คาบและแอมพลิจูดของ y = a sin bx คือเท่าไร

เมื่อ b > 0 คาบคือ 2π/b และแอมพลิจูดคือ |a| เช่น y = 2 sin 3x มีคาบ 2π/3 และแอมพลิจูด 2

เรนจ์ของ arcsin และ arccos คืออะไร

arcsin x มีเรนจ์ [-π/2, π/2] ส่วน arccos x มีเรนจ์ [0, π] ทั้งคู่มีโดเมน [-1, 1] คำตอบต้องอยู่ในเรนจ์นี้เสมอ

กฎของไซน์กับกฎของโคไซน์ใช้ต่างกันยังไง

กฎของโคไซน์ใช้เมื่อรู้สองด้านกับมุมในระหว่าง หรือรู้สามด้าน ส่วนกฎของไซน์ใช้เมื่อรู้สองมุมกับหนึ่งด้าน หรือรู้สองด้านกับมุมตรงข้ามด้านใดด้านหนึ่ง

ม.5 เทอม 1 · บทที่ 1 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ · อ่าน 7 นาที

สรุปฟังก์ชันตรีโกณมิติ ม.5

Q: ฟังก์ชันตรีโกณมิติ คืออะไร

ฟังก์ชันตรีโกณมิตินิยามด้วยวงกลมหนึ่งหน่วย ถ้าวัดส่วนโค้งยาว |θ| หน่วยจากจุด (1, 0) ไปถึงจุด (x, y) จะได้ cos θ = x และ sin θ = y แล้วนิยาม tan, cot, sec และ cosec จากสองฟังก์ชันนี้

Q: เรเดียนคืออะไร

มุม 1 เรเดียนคือมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมซึ่งรองรับส่วนโค้งยาวเท่ารัศมี และ π เรเดียนเท่ากับ 180 องศา

สรุปฟังก์ชันตรีโกณมิติ ม.5 เพิ่มเติม เทอม 1 วงกลมหนึ่งหน่วย เรเดียน กราฟ สูตรผลบวกผลต่าง ตัวผกผัน เอกลักษณ์ สมการ กฎของไซน์และโคไซน์

โดย OneClickMathเผยแพร่ 26 กันยายน 2569

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ คือฟังก์ชันที่นิยามด้วย วงกลมหนึ่งหน่วย (วงกลมรัศมี 1 หน่วย จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด) ถ้าวัดส่วนโค้งยาว $∣ θ ∣$ หน่วยจากจุด $(1, 0)$ ไปถึงจุด $(x, y)$ จะได้ $cos θ = x$ และ $sin θ = y$ จากสองฟังก์ชันนี้จึงนิยาม tan, cot, sec และ cosec ต่อ แล้วนำไปใช้กับมุม กราฟ สูตรผลบวกของมุม ตัวผกผัน เอกลักษณ์ สมการ และการหาด้านกับมุมของรูปสามเหลี่ยม

สวัสดีครับ นี่พี่ติว OCM

บทนี้สูตรเยอะ แต่เกือบทุกสูตรโยงกลับไปที่วงกลมหนึ่งหน่วยได้ ถ้าเห็นภาพจุด $(cos θ, sin θ)$ วิ่งรอบวงกลม เรื่องเครื่องหมาย ค่ามุมพิเศษ และคาบจะไม่ต้องท่องครับ

สรุปบทนี้ใน 1 ตาราง

หัวข้อ	ต้องทำอะไรเป็น
ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์	หาจุดปลายส่วนโค้งบนวงกลมหนึ่งหน่วย บอกเครื่องหมายตามจตุภาค
ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่น ๆ	tan cot sec cosec และเอกลักษณ์พื้นฐาน
ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม	แปลงองศากับเรเดียน ใช้กับรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
กราฟ	บอกคาบ แอมพลิจูด เรนจ์
ผลบวกและผลต่าง	สูตรผลบวก ผลต่าง มุมสองเท่า
ตัวผกผัน	หาค่า arcsine arccosine arctangent
เอกลักษณ์และสมการ	พิสูจน์เอกลักษณ์ แก้สมการ
กฎของโคไซน์และกฎของไซน์	หาด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยมใด ๆ
ระยะทางและความสูง	ใช้มุมก้ม มุมเงยแก้โจทย์

1ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

วงกลมหนึ่งหน่วยคือกราฟของ $x^{2} + y^{2} = 1$ ให้ $θ$ เป็นจำนวนจริง วัดส่วนโค้งยาว $∣ θ ∣$ หน่วยจากจุด $(1, 0)$

$θ > 0$ วัดทวนเข็มนาฬิกา
$θ < 0$ วัดตามเข็มนาฬิกา
$θ = 0$ จุดปลายคือ $(1, 0)$

ถ้าจุดปลายส่วนโค้งคือ $(x, y)$

cos θ = x, sin θ = y

θ = 5π6 (150°)

เส้นสีน้ำเงินบนแกน X ยาวเท่ากับ cos θ เส้นสีส้มบนแกน Y ยาวเท่ากับ sin θ

θ = 150°

วงกลมหนึ่งหน่วย: ลากจุดไปรอบวงกลมแล้วดูจุด (cos θ, sin θ)เลื่อน θ แล้วดูว่าจุดปลายส่วนโค้งอยู่จตุภาคไหน cos θ กับ sin θ เป็นบวกหรือลบ

สิ่งที่ได้ตามมาทันที

$cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1$
$- 1 \leq sin θ \leq 1$ และ $- 1 \leq cos θ \leq 1$ โดเมนของทั้งสองฟังก์ชันคือเซตของจำนวนจริง
เส้นรอบวงของวงกลมหนึ่งหน่วยยาว $2 π$ จึงได้ $sin (θ + 2 nπ) = sin θ$ และ $cos (θ + 2 nπ) = cos θ$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็ม
$sin (- θ) = - sin θ$ และ $cos (- θ) = cos θ$

เครื่องหมายในแต่ละจตุภาค

จตุภาค	$cos θ$ (พิกัด $x$ )	$sin θ$ (พิกัด $y$ )
1	$+$	$+$
2	$-$	$+$
3	$-$	$-$
4	$+$	$-$

หาค่าจากมุมอ้างอิง

หาจุดปลายส่วนโค้งก่อน ดูว่าทำมุมแหลมกับแกน X เท่าไร แล้วใส่เครื่องหมายตามจตุภาค

$sin \frac{7 π}{6} = - sin \frac{π}{6} = - \frac{1}{2}$ (จตุภาคที่ 3)
$cos \frac{5 π}{3} = cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ (จตุภาคที่ 4)
$cos (- \frac{3 π}{4}) = - \frac{2}{2}$ (วัดตามเข็มนาฬิกาไปตกจตุภาคที่ 3)

2ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่น ๆ

tan θ = \frac{sin θ}{cos θ}, cot θ = \frac{cos θ}{sin θ}, sec θ = \frac{1}{cos θ}, cosec θ = \frac{1}{sin θ}

แต่ละตัวนิยามเฉพาะเมื่อตัวส่วนไม่เป็น 0 เช่น $tan θ$ และ $sec θ$ ไม่นิยามเมื่อ $cos θ = 0$

หาร $cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1$ ด้วย $cos^{2} θ$ หรือ $sin^{2} θ$ จะได้

1 + tan^{2} θ = sec^{2} θ, 1 + cot^{2} θ = cosec^{2} θ

3ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม

องศาและเรเดียน

มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมซึ่งรองรับส่วนโค้งยาวเท่ารัศมี มีขนาด 1 เรเดียน ถ้าวงกลมรัศมี $r$ มีส่วนโค้งยาว $a$ รองรับมุม $θ$ เรเดียน จะได้ $θ = \frac{a}{r}$

18 0^{\circ} = π เรเดียน

องศาเป็นเรเดียน: คูณ $\frac{π}{180}$ เช่น $14 0^{\circ} = \frac{7 π}{9}$
เรเดียนเป็นองศา: คูณ $\frac{180}{π}$ เช่น $\frac{5 π}{12} = 7 5^{\circ}$
ส่วนโค้งยาว 6 เซนติเมตรบนวงกลมรัศมี 4 เซนติเมตร รองรับมุม $\frac{6}{4} = 1.5$ เรเดียน

มุมที่มีจุดยอดที่ $(0, 0)$ และด้านเริ่มต้นทับแกน X ทางบวก เรียกว่ามุมใน ตำแหน่งมาตรฐาน ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม $θ$ เรเดียนเท่ากับค่าของจำนวนจริง $θ$ ถ้ามุมเป็นองศา ให้แปลงเป็นเรเดียนก่อน

มุมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก $A B C$ ที่มีมุม $C$ เป็นมุมฉาก

sin A = \frac{ความยาวของด้านตรงข้ามมุม A}{ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก}, cos A = \frac{ความยาวของด้านประชิดมุม A}{ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก}, tan A = \frac{ความยาวของด้านตรงข้ามมุม A}{ความยาวของด้านประชิดมุม A}

ตัวอย่าง: มุม $A$ เป็นมุมแหลม และ $tan A = \frac{8}{15}$ ให้ด้านตรงข้ามมุม $A$ ยาว 8 ด้านประชิดยาว 15 ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $8^{2} + 1 5^{2} = 17$ จึงได้ $sin A = \frac{8}{17}$ , $cos A = \frac{15}{17}$ , $cosec A = \frac{17}{8}$ , $sec A = \frac{17}{15}$ และ $cot A = \frac{15}{8}$

4กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ฟังก์ชัน	โดเมน	เรนจ์	คาบ
$y = sin x$	$R$	$[- 1, 1]$	$2 π$
$y = cos x$	$R$	$[- 1, 1]$	$2 π$
$y = tan x$	$x \neq = \frac{π}{2} + nπ$	$R$	$π$
$y = cosec x$	$x \neq = nπ$	$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$	$2 π$
$y = sec x$	$x \neq = \frac{π}{2} + nπ$	$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$	$2 π$
$y = cot x$	$x \neq = nπ$	$R$	$π$

สำหรับ $y = a sin b x$ และ $y = a cos b x$ เมื่อ $a \neq = 0$ และ $b > 0$

แอมพลิจูด $= ∣ a ∣$ คือครึ่งหนึ่งของผลต่างระหว่างค่าสูงสุดกับค่าต่ำสุด
คาบ $= \frac{2 π}{b}$
เรนจ์ $= [- ∣ a ∣, ∣ a ∣]$

ตัวอย่าง: $y = - \frac{3}{2} cos 4 x$ มีแอมพลิจูด $\frac{3}{2}$ คาบ $\frac{2 π}{4} = \frac{π}{2}$ และเรนจ์ $[- \frac{3}{2}, \frac{3}{2}]$

y = 2sin 2x

เส้นประสีส้มคือค่าสูงสุดและต่ำสุด ห่างจากแกน X เท่ากับแอมพลิจูด

a = 2

กราฟ y = a sin bx และ y = a cos bx: ลากยอดคลื่นหรือปรับ a กับ bปรับ a แล้วดูความสูงของคลื่น ปรับ b แล้วดูว่าคาบสั้นลงหรือยาวขึ้น

5ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่าง

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β, cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

sin (α \pm β) = sin α cos β \pm cos α sin β

tan (α + β) = \frac{tan α + tan β}{1 - tan α tan β}, tan (α - β) = \frac{tan α - tan β}{1 + tan α tan β}

ตัวอย่าง: $cos 1 5^{\circ} = cos (4 5^{\circ} - 3 0^{\circ}) = \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6 + 2}{4}$

มุมสองเท่า

แทน $β = α$ ในสูตรผลบวก

sin 2 α = 2 sin α cos α, cos 2 α = cos^{2} α - sin^{2} α = 1 - 2 sin^{2} α = 2 cos^{2} α - 1

tan 2 α = \frac{2 tan α}{1 - tan ^{2} α} เมื่อ tan^{2} α \neq = 1

ตัวอย่าง: $cos θ = - \frac{5}{13}$ และ $sin θ > 0$ จะได้ $sin θ = \frac{12}{13}$ ดังนั้น $sin 2 θ = 2 (\frac{12}{13}) (- \frac{5}{13}) = - \frac{120}{169}$

จากสูตรผลบวกและผลต่าง ยังพิสูจน์สูตรอื่นได้อีก เช่น $sin (α + β) + sin (α - β) = 2 sin α cos β$ และ $cos^{2} \frac{α}{2} = \frac{1 + c o s α}{2}$

6ตัวผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติไม่เป็นฟังก์ชัน 1-1 จึงต้องจำกัดโดเมนก่อน ตัวผกผันจึงจะเป็นฟังก์ชัน

