การแปลงทางเรขาคณิตมีกี่แบบ

ใน ม.2 มี 3 แบบ คือ การเลื่อนขนาน การสะท้อน และการหมุน ทุกแบบให้ภาพที่เท่ากันทุกประการกับรูปต้นแบบ

สะท้อนข้ามแกน X กับแกน Y ต่างกันอย่างไร

สะท้อนข้ามแกน X ค่า x เท่าเดิม ค่า y เปลี่ยนเครื่องหมาย ได้ (x, -y) ส่วนสะท้อนข้ามแกน Y ค่า y เท่าเดิม ค่า x เปลี่ยนเครื่องหมาย ได้ (-x, y)

หมุน 90 องศาทวนเข็มนาฬิกา พิกัดเปลี่ยนอย่างไร

เมื่อหมุนรอบจุดกำเนิด จุด (x, y) จะไปอยู่ที่ (-y, x) เช่น (4, 1) ไปอยู่ที่ (-1, 4) ส่วนหมุน 90 องศาตามเข็มนาฬิกาจะได้ (y, -x)

การเลื่อนขนานบนระนาบพิกัดคิดอย่างไร

เลื่อนไปทางขวาให้บวกค่า x ไปทางซ้ายให้ลบค่า x เลื่อนขึ้นให้บวกค่า y และเลื่อนลงให้ลบค่า y

ดูอย่างไรว่าเป็นการแปลงแบบไหน

ถ้าต้องพลิกรูปจึงจะทับกันได้สนิท เป็นการสะท้อน ถ้าไม่ต้องพลิกและทุกจุดเลื่อนไปทางเดียวกันเท่ากัน เป็นการเลื่อนขนาน ถ้าไม่ต้องพลิกแต่ไม่ใช่การเลื่อนขนาน เป็นการหมุน

ม.2 เทอม 1 · บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต · อ่าน 3 นาที

สรุปการแปลงทางเรขาคณิต ม.2

สรุปการแปลงทางเรขาคณิต ม.2 การเลื่อนขนาน การสะท้อน และการหมุน พร้อมสมบัติ วิธีหาพิกัดของภาพบนระนาบพิกัดฉาก ตัวอย่าง และจุดที่พลาดบ่อย

โดย OneClickMathเผยแพร่ 26 กันยายน 2569

การแปลงทางเรขาคณิต คือการย้ายรูปไปยังตำแหน่งใหม่โดย รูปร่างและขนาดไม่เปลี่ยน มี 3 แบบ คือ การเลื่อนขนาน (translation) การสะท้อน (reflection) และ การหมุน (rotation) รูปต้นแบบกับภาพที่ได้จึงเท่ากันทุกประการ บทนี้เรียนใน ม.2 เทอม 1 ทั้งบนกระดาษและบนระนาบพิกัดฉาก

สวัสดีครับ นี่พี่ติว OCM

บทนี้ข้อสอบชอบให้หาพิกัดของภาพ ถ้าจำ "กฎพิกัด" ในตารางท้ายบทได้ จะตอบได้ในไม่กี่วินาทีครับ

สรุปบทนี้ใน 1 ตาราง

การแปลง	สิ่งที่ต้องรู้	พิกัดของภาพจาก $(x, y)$
เลื่อนขนาน	ทิศทางและระยะทาง	$(x + a, y + b)$
สะท้อนข้ามแกน X	เส้นสะท้อน	$(x, - y)$
สะท้อนข้ามแกน Y	เส้นสะท้อน	$(- x, y)$
หมุน $18 0^{\circ}$ รอบจุดกำเนิด	จุดหมุนและมุม	$(- x, - y)$

1การเลื่อนขนาน

การเลื่อนขนาน คือการเลื่อนทุกจุดของรูปไปใน ทิศทางเดียวกัน เป็น ระยะทางเท่ากัน ตามที่กำหนด

ทิศทางและระยะทางมักบอกด้วยลูกศร เช่น "เลื่อนขนานด้วย $P Q$ " หมายถึงเลื่อนทุกจุดไปทางเดียวกับลูกศรจาก $P$ ไป $Q$ และไกลเท่ากับความยาวของ $P Q$

