รูปที่คล้ายกันคืออะไร

คือรูปเรขาคณิตสองรูปที่มีรูปร่างเหมือนกัน มุมคู่ที่สมนัยกันเท่ากันทุกคู่ และอัตราส่วนของความยาวด้านคู่ที่สมนัยกันเท่ากันทุกคู่ แต่ขนาดอาจต่างกัน

สามเหลี่ยมคล้ายกันต้องมีเงื่อนไขอะไร

ขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ ๆ สามคู่ (รู้สองคู่ก็พอ เพราะมุมที่สามจะเท่ากันเอง) หรืออัตราส่วนของความยาวด้านคู่ที่สมนัยกันเท่ากันทุกคู่

คล้ายกันกับเท่ากันทุกประการต่างกันยังไง

รูปที่เท่ากันทุกประการมีทั้งรูปร่างและขนาดเหมือนกัน ส่วนรูปที่คล้ายกันมีรูปร่างเหมือนกันแต่ขนาดอาจต่างกัน รูปที่เท่ากันทุกประการจึงเป็นกรณีพิเศษของรูปที่คล้ายกัน

หาความสูงของต้นไม้จากเงาทำยังไง

วัดความสูงและเงาของวัตถุที่รู้ความสูงในเวลาเดียวกัน แล้วตั้งสัดส่วน ความสูงต้นไม้ต่อเงาต้นไม้ เท่ากับ ความสูงวัตถุต่อเงาวัตถุ

บทนี้เรียนตอนไหน

เรียนในคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.3 ภาคเรียนที่ 1 บทที่ 4 และเป็นพื้นฐานของอัตราส่วนตรีโกณมิติ ม.3 ภาคเรียนที่ 2

ม.3 เทอม 1 · บทที่ 4 ความคล้าย · อ่าน 3 นาที

สรุปความคล้าย ม.3

สรุปความคล้าย ม.3 รูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกัน เงื่อนไขสามเหลี่ยมคล้าย การตั้งสัดส่วนด้านคู่ที่สมนัยกัน และโจทย์หาความสูงจากเงาพร้อมวิธีทำ

โดย OneClickMathเผยแพร่ 26 กันยายน 2569

ความคล้าย คือรูปเรขาคณิตสองรูปที่ รูปร่างเหมือนกันแต่ขนาดอาจต่างกัน สำหรับรูปสามเหลี่ยม สองรูปคล้ายกันเมื่อ ขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ ๆ สามคู่ หรือ อัตราส่วนของด้านคู่ที่สมนัยกันเท่ากันทุกคู่ บทนี้เรียนใน ม.3 เทอม 1 และปิดท้ายด้วยการใช้ความคล้ายหาระยะทางและความสูง

สวัสดีครับ นี่พี่ติว OCM

กุญแจของบทนี้คือ "จับคู่ด้านให้ถูก" ถ้าจับคู่ผิด สัดส่วนผิดทั้งข้อ วิธีกันพลาดคือเขียนชื่อรูปเรียงตามจุดที่สมนัยกันเสมอครับ

สรุปบทนี้ใน 1 ตาราง

หัวข้อ	ต้องทำอะไรเป็น
รูปเรขาคณิตที่คล้ายกัน	ตรวจมุมเท่ากันและอัตราส่วนด้านเท่ากัน
รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน	ตรวจมุมเท่ากันสามคู่ หรือด้านเป็นสัดส่วน แล้วตั้งสัดส่วนหาด้าน
การนำไปใช้	หาความสูงจากเงา กระจก และแผนที่

1รูปเรขาคณิตที่คล้ายกัน

รูปหลายเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน เมื่อ

มุมคู่ที่สมนัยกันมีขนาดเท่ากันทุกคู่ และ
อัตราส่วนของความยาวด้านคู่ที่สมนัยกันเท่ากันทุกคู่

สำหรับรูปหลายเหลี่ยมทั่วไป ต้องมีครบทั้งสองข้อ

สี่เหลี่ยมจัตุรัสกับสี่เหลี่ยมผืนผ้า มีมุมเท่ากันหมด แต่อัตราส่วนด้านไม่เท่ากัน จึงไม่คล้ายกัน
สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนกับสี่เหลี่ยมจัตุรัส ด้านเป็นอัตราส่วนเท่ากัน แต่มุมไม่เท่ากัน จึงไม่คล้ายกัน

รูปที่คล้ายกันเสมอ: สี่เหลี่ยมจัตุรัสทุกรูป สามเหลี่ยมด้านเท่าทุกรูป

รูปที่เท่ากันทุกประการ เป็นกรณีพิเศษของรูปที่คล้ายกัน ที่อัตราส่วนด้านเป็น $1 : 1$

2รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

สำหรับรูปสามเหลี่ยม เงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งพอ

มุมเท่ากัน: ถ้าขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ ๆ สามคู่ สามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน ในทางปฏิบัติรู้แค่ สองคู่ ก็พอ เพราะมุมภายในรวมกันได้ $18 0^{\circ}$ มุมที่สามจึงเท่ากันเอง
ด้านเป็นสัดส่วน: ถ้าอัตราส่วนของด้านคู่ที่สมนัยกันเท่ากันทุกคู่ สามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน

ถ้า $△ A B C \sim △ D E F$ (จุด $A$ คู่กับ $D$ , $B$ คู่กับ $E$ , $C$ คู่กับ $F$ )

\frac{A B}{D E} = \frac{B C}{E F} = \frac{C A}{F D}

คู่ด้าน	△ABC	△DEF	อัตราส่วน
AB กับ DE	6	9	1.5
BC กับ EF	5	7.5	1.5
CA กับ FD	4	6	1.5

∠A = ∠D ≈ 56° · ∠B = ∠E ≈ 41° · ∠C = ∠F ≈ 83°

อัตราส่วนการขยาย k = 1.5

ขยายรูปสามเหลี่ยม k เท่า: ด้านเปลี่ยน มุมไม่เปลี่ยนเลื่อน k แล้วดูว่าอัตราส่วนด้านทุกคู่เท่ากันเสมอ ส่วนมุมไม่เปลี่ยนเลย

ตัวอย่าง: หาด้านที่ไม่รู้

$△ A B C \sim △ D E F$ มี $A B = 6$ , $B C = 8$ , $D E = 9$ หา $E F$

\frac{A B}{D E} = \frac{B C}{E F} \Rightarrow \frac{6}{9} = \frac{8}{E F} \Rightarrow E F = 12

ตัวอย่าง: เส้นขนานในสามเหลี่ยม

ใน $△ A B C$ ลาก $\overline{D E}$ ขนานกับ $\overline{B C}$ โดย $D$ อยู่บน $\overline{A B}$ และ $E$ อยู่บน $\overline{A C}$

$∠ A D E = ∠ A B C$ (มุมสมนัย เพราะ $D E ∥ B C$ )
$∠ A$ ใช้ร่วมกัน
ดังนั้น $△ A D E \sim △ A B C$

ถ้า $A D = 4$ , $D B = 2$ , $D E = 5$

\frac{A D}{A B} = \frac{D E}{B C} \Rightarrow \frac{4}{6} = \frac{5}{B C} \Rightarrow B C = 7.5

ระวัง: เทียบ $A D$ กับ $A B$ (ด้านทั้งเส้น) ไม่ใช่ $A D$ กับ $D B$

ตัวอย่าง: สามเหลี่ยมซ้อนมุมฉาก

ใน $△ A B C$ ที่ $∠ C = 9 0^{\circ}$ ลาก $\overline{C D}$ ตั้งฉากกับ $\overline{A B}$ จะได้สามเหลี่ยมสามรูปที่คล้ายกัน

△ A C B \sim △ A D C \sim △ C D B

ทุกรูปมีมุมฉากหนึ่งมุม และใช้มุมแหลมร่วมกันกับรูปใหญ่

3โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

หาความสูงจากเงา

ในเวลาเดียวกัน แสงอาทิตย์ทำมุมกับพื้นเท่ากัน สามเหลี่ยมที่เกิดจากวัตถุกับเงาจึงคล้ายกัน

เสาสูง 2 เมตร มีเงายาว 3 เมตร ขณะเดียวกันต้นไม้มีเงายาว 18 เมตร

\frac{h}{18} = \frac{2}{3} \Rightarrow h = 12 เมตร

หาความสูงโดยใช้กระจก

วางกระจกบนพื้น ยืนให้มองเห็นยอดตึกในกระจก มุมตกกระทบเท่ากับมุมสะท้อน จึงได้สามเหลี่ยมคล้าย

ระดับสายตาสูง 1.5 เมตร ยืนห่างกระจก 2 เมตร กระจกห่างตึก 30 เมตร

\frac{h}{30} = \frac{1.5}{2} \Rightarrow h = 22.5 เมตร

แผนผังและมาตราส่วน

แผนผังมาตราส่วน $1 : 200$ ห้องยาว 3 เซนติเมตรบนแผนผัง ยาวจริง $3 \times 200 = 600$ เซนติเมตร $= 6$ เมตร

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

จับคู่ด้านที่สมนัยกันผิด เพราะไม่ดูว่าด้านนั้นอยู่ตรงข้ามมุมไหน
ในรูปเส้นขนาน ตั้งสัดส่วน $\frac{A D}{D B} = \frac{D E}{B C}$ ซึ่งผิด
คิดว่ารูปที่มีมุมเท่ากันหมดคล้ายกันเสมอ ซึ่งจริงเฉพาะสามเหลี่ยม
ลืมแปลงหน่วยก่อนตั้งสัดส่วน