ฟังก์ชัน	โดเมน	เรนจ์
$y = arcsin x$	$[- 1, 1]$	$[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$
$y = arccos x$	$[- 1, 1]$	$[0, π]$
$y = arctan x$	$R$	$(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$

บางเล่มเขียน $sin^{- 1} x$ , $cos^{- 1} x$ และ $tan^{- 1} x$ แทน arcsine, arccosine และ arctangent

$arcsin (- \frac{2}{2}) = - \frac{π}{4}$ เพราะเป็นค่าเดียวใน $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ ที่ไซน์เท่ากับ $- \frac{2}{2}$
$arccos (- \frac{3}{2}) = \frac{5 π}{6}$
$sin (arccos (- \frac{4}{5}))$ : ให้ $θ = arccos (- \frac{4}{5})$ อยู่ใน $[0, π]$ ไซน์จึงไม่เป็นลบ ได้ $sin θ = 1 - \frac{16}{25} = \frac{3}{5}$

7เอกลักษณ์และสมการตรีโกณมิติ

เอกลักษณ์

จัดข้างที่ซับซ้อนกว่าให้เท่ากับอีกข้าง มักเปลี่ยนทุกตัวเป็น sin กับ cos

\frac{1 - cos 2 x}{sin 2 x} = \frac{2 sin ^{2} x}{2 sin x cos x} = \frac{sin x}{cos x} = tan x

สมการ

แก้ $2 cos^{2} x - cos x - 1 = 0$ เมื่อ $0 \leq x < 2 π$

(2 cos x + 1) (cos x - 1) = 0

$cos x = 1$ ได้ $x = 0$
$cos x = - \frac{1}{2}$ ได้ $x = \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}$

ถ้าโจทย์ไม่จำกัดช่วง ให้บวก $2 nπ$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็ม

8กฎของโคไซน์และกฎของไซน์

ในรูปสามเหลี่ยม $A B C$ ด้าน $a$ , $b$ , $c$ อยู่ตรงข้ามมุม $A$ , $B$ , $C$ ตามลำดับ

กฎของโคไซน์ ใช้เมื่อรู้สองด้านกับมุมในระหว่าง หรือรู้ครบสามด้าน

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A

กฎของไซน์ ใช้เมื่อรู้สองมุมกับหนึ่งด้าน หรือรู้สองด้านกับมุมตรงข้ามด้านใดด้านหนึ่ง

\frac{sin A}{a} = \frac{sin B}{b} = \frac{sin C}{c}

ตัวอย่าง: $b = 3$ , $c = 5$ และ $A = 12 0^{\circ}$

a^{2} = 9 + 25 - 2 (3) (5) (- \frac{1}{2}) = 49 \Rightarrow a = 7

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหาได้จาก $\frac{1}{2} b c sin A$ ตัวอย่างนี้ได้ $\frac{1}{2} (3) (5) \frac{3}{2} = \frac{15 3}{4}$ ตารางหน่วย

9การหาระยะทางและความสูง

ถ้าวัตถุอยู่สูงกว่าแนวเส้นระดับสายตา มุมที่มองขึ้นไปเรียกว่า มุมเงย ถ้าอยู่ต่ำกว่า มุมที่มองลงไปเรียกว่า มุมก้ม

วาดรูป กำหนดมุมเงยหรือมุมก้ม และระยะที่รู้
ถ้าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ใช้ sin cos tan
ถ้าไม่ใช่ ใช้กฎของไซน์หรือกฎของโคไซน์

ตัวอย่าง: มองยอดเสาเป็นมุมเงย $4 5^{\circ}$ เดินตรงเข้าหาเสาอีก 10 เมตร มองเป็นมุมเงย $6 0^{\circ}$ เสาสูงเท่าไร (ไม่คิดความสูงของผู้มอง)

ให้เสาสูง $h$ และจุดที่สองห่างจากโคนเสา $x$ เมตร จะได้ $h = x tan 6 0^{\circ} = 3 x$ และ $h = (x + 10) tan 4 5^{\circ} = x + 10$