สมบัติ

ภาพกับรูปต้นแบบเท่ากันทุกประการ
ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดกับภาพของจุดนั้น ขนานกันและยาวเท่ากันทุกเส้น
ทิศทางของรูปไม่เปลี่ยน (ไม่กลับด้าน ไม่เอียง)

บนระนาบพิกัดฉาก

เลื่อนไปทางขวา $a$ หน่วย ขึ้นบน $b$ หน่วย (ถ้า $a$ ติดลบคือไปทางซ้าย ถ้า $b$ ติดลบคือลงล่าง)

(x, y) ⟼ (x + a, y + b)

ตัวอย่าง: เลื่อน $△ A B C$ ที่มี $A (1, 2)$ , $B (4, 2)$ , $C (2, 5)$ ไปทางซ้าย 3 หน่วย และลงล่าง 4 หน่วย

$A^{'} (- 2, - 2)$
$B^{'} (1, - 2)$
$C^{'} (- 1, 1)$

ลองเลื่อนแถบด้านล่าง แล้วสังเกตว่าทุกจุดขยับไปเท่ากันหมด รูปจึงไม่บิด ไม่หมุน และไม่กลับด้าน

(x, y) → (x − 3, y − 4)

A(1, 2)	→	A′(-2, -2)
B(4, 2)	→	B′(1, -2)
C(2, 5)	→	C′(-1, 1)

เลื่อนตามแกน X = −3เลื่อนตามแกน Y = −4

ลองแปลงรูปสามเหลี่ยม: การเลื่อนขนานรูปเส้นประคือรูปต้นแบบ รูปสีน้ำเงินคือภาพที่ได้

2การสะท้อน

การสะท้อน คือการพลิกรูปข้าม เส้นสะท้อน เหมือนภาพในกระจก

สมบัติ

ภาพกับรูปต้นแบบเท่ากันทุกประการ แต่ กลับด้าน
เส้นสะท้อนเป็น เส้นแบ่งครึ่งและตั้งฉาก กับส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดกับภาพของจุดนั้น
จุดที่อยู่บนเส้นสะท้อน ภาพคือจุดเดิม

บนระนาบพิกัดฉาก

เส้นสะท้อน	ภาพของ $(x, y)$
แกน X	$(x, - y)$
แกน Y	$(- x, y)$
เส้นตรง $x = k$	$(2 k - x, y)$
เส้นตรง $y = k$	$(x, 2 k - y)$
เส้นตรง $y = x$	$(y, x)$

ตัวอย่าง: สะท้อนจุด $P (3, - 2)$

ข้ามแกน X ได้ $(3, 2)$
ข้ามแกน Y ได้ $(- 3, - 2)$
ข้ามเส้น $x = 1$ ได้ $(2 (1) - 3, - 2) = (- 1, - 2)$
ข้ามเส้น $y = x$ ได้ $(- 2, 3)$ คือสลับค่า $x$ กับ $y$

ลองเปลี่ยนเส้นสะท้อนดูครับ เลือกเส้น $x = k$ แล้วเลื่อนค่า $k$ จะเห็นว่าจุดกับภาพของมันอยู่ห่างจากเส้นประสีแดงเท่ากันเสมอ

สะท้อนข้ามเส้น x = 1: (x, y) → (2 − x, y)

A(3, -2)	→	A′(-1, -2)
B(5, -2)	→	B′(-3, -2)
C(5, 1)	→	C′(-3, 1)

k = 1

ลองแปลงรูปสามเหลี่ยม: การสะท้อนสังเกตลำดับ A B C ของภาพ จะเรียงกลับทิศกับรูปต้นแบบ นี่คือความหมายของคำว่ากลับด้าน

3การหมุน

การหมุน คือการหมุนรูปรอบ จุดหมุน ด้วย ขนาดของมุม และ ทิศทาง ที่กำหนด

ทวนเข็มนาฬิกา หรือตามเข็มนาฬิกา
ทุกจุดอยู่ห่างจุดหมุนเท่าเดิม
ภาพกับรูปต้นแบบเท่ากันทุกประการ และไม่กลับด้าน