คำถามที่พบบ่อย

$รูปที่คล้ายกันคืออะไร$: $คือรูปเรขาคณิตสองรูปที่มีรูปร่างเหมือนกัน มุมคู่ที่สมนัยกันเท่ากันทุกคู่ และอัตราส่วนของความยาวด้านคู่ที่สมนัยกันเท่ากันทุกคู่ แต่ขนาดอาจต่างกัน$
$สามเหลี่ยมคล้ายกันต้องมีเงื่อนไขอะไร$: $ขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ ๆ สามคู่ (รู้สองคู่ก็พอ เพราะมุมที่สามจะเท่ากันเอง) หรืออัตราส่วนของความยาวด้านคู่ที่สมนัยกันเท่ากันทุกคู่$
$คล้ายกันกับเท่ากันทุกประการต่างกันยังไง$: $รูปที่เท่ากันทุกประการมีทั้งรูปร่างและขนาดเหมือนกัน ส่วนรูปที่คล้ายกันมีรูปร่างเหมือนกันแต่ขนาดอาจต่างกัน รูปที่เท่ากันทุกประการจึงเป็นกรณีพิเศษของรูปที่คล้ายกัน$
$หาความสูงของต้นไม้จากเงาทำยังไง$: $วัดความสูงและเงาของวัตถุที่รู้ความสูงในเวลาเดียวกัน แล้วตั้งสัดส่วน ความสูงต้นไม้ต่อเงาต้นไม้ เท่ากับ ความสูงวัตถุต่อเงาวัตถุ$
$บทนี้เรียนตอนไหน$: $เรียนในคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.3 ภาคเรียนที่ 1 บทที่ 4 และเป็นพื้นฐานของอัตราส่วนตรีโกณมิติ ม.3 ภาคเรียนที่ 2$

ม.3 เทอม 1 · บทที่ 4 ความคล้าย · อ่าน 3 นาที

สรุปความคล้าย ม.3

โดย OneClickMathเผยแพร่ 26 กันยายน 2569

สวัสดีครับ นี่พี่ติว OCM

สรุปบทนี้ใน 1 ตาราง

หัวข้อ	ต้องทำอะไรเป็น
รูปเรขาคณิตที่คล้ายกัน	ตรวจมุมเท่ากันและอัตราส่วนด้านเท่ากัน
รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน	ตรวจมุมเท่ากันสามคู่ หรือด้านเป็นสัดส่วน แล้วตั้งสัดส่วนหาด้าน
การนำไปใช้	หาความสูงจากเงา กระจก และแผนที่

1รูปเรขาคณิตที่คล้ายกัน

รูปหลายเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน เมื่อ

มุมคู่ที่สมนัยกันมีขนาดเท่ากันทุกคู่ และ
อัตราส่วนของความยาวด้านคู่ที่สมนัยกันเท่ากันทุกคู่

สำหรับรูปหลายเหลี่ยมทั่วไป ต้องมีครบทั้งสองข้อ

สี่เหลี่ยมจัตุรัสกับสี่เหลี่ยมผืนผ้า มีมุมเท่ากันหมด แต่อัตราส่วนด้านไม่เท่ากัน จึงไม่คล้ายกัน
สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนกับสี่เหลี่ยมจัตุรัส ด้านเป็นอัตราส่วนเท่ากัน แต่มุมไม่เท่ากัน จึงไม่คล้ายกัน

รูปที่คล้ายกันเสมอ: สี่เหลี่ยมจัตุรัสทุกรูป สามเหลี่ยมด้านเท่าทุกรูป

2รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

สำหรับรูปสามเหลี่ยม เงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งพอ

มุมเท่ากัน: ถ้าขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ ๆ สามคู่ สามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน ในทางปฏิบัติรู้แค่ สองคู่ ก็พอ เพราะมุมภายในรวมกันได้ $18 0^{\circ}$ มุมที่สามจึงเท่ากันเอง
ด้านเป็นสัดส่วน: ถ้าอัตราส่วนของด้านคู่ที่สมนัยกันเท่ากันทุกคู่ สามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน

ถ้า $△ A B C \sim △ D E F$ (จุด $A$ คู่กับ $D$ , $B$ คู่กับ $E$ , $C$ คู่กับ $F$ )

\frac{A B}{D E} = \frac{B C}{E F} = \frac{C A}{F D}

คู่ด้าน	△ABC	△DEF	อัตราส่วน
AB กับ DE	6	9	1.5
BC กับ EF	5	7.5	1.5
CA กับ FD	4	6	1.5