3 x = x + 10 \Rightarrow x = \frac{10}{3 - 1} = 5 (3 + 1)

h = 5 (3 + 1) + 10 = 15 + 53 \approx 23.66 เมตร

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

ตั้งเครื่องคิดเลขผิดโหมด (องศากับเรเดียน)
ใส่เครื่องหมายผิดจตุภาค เช่น เขียน $cos 12 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ ที่ถูกคือ $- \frac{1}{2}$
ตอบ arcsine หรือ arccosine นอกเรนจ์ เช่น ตอบ $arcsin (- \frac{1}{2}) = \frac{7 π}{6}$ ที่ถูกคือ $- \frac{π}{6}$
แก้สมการแล้วหารด้วย $sin x$ หรือ $cos x$ ทิ้ง ทำให้คำตอบหาย
ใช้กฎของไซน์หามุมแล้วลืมว่ามุมป้านก็มีไซน์เท่ากัน ( $sin θ = sin (18 0^{\circ} - θ)$ ) ต้องตรวจว่ามุมไหนเป็นมุมภายในได้จริง

คำถามที่พบบ่อย

$ฟังก์ชันตรีโกณมิติ คืออะไร$: $ฟังก์ชันตรีโกณมิตินิยามด้วยวงกลมหนึ่งหน่วย ถ้าวัดส่วนโค้งยาว |θ| หน่วยจากจุด (1, 0) ไปถึงจุด (x, y) จะได้ cos θ = x และ sin θ = y แล้วนิยาม tan, cot, sec และ cosec จากสองฟังก์ชันนี้$
$เรเดียนคืออะไร$: $มุม 1 เรเดียนคือมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมซึ่งรองรับส่วนโค้งยาวเท่ารัศมี และ π เรเดียนเท่ากับ 180 องศา$
$คาบและแอมพลิจูดของ y = a sin bx คือเท่าไร$: $เมื่อ b > 0 คาบคือ 2π/b และแอมพลิจูดคือ |a| เช่น y = 2 sin 3x มีคาบ 2π/3 และแอมพลิจูด 2$
$เรนจ์ของ arcsin และ arccos คืออะไร$: $arcsin x มีเรนจ์ [-π/2, π/2] ส่วน arccos x มีเรนจ์ [0, π] ทั้งคู่มีโดเมน [-1, 1] คำตอบต้องอยู่ในเรนจ์นี้เสมอ$
$กฎของไซน์กับกฎของโคไซน์ใช้ต่างกันยังไง$: $กฎของโคไซน์ใช้เมื่อรู้สองด้านกับมุมในระหว่าง หรือรู้สามด้าน ส่วนกฎของไซน์ใช้เมื่อรู้สองมุมกับหนึ่งด้าน หรือรู้สองด้านกับมุมตรงข้ามด้านใดด้านหนึ่ง$

ม.5 เทอม 1 · บทที่ 1 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ · อ่าน 7 นาที

สรุปฟังก์ชันตรีโกณมิติ ม.5

โดย OneClickMathเผยแพร่ 26 กันยายน 2569

สวัสดีครับ นี่พี่ติว OCM

สรุปบทนี้ใน 1 ตาราง

หัวข้อ	ต้องทำอะไรเป็น
ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์	หาจุดปลายส่วนโค้งบนวงกลมหนึ่งหน่วย บอกเครื่องหมายตามจตุภาค
ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่น ๆ	tan cot sec cosec และเอกลักษณ์พื้นฐาน
ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม	แปลงองศากับเรเดียน ใช้กับรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
กราฟ	บอกคาบ แอมพลิจูด เรนจ์
ผลบวกและผลต่าง	สูตรผลบวก ผลต่าง มุมสองเท่า
ตัวผกผัน	หาค่า arcsine arccosine arctangent
เอกลักษณ์และสมการ	พิสูจน์เอกลักษณ์ แก้สมการ
กฎของโคไซน์และกฎของไซน์	หาด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยมใด ๆ
ระยะทางและความสูง	ใช้มุมก้ม มุมเงยแก้โจทย์

1ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

$θ > 0$ วัดทวนเข็มนาฬิกา
$θ < 0$ วัดตามเข็มนาฬิกา
$θ = 0$ จุดปลายคือ $(1, 0)$

ถ้าจุดปลายส่วนโค้งคือ $(x, y)$

cos θ = x, sin θ = y

θ = 5π6 (150°)