หมุนรอบจุดกำเนิดบนระนาบพิกัดฉาก

การหมุน	ภาพของ $(x, y)$
$9 0^{\circ}$ ทวนเข็มนาฬิกา	$(- y, x)$
$9 0^{\circ}$ ตามเข็มนาฬิกา	$(y, - x)$
$18 0^{\circ}$	$(- x, - y)$

หมุน $27 0^{\circ}$ ตามเข็มนาฬิกาได้ผลเท่ากับหมุน $9 0^{\circ}$ ทวนเข็มนาฬิกา และหมุน $27 0^{\circ}$ ทวนเข็มนาฬิกาได้ผลเท่ากับหมุน $9 0^{\circ}$ ตามเข็มนาฬิกา

ตัวอย่าง: หมุน $A (4, 1)$ รอบจุดกำเนิด

$9 0^{\circ}$ ทวนเข็มนาฬิกา ได้ $(- 1, 4)$
$9 0^{\circ}$ ตามเข็มนาฬิกา ได้ $(1, - 4)$
$18 0^{\circ}$ ได้ $(- 4, - 1)$

หมุน 90° ทวนเข็มนาฬิการอบจุดกำเนิด: (x, y) → (−y, x)

A(4, 1)	→	A′(-1, 4)
B(6, 1)	→	B′(-1, 6)
C(4, 3)	→	C′(-3, 4)

ลองแปลงรูปสามเหลี่ยม: การหมุนรอบจุดกำเนิดจุดสีแดงคือจุดหมุน กด 90° 180° และ 270° แล้วดูว่ารูปวนไปอยู่จตุภาคไหน

4บอกชนิดของการแปลงจากรูป

สังเกต	การแปลง
ทิศทางเหมือนเดิม ทุกจุดเลื่อนเท่ากัน	เลื่อนขนาน
รูปกลับด้านเหมือนกระจก	สะท้อน
รูปไม่กลับด้าน แต่เอียงหรือกลับหัว	หมุน

ถ้าต้องหาว่าหมุนรอบจุดไหน ให้ลากส่วนของเส้นตรงเชื่อมจุดกับภาพของมันสองคู่ แล้วสร้างเส้นแบ่งครึ่งและตั้งฉากของแต่ละเส้น จุดที่สองเส้นนี้ตัดกันคือจุดหมุน

การแปลงต่อเนื่อง

ทำทีละขั้นตามลำดับ เช่น สะท้อน $(2, 3)$ ข้ามแกน Y ได้ $(- 2, 3)$ แล้วเลื่อนขนานลง 5 หน่วย ได้ $(- 2, - 2)$

ข้อสังเกต: สะท้อนข้ามแกน X แล้วสะท้อนข้ามแกน Y ให้ผลเหมือนการหมุน $18 0^{\circ}$ รอบจุดกำเนิด

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

สะท้อนข้ามแกน X แล้วไปเปลี่ยนเครื่องหมายของ $x$ แทน $y$
สลับสูตรหมุนทวนเข็มกับตามเข็มนาฬิกา
เลื่อนขนาน "ไปทางซ้าย" แต่บวกค่า $x$
ลืมว่าการสะท้อนทำให้รูปกลับด้าน ส่วนการหมุนไม่กลับด้าน

คำถามที่พบบ่อย

$การแปลงทางเรขาคณิตมีกี่แบบ$: $ใน ม.2 มี 3 แบบ คือ การเลื่อนขนาน การสะท้อน และการหมุน ทุกแบบให้ภาพที่เท่ากันทุกประการกับรูปต้นแบบ$
$สะท้อนข้ามแกน X กับแกน Y ต่างกันอย่างไร$: $สะท้อนข้ามแกน X ค่า x เท่าเดิม ค่า y เปลี่ยนเครื่องหมาย ได้ (x, -y) ส่วนสะท้อนข้ามแกน Y ค่า y เท่าเดิม ค่า x เปลี่ยนเครื่องหมาย ได้ (-x, y)$
$หมุน 90 องศาทวนเข็มนาฬิกา พิกัดเปลี่ยนอย่างไร$: $เมื่อหมุนรอบจุดกำเนิด จุด (x, y) จะไปอยู่ที่ (-y, x) เช่น (4, 1) ไปอยู่ที่ (-1, 4) ส่วนหมุน 90 องศาตามเข็มนาฬิกาจะได้ (y, -x)$
$การเลื่อนขนานบนระนาบพิกัดคิดอย่างไร$: $เลื่อนไปทางขวาให้บวกค่า x ไปทางซ้ายให้ลบค่า x เลื่อนขึ้นให้บวกค่า y และเลื่อนลงให้ลบค่า y$
$ดูอย่างไรว่าเป็นการแปลงแบบไหน$: $ถ้าต้องพลิกรูปจึงจะทับกันได้สนิท เป็นการสะท้อน ถ้าไม่ต้องพลิกและทุกจุดเลื่อนไปทางเดียวกันเท่ากัน เป็นการเลื่อนขนาน ถ้าไม่ต้องพลิกแต่ไม่ใช่การเลื่อนขนาน เป็นการหมุน$