∠A = ∠D ≈ 56° · ∠B = ∠E ≈ 41° · ∠C = ∠F ≈ 83°

อัตราส่วนการขยาย k = 1.5

ตัวอย่าง: หาด้านที่ไม่รู้

$△ A B C \sim △ D E F$ มี $A B = 6$ , $B C = 8$ , $D E = 9$ หา $E F$

\frac{A B}{D E} = \frac{B C}{E F} \Rightarrow \frac{6}{9} = \frac{8}{E F} \Rightarrow E F = 12

ตัวอย่าง: เส้นขนานในสามเหลี่ยม

ใน $△ A B C$ ลาก $\overline{D E}$ ขนานกับ $\overline{B C}$ โดย $D$ อยู่บน $\overline{A B}$ และ $E$ อยู่บน $\overline{A C}$

$∠ A D E = ∠ A B C$ (มุมสมนัย เพราะ $D E ∥ B C$ )
$∠ A$ ใช้ร่วมกัน
ดังนั้น $△ A D E \sim △ A B C$

ถ้า $A D = 4$ , $D B = 2$ , $D E = 5$

\frac{A D}{A B} = \frac{D E}{B C} \Rightarrow \frac{4}{6} = \frac{5}{B C} \Rightarrow B C = 7.5

ระวัง: เทียบ $A D$ กับ $A B$ (ด้านทั้งเส้น) ไม่ใช่ $A D$ กับ $D B$

ตัวอย่าง: สามเหลี่ยมซ้อนมุมฉาก

△ A C B \sim △ A D C \sim △ C D B

ทุกรูปมีมุมฉากหนึ่งมุม และใช้มุมแหลมร่วมกันกับรูปใหญ่

3โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

หาความสูงจากเงา

เสาสูง 2 เมตร มีเงายาว 3 เมตร ขณะเดียวกันต้นไม้มีเงายาว 18 เมตร

\frac{h}{18} = \frac{2}{3} \Rightarrow h = 12 เมตร

หาความสูงโดยใช้กระจก

ระดับสายตาสูง 1.5 เมตร ยืนห่างกระจก 2 เมตร กระจกห่างตึก 30 เมตร

\frac{h}{30} = \frac{1.5}{2} \Rightarrow h = 22.5 เมตร

แผนผังและมาตราส่วน

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

จับคู่ด้านที่สมนัยกันผิด เพราะไม่ดูว่าด้านนั้นอยู่ตรงข้ามมุมไหน
ในรูปเส้นขนาน ตั้งสัดส่วน $\frac{A D}{D B} = \frac{D E}{B C}$ ซึ่งผิด
คิดว่ารูปที่มีมุมเท่ากันหมดคล้ายกันเสมอ ซึ่งจริงเฉพาะสามเหลี่ยม
ลืมแปลงหน่วยก่อนตั้งสัดส่วน

คำถามที่พบบ่อย

$รูปที่คล้ายกันคืออะไร$: $คือรูปเรขาคณิตสองรูปที่มีรูปร่างเหมือนกัน มุมคู่ที่สมนัยกันเท่ากันทุกคู่ และอัตราส่วนของความยาวด้านคู่ที่สมนัยกันเท่ากันทุกคู่ แต่ขนาดอาจต่างกัน$
$สามเหลี่ยมคล้ายกันต้องมีเงื่อนไขอะไร$: $ขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ ๆ สามคู่ (รู้สองคู่ก็พอ เพราะมุมที่สามจะเท่ากันเอง) หรืออัตราส่วนของความยาวด้านคู่ที่สมนัยกันเท่ากันทุกคู่$
$คล้ายกันกับเท่ากันทุกประการต่างกันยังไง$: $รูปที่เท่ากันทุกประการมีทั้งรูปร่างและขนาดเหมือนกัน ส่วนรูปที่คล้ายกันมีรูปร่างเหมือนกันแต่ขนาดอาจต่างกัน รูปที่เท่ากันทุกประการจึงเป็นกรณีพิเศษของรูปที่คล้ายกัน$
$หาความสูงของต้นไม้จากเงาทำยังไง$: $วัดความสูงและเงาของวัตถุที่รู้ความสูงในเวลาเดียวกัน แล้วตั้งสัดส่วน ความสูงต้นไม้ต่อเงาต้นไม้ เท่ากับ ความสูงวัตถุต่อเงาวัตถุ$
$บทนี้เรียนตอนไหน$: $เรียนในคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.3 ภาคเรียนที่ 1 บทที่ 4 และเป็นพื้นฐานของอัตราส่วนตรีโกณมิติ ม.3 ภาคเรียนที่ 2$