เส้นสีน้ำเงินบนแกน X ยาวเท่ากับ cos θ เส้นสีส้มบนแกน Y ยาวเท่ากับ sin θ

θ = 150°

สิ่งที่ได้ตามมาทันที

$cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1$
$- 1 \leq sin θ \leq 1$ และ $- 1 \leq cos θ \leq 1$ โดเมนของทั้งสองฟังก์ชันคือเซตของจำนวนจริง
เส้นรอบวงของวงกลมหนึ่งหน่วยยาว $2 π$ จึงได้ $sin (θ + 2 nπ) = sin θ$ และ $cos (θ + 2 nπ) = cos θ$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็ม
$sin (- θ) = - sin θ$ และ $cos (- θ) = cos θ$

เครื่องหมายในแต่ละจตุภาค

จตุภาค	$cos θ$ (พิกัด $x$ )	$sin θ$ (พิกัด $y$ )
1	$+$	$+$
2	$-$	$+$
3	$-$	$-$
4	$+$	$-$

หาค่าจากมุมอ้างอิง

$sin \frac{7 π}{6} = - sin \frac{π}{6} = - \frac{1}{2}$ (จตุภาคที่ 3)
$cos \frac{5 π}{3} = cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ (จตุภาคที่ 4)
$cos (- \frac{3 π}{4}) = - \frac{2}{2}$ (วัดตามเข็มนาฬิกาไปตกจตุภาคที่ 3)

2ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่น ๆ

tan θ = \frac{sin θ}{cos θ}, cot θ = \frac{cos θ}{sin θ}, sec θ = \frac{1}{cos θ}, cosec θ = \frac{1}{sin θ}

หาร $cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1$ ด้วย $cos^{2} θ$ หรือ $sin^{2} θ$ จะได้

1 + tan^{2} θ = sec^{2} θ, 1 + cot^{2} θ = cosec^{2} θ

3ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม

องศาและเรเดียน

18 0^{\circ} = π เรเดียน

องศาเป็นเรเดียน: คูณ $\frac{π}{180}$ เช่น $14 0^{\circ} = \frac{7 π}{9}$
เรเดียนเป็นองศา: คูณ $\frac{180}{π}$ เช่น $\frac{5 π}{12} = 7 5^{\circ}$
ส่วนโค้งยาว 6 เซนติเมตรบนวงกลมรัศมี 4 เซนติเมตร รองรับมุม $\frac{6}{4} = 1.5$ เรเดียน

มุมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก $A B C$ ที่มีมุม $C$ เป็นมุมฉาก

sin A = \frac{ความยาวของด้านตรงข้ามมุม A}{ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก}, cos A = \frac{ความยาวของด้านประชิดมุม A}{ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก}, tan A = \frac{ความยาวของด้านตรงข้ามมุม A}{ความยาวของด้านประชิดมุม A}

4กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ฟังก์ชัน	โดเมน	เรนจ์	คาบ
$y = sin x$	$R$	$[- 1, 1]$	$2 π$
$y = cos x$	$R$	$[- 1, 1]$	$2 π$
$y = tan x$	$x \neq = \frac{π}{2} + nπ$	$R$	$π$
$y = cosec x$	$x \neq = nπ$	$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$	$2 π$
$y = sec x$	$x \neq = \frac{π}{2} + nπ$	$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$	$2 π$
$y = cot x$	$x \neq = nπ$	$R$	$π$

สำหรับ $y = a sin b x$ และ $y = a cos b x$ เมื่อ $a \neq = 0$ และ $b > 0$

แอมพลิจูด $= ∣ a ∣$ คือครึ่งหนึ่งของผลต่างระหว่างค่าสูงสุดกับค่าต่ำสุด
คาบ $= \frac{2 π}{b}$
เรนจ์ $= [- ∣ a ∣, ∣ a ∣]$

ตัวอย่าง: $y = - \frac{3}{2} cos 4 x$ มีแอมพลิจูด $\frac{3}{2}$ คาบ $\frac{2 π}{4} = \frac{π}{2}$ และเรนจ์ $[- \frac{3}{2}, \frac{3}{2}]$

y = 2sin 2x

เส้นประสีส้มคือค่าสูงสุดและต่ำสุด ห่างจากแกน X เท่ากับแอมพลิจูด

a = 2

5ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่าง

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β, cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

sin (α \pm β) = sin α cos β \pm cos α sin β

tan (α + β) = \frac{tan α + tan β}{1 - tan α tan β}, tan (α - β) = \frac{tan α - tan β}{1 + tan α tan β}

ตัวอย่าง: $cos 1 5^{\circ} = cos (4 5^{\circ} - 3 0^{\circ}) = \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6 + 2}{4}$