ม.2 เทอม 1 · บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต · อ่าน 3 นาที

สรุปการแปลงทางเรขาคณิต ม.2

โดย OneClickMathเผยแพร่ 26 กันยายน 2569

สวัสดีครับ นี่พี่ติว OCM

สรุปบทนี้ใน 1 ตาราง

การแปลง	สิ่งที่ต้องรู้	พิกัดของภาพจาก $(x, y)$
เลื่อนขนาน	ทิศทางและระยะทาง	$(x + a, y + b)$
สะท้อนข้ามแกน X	เส้นสะท้อน	$(x, - y)$
สะท้อนข้ามแกน Y	เส้นสะท้อน	$(- x, y)$
หมุน $18 0^{\circ}$ รอบจุดกำเนิด	จุดหมุนและมุม	$(- x, - y)$

1การเลื่อนขนาน

สมบัติ

ภาพกับรูปต้นแบบเท่ากันทุกประการ
ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดกับภาพของจุดนั้น ขนานกันและยาวเท่ากันทุกเส้น
ทิศทางของรูปไม่เปลี่ยน (ไม่กลับด้าน ไม่เอียง)

บนระนาบพิกัดฉาก

(x, y) ⟼ (x + a, y + b)

ตัวอย่าง: เลื่อน $△ A B C$ ที่มี $A (1, 2)$ , $B (4, 2)$ , $C (2, 5)$ ไปทางซ้าย 3 หน่วย และลงล่าง 4 หน่วย

$A^{'} (- 2, - 2)$
$B^{'} (1, - 2)$
$C^{'} (- 1, 1)$

(x, y) → (x − 3, y − 4)

A(1, 2)	→	A′(-2, -2)
B(4, 2)	→	B′(1, -2)
C(2, 5)	→	C′(-1, 1)

เลื่อนตามแกน X = −3เลื่อนตามแกน Y = −4

2การสะท้อน

การสะท้อน คือการพลิกรูปข้าม เส้นสะท้อน เหมือนภาพในกระจก

สมบัติ

ภาพกับรูปต้นแบบเท่ากันทุกประการ แต่ กลับด้าน
เส้นสะท้อนเป็น เส้นแบ่งครึ่งและตั้งฉาก กับส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดกับภาพของจุดนั้น
จุดที่อยู่บนเส้นสะท้อน ภาพคือจุดเดิม

บนระนาบพิกัดฉาก

เส้นสะท้อน	ภาพของ $(x, y)$
แกน X	$(x, - y)$
แกน Y	$(- x, y)$
เส้นตรง $x = k$	$(2 k - x, y)$
เส้นตรง $y = k$	$(x, 2 k - y)$
เส้นตรง $y = x$	$(y, x)$

ตัวอย่าง: สะท้อนจุด $P (3, - 2)$

ข้ามแกน X ได้ $(3, 2)$
ข้ามแกน Y ได้ $(- 3, - 2)$
ข้ามเส้น $x = 1$ ได้ $(2 (1) - 3, - 2) = (- 1, - 2)$
ข้ามเส้น $y = x$ ได้ $(- 2, 3)$ คือสลับค่า $x$ กับ $y$

สะท้อนข้ามเส้น x = 1: (x, y) → (2 − x, y)

