านว่า $a$ เป็นสมาชิกของเซต $A$
$a \in / A$ อ่านว่า $a$ ไม่เป็นสมาชิกของเซต $A$

การเขียนเซตทำได้ 2 แบบ

แบบ	ตัวอย่าง	ใช้เมื่อ
แจกแจงสมาชิก	$A = {3, 6, 9, 12}$	สมาชิกไม่มาก เขียนออกมาได้
บอกเงื่อนไขของสมาชิก	$A = {x ∣ x$ เป็นจำนวนนับที่หารด้วย 3 ลงตัวและน้อยกว่า 15 $}$	สมาชิกมาก หรืออยากบอกกติกา

เครื่องหมาย $∣$ อ่านว่า "โดยที่" ถ้าสมาชิกมากแต่มีแบบรูปชัด ใช้ "..." ช่วยได้ เช่น ${1, 3, 5, \dots, 19}$

ข้อควรจำตอนแจกแจงสมาชิก

ลำดับไม่สำคัญ: ${1, 2} = {2, 1}$
สมาชิกแต่ละตัวเขียนครั้งเดียวพอ เช่น เซตของเลขโดดในจำนวน 3,773 คือ ${3, 7}$

2เซตว่าง เซตจำกัด เซตอนันต์ และเอกภพสัมพัทธ์

เซตว่าง คือเซตที่ไม่มีสมาชิก เขียนแทนด้วย ${}$ หรือ $\emptyset$ เช่น ${x ∣ x$ เป็นจำนวนจริง และ $x + 2 = x} = \emptyset$

ชนิด	ความหมาย	ตัวอย่าง
เซตจำกัด	จำนวนสมาชิกเป็นศูนย์หรือจำนวนเต็มบวก	${2, 4, 6, \dots, 50}$ , $\emptyset$
เซตอนันต์	ไม่ใช่เซตจำกัด	${5, 10, 15, \dots}$ , เซตของจำนวนเต็ม

เอกภพสัมพัทธ์ เขียนแทนด้วย $U$ คือเซตที่กำหนดขอบเขตของสิ่งที่กำลังพิจารณา สมาชิกของเซตอื่น ๆ ต้องอยู่ใน $U$ เท่านั้น

เอกภพสัมพัทธ์ที่เจอบ่อย: $N$ จำนวนนับ, $Z$ จำนวนเต็ม, $Q$ จำนวนตรรกยะ, $Q^{'}$ จำนวนอตรรกยะ, $R$ จำนวนจริง

เปลี่ยน $U$ แล้วคำตอบเปลี่ยนได้ เช่น ${x \in Z ∣ x^{2} = 9} = {- 3, 3}$ แต่ ${x \in N ∣ x^{2} = 9} = {3}$

3เซตที่เท่ากัน สับเซต และเพาเวอร์เซต

เซตที่เท่ากัน $A = B$ หมายถึง สมาชิกทุกตัวของ $A$ เป็นสมาชิกของ $B$ และสมาชิกทุกตัวของ $B$ เป็นสมาชิกของ $A$

สับเซต $A$ เป็นสับเซตของ $B$ เขียนแทนด้วย $A \subset B$ ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของ $A$ เป็นสมาชิกของ $B$ ถ้ามีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของ $A$ ที่ไม่อยู่ใน $B$ เขียนว่า $A \neq \subset B$

เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวเอง: $A \subset A$
เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต: $\emptyset \subset A$
$A \subset B$ และ $B \subset A$ ก็ต่อเมื่อ $A = B$

ภาพจำ: ของในกล่องเล็กทุกชิ้นอยู่ในตู้เย็นด้วย กล่องเล็กจึงเป็นสับเซตของตู้เย็น

เพาเวอร์เซต ของ $A$ เขียนแทนด้วย $P (A)$ คือเซตของสับเซตทั้งหมดของ $A$

ตัวอย่าง: $A = {5, 9}$

P (A) = {\emptyset, {5}, {9}, {5, 9}}

ถ้า $A$ มีสมาชิก $n$ ตัว แล้ว $P (A)$ มีสมาชิก $2^{n}$ ตัว เพราะสมาชิกแต่ละตัวมี 2 ทางเลือก คือ อยู่หรือไม่อยู่ในสับเซตนั้น