A(3, -2)	→	A′(-1, -2)
B(5, -2)	→	B′(-3, -2)
C(5, 1)	→	C′(-3, 1)

k = 1

3การหมุน

ทวนเข็มนาฬิกา หรือตามเข็มนาฬิกา
ทุกจุดอยู่ห่างจุดหมุนเท่าเดิม
ภาพกับรูปต้นแบบเท่ากันทุกประการ และไม่กลับด้าน

หมุนรอบจุดกำเนิดบนระนาบพิกัดฉาก

การหมุน	ภาพของ $(x, y)$
$9 0^{\circ}$ ทวนเข็มนาฬิกา	$(- y, x)$
$9 0^{\circ}$ ตามเข็มนาฬิกา	$(y, - x)$
$18 0^{\circ}$	$(- x, - y)$

ตัวอย่าง: หมุน $A (4, 1)$ รอบจุดกำเนิด

$9 0^{\circ}$ ทวนเข็มนาฬิกา ได้ $(- 1, 4)$
$9 0^{\circ}$ ตามเข็มนาฬิกา ได้ $(1, - 4)$
$18 0^{\circ}$ ได้ $(- 4, - 1)$

หมุน 90° ทวนเข็มนาฬิการอบจุดกำเนิด: (x, y) → (−y, x)

A(4, 1)	→	A′(-1, 4)
B(6, 1)	→	B′(-1, 6)
C(4, 3)	→	C′(-3, 4)

4บอกชนิดของการแปลงจากรูป

สังเกต	การแปลง
ทิศทางเหมือนเดิม ทุกจุดเลื่อนเท่ากัน	เลื่อนขนาน
รูปกลับด้านเหมือนกระจก	สะท้อน
รูปไม่กลับด้าน แต่เอียงหรือกลับหัว	หมุน

การแปลงต่อเนื่อง

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

สะท้อนข้ามแกน X แล้วไปเปลี่ยนเครื่องหมายของ $x$ แทน $y$
สลับสูตรหมุนทวนเข็มกับตามเข็มนาฬิกา
เลื่อนขนาน "ไปทางซ้าย" แต่บวกค่า $x$
ลืมว่าการสะท้อนทำให้รูปกลับด้าน ส่วนการหมุนไม่กลับด้าน

คำถามที่พบบ่อย

$การแปลงทางเรขาคณิตมีกี่แบบ$: $ใน ม.2 มี 3 แบบ คือ การเลื่อนขนาน การสะท้อน และการหมุน ทุกแบบให้ภาพที่เท่ากันทุกประการกับรูปต้นแบบ$
$สะท้อนข้ามแกน X กับแกน Y ต่างกันอย่างไร$: $สะท้อนข้ามแกน X ค่า x เท่าเดิม ค่า y เปลี่ยนเครื่องหมาย ได้ (x, -y) ส่วนสะท้อนข้ามแกน Y ค่า y เท่าเดิม ค่า x เปลี่ยนเครื่องหมาย ได้ (-x, y)$
$หมุน 90 องศาทวนเข็มนาฬิกา พิกัดเปลี่ยนอย่างไร$: $เมื่อหมุนรอบจุดกำเนิด จุด (x, y) จะไปอยู่ที่ (-y, x) เช่น (4, 1) ไปอยู่ที่ (-1, 4) ส่วนหมุน 90 องศาตามเข็มนาฬิกาจะได้ (y, -x)$
$การเลื่อนขนานบนระนาบพิกัดคิดอย่างไร$: $เลื่อนไปทางขวาให้บวกค่า x ไปทางซ้ายให้ลบค่า x เลื่อนขึ้นให้บวกค่า y และเลื่อนลงให้ลบค่า y$
$ดูอย่างไรว่าเป็นการแปลงแบบไหน$: $ถ้าต้องพลิกรูปจึงจะทับกันได้สนิท เป็นการสะท้อน ถ้าไม่ต้องพลิกและทุกจุดเลื่อนไปทางเดียวกันเท่ากัน เป็นการเลื่อนขนาน ถ้าไม่ต้องพลิกแต่ไม่ใช่การเลื่อนขนาน เป็นการหมุน$