4แผนภาพเวนน์

แผนภาพเวนน์ ใช้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแทนเอกภพสัมพัทธ์ $U$ และใช้วงกลมหรือรูปปิดอื่นแทนเซตที่เป็นสับเซตของ $U$

สองเซตที่ไม่มีสมาชิกร่วมกันเลย เรียกว่า เซตไม่มีส่วนร่วม วาดเป็นวงกลมแยกกัน
ถ้า $B \subset A$ วาดวงกลม $B$ ไว้ในวงกลม $A$

สองเซตที่มีสมาชิกร่วมกันบางส่วน แบ่ง $U$ เป็น 4 ส่วน

อยู่ใน $A$ แต่ไม่อยู่ใน $B$
อยู่ทั้งใน $A$ และ $B$
อยู่ใน $B$ แต่ไม่อยู่ใน $A$
ไม่อยู่ทั้งใน $A$ และ $B$

A − B = อยู่ใน A ไม่อยู่ใน B · A ∩ B = อยู่ทั้งคู่ · B − A = อยู่ใน B ไม่อยู่ใน A · (A ∪ B)′ = อยู่นอกทั้งคู่แต่ยังอยู่ใน U

ถ้ามีสามเซต วาดวงกลมสามวงซ้อนกัน แบ่งได้ 8 ส่วน ใส่ตัวเลขจากส่วนที่อยู่ทั้งสามเซตก่อน แล้วค่อยไล่ออกมา

สามเซตทับกัน — ระบายทีละเงื่อนไข เริ่มจากโซนตรงกลางที่ทับกันทั้งสามวงก่อน แล้วค่อยไล่ขยายออก

5การดำเนินการระหว่างเซต

ให้ $A$ และ $B$ เป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ $U$ เดียวกัน

การดำเนินการ	นิยาม	ความหมาย
อินเตอร์เซกชัน	$A \cap B = {x ∣ x \in A$ และ $x \in B}$	อยู่ทั้งสองเซต
ยูเนียน	$A \cup B = {x ∣ x \in A$ หรือ $x \in B}$	อยู่ในเซตใดเซตหนึ่งหรือทั้งสองเซต
คอมพลีเมนต์	$A^{'} = {x ∣ x \in U$ และ $x \in / A}$	อยู่ใน $U$ แต่ไม่อยู่ใน $A$
ผลต่าง	$A - B = {x ∣ x \in A$ และ $x \in / B}$	อยู่ใน $A$ แต่ไม่อยู่ใน $B$

คำว่า "หรือ" ในทางคณิตศาสตร์ หมายถึง อย่างใดอย่างหนึ่งหรือทั้งสองอย่าง

ตัวอย่าง: $U = {1, 2, 3, \dots, 9}$ , $A = {2, 3, 5, 7}$ , $B = {1, 3, 5, 7, 9}$

$A \cap B = {3, 5, 7}$
$A \cup B = {1, 2, 3, 5, 7, 9}$
$A^{'} = {1, 4, 6, 8, 9}$
$A - B = {2}$ และ $B - A = {1, 9}$

เห็นว่า $A - B \neq = B - A$ ลำดับของเซตในผลต่างจึงสำคัญ

สมบัติที่ใช้บ่อย

$A \cup B = B \cup A$ และ $A \cap B = B \cap A$
$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$ และ $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$
$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ และ $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
$(A \cup B)^{'} = A^{'} \cap B^{'}$ และ $(A \cap B)^{'} = A^{'} \cup B^{'}$
$A - B = A \cap B^{'}$
$A^{'} = U - A$

6การแก้ปัญหาโดยใช้เซต

จำนวนสมาชิกของเซตจำกัด $A$ เขียนแทนด้วย $n (A)$ เช่น $n ({a, b, c}) = 3$

ถ้า $A$ และ $B$ เป็นเซตจำกัด

n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)

ต้องลบ $n (A \cap B)$ เพราะสมาชิกที่อยู่ทั้งสองเซตถูกนับซ้ำตอนบวก $n (A) + n (B)$ ถ้า $A$ กับ $B$ ไม่มีสมาชิกร่วมกัน จะได้ $n (A \cup B) = n (A) + n (B)$

n(A ∪ B) ==

จุดแต่ละจุดคือสมาชิก 1 ตัว กดนับทีละขั้นตามสูตร

จุดใน A ∪ B มีจริง 16 จุด

n(U) = 20n(A) = 11n(B) = 8n(A ∩ B) = 3

นับสมาชิกทีละตัว: ทำไมต้องหักส่วนที่ซ้อนกันกดนับทีละขั้นตามสูตร แล้วดูเลขบนจุด จุดที่อยู่ทั้งสองเซตถูกนับ 2 ครั้งจึงต้องหักออก ลองสลับเป็น 3 เซตเพื่อดูว่าทำไมต้องบวกส่วนตรงกลางคืน

ตัวอย่าง

ห้องหนึ่งมีนักเรียน 40 คน ชอบชา 22 คน ชอบกาแฟ 18 คน ชอบทั้งสองอย่าง 10 คน

n (A \cup B) = 22 + 18 - 10 = 30

ชอบอย่างน้อยหนึ่งอย่าง 30 คน
ไม่ชอบทั้งสองอย่าง $40 - 30 = 10$ คน
ชอบชาอย่างเดียว $22 - 10 = 12$ คน
ชอบกาแฟอย่างเดียว $18 - 10 = 8$ คน

22 − 10 = 12 ชอบชาอย่างเดียว · 18 − 10 = 8 ชอบกาแฟอย่างเดียว · 40 − 30 = 10 ไม่ชอบเลย

สามเซต

n (A \cup B \cup C) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A \cap B) - n (A \cap C) - n (B \cap C) + n (A \cap B \cap C)

บวกทุกเซต ลบส่วนที่ซ้อนกันสองเซตซึ่งนับซ้ำ แล้วบวกส่วนที่ซ้อนกันสามเซตกลับเข้ามา เพราะส่วนนี้ถูกลบออกเกิน ถ้าโจทย์ถามทีละส่วน ใช้แผนภาพเวนน์เริ่มจากส่วน $A \cap B \cap C$ จะไม่พลาด

สรุปจำไว้อ่านข้อสอบ

หัวข้อ	หัวใจ
เขียนเซต	แจกแจงสมาชิก หรือบอกเงื่อนไข ${x ∣ \dots}$
เซตว่าง	$\emptyset$ หรือ ${}$ มีสมาชิก 0 ตัว
เอกภพสัมพัทธ์	ไม่บอกไว้ ให้ถือว่าเป็น $R$
สับเซต	$A \subset B$ เมื่อสมาชิกทุกตัวของ $A$ อยู่ใน $B$
เพาเวอร์เซต	$n (P (A)) = 2^{n (A)}$
$\cap$ / $\cup$ / $^{'}$ / $-$	ทั้งสองเซต / อย่างน้อยหนึ่งเซต / นอก $A$ แต่ใน $U$ / ใน $A$ ไม่อยู่ใน $B$
นับสมาชิก	$n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)$

คำถามที่พบบ่อย

$เซต คืออะไร$: $เซตคือคำที่ใช้เรียกกลุ่มของสิ่งต่าง ๆ ที่บอกได้แน่นอนว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่มและสิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่ม สิ่งที่อยู่ในเซตเรียกว่าสมาชิก$
$สับเซตกับเพาเวอร์เซตต่างกันยังไง$: $A เป็นสับเซตของ B เมื่อสมาชิกทุกตัวของ A อยู่ใน B ส่วนเพาเวอร์เซตของ A คือเซตของสับเซตทั้งหมดของ A ถ้า A มีสมาชิก n ตัว เพาเวอร์เซตของ A จะมีสมาชิก 2^n ตัว$
$เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซตไหม$: $ใช่ เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต และเซตทุกเซตก็เป็นสับเซตของตัวเองด้วย$
$สูตรหาจำนวนสมาชิกของ A \cup B คืออะไร$: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) ต้องลบ n(A \cap B) เพราะสมาชิกที่อยู่ทั้งสองเซตถูกนับซ้ำ$
$ถ้าโจทย์ไม่บอกเอกภพสัมพัทธ์ต้องใช้อะไร$: $ถ้าพูดถึงเซตของจำนวนแต่ไม่ได้บอกเอกภพสัมพัทธ์ ให้ถือว่าเอกภพสัมพัทธ์คือเซตของจำนวนจริง$