มุมสองเท่า

แทน $β = α$ ในสูตรผลบวก

sin 2 α = 2 sin α cos α, cos 2 α = cos^{2} α - sin^{2} α = 1 - 2 sin^{2} α = 2 cos^{2} α - 1

tan 2 α = \frac{2 tan α}{1 - tan ^{2} α} เมื่อ tan^{2} α \neq = 1

6ตัวผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ฟังก์ชัน	โดเมน	เรนจ์
$y = arcsin x$	$[- 1, 1]$	$[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$
$y = arccos x$	$[- 1, 1]$	$[0, π]$
$y = arctan x$	$R$	$(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$

บางเล่มเขียน $sin^{- 1} x$ , $cos^{- 1} x$ และ $tan^{- 1} x$ แทน arcsine, arccosine และ arctangent

$arcsin (- \frac{2}{2}) = - \frac{π}{4}$ เพราะเป็นค่าเดียวใน $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ ที่ไซน์เท่ากับ $- \frac{2}{2}$
$arccos (- \frac{3}{2}) = \frac{5 π}{6}$
$sin (arccos (- \frac{4}{5}))$ : ให้ $θ = arccos (- \frac{4}{5})$ อยู่ใน $[0, π]$ ไซน์จึงไม่เป็นลบ ได้ $sin θ = 1 - \frac{16}{25} = \frac{3}{5}$

7เอกลักษณ์และสมการตรีโกณมิติ

เอกลักษณ์

จัดข้างที่ซับซ้อนกว่าให้เท่ากับอีกข้าง มักเปลี่ยนทุกตัวเป็น sin กับ cos

\frac{1 - cos 2 x}{sin 2 x} = \frac{2 sin ^{2} x}{2 sin x cos x} = \frac{sin x}{cos x} = tan x

สมการ

แก้ $2 cos^{2} x - cos x - 1 = 0$ เมื่อ $0 \leq x < 2 π$

(2 cos x + 1) (cos x - 1) = 0

$cos x = 1$ ได้ $x = 0$
$cos x = - \frac{1}{2}$ ได้ $x = \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}$

ถ้าโจทย์ไม่จำกัดช่วง ให้บวก $2 nπ$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็ม

8กฎของโคไซน์และกฎของไซน์

ในรูปสามเหลี่ยม $A B C$ ด้าน $a$ , $b$ , $c$ อยู่ตรงข้ามมุม $A$ , $B$ , $C$ ตามลำดับ

กฎของโคไซน์ ใช้เมื่อรู้สองด้านกับมุมในระหว่าง หรือรู้ครบสามด้าน

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A

\frac{sin A}{a} = \frac{sin B}{b} = \frac{sin C}{c}

ตัวอย่าง: $b = 3$ , $c = 5$ และ $A = 12 0^{\circ}$

a^{2} = 9 + 25 - 2 (3) (5) (- \frac{1}{2}) = 49 \Rightarrow a = 7

9การหาระยะทางและความสูง

วาดรูป กำหนดมุมเงยหรือมุมก้ม และระยะที่รู้
ถ้าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ใช้ sin cos tan
ถ้าไม่ใช่ ใช้กฎของไซน์หรือกฎของโคไซน์

3 x = x + 10 \Rightarrow x = \frac{10}{3 - 1} = 5 (3 + 1)

h = 5 (3 + 1) + 10 = 15 + 53 \approx 23.66 เมตร

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

ตั้งเครื่องคิดเลขผิดโหมด (องศากับเรเดียน)
ใส่เครื่องหมายผิดจตุภาค เช่น เขียน $cos 12 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ ที่ถูกคือ $- \frac{1}{2}$
ตอบ arcsine หรือ arccosine นอกเรนจ์ เช่น ตอบ $arcsin (- \frac{1}{2}) = \frac{7 π}{6}$ ที่ถูกคือ $- \frac{π}{6}$
แก้สมการแล้วหารด้วย $sin x$ หรือ $cos x$ ทิ้ง ทำให้คำตอบหาย
ใช้กฎของไซน์หามุมแล้วลืมว่ามุมป้านก็มีไซน์เท่ากัน ( $sin θ = sin (18 0^{\circ} - θ)$ ) ต้องตรวจว่ามุมไหนเป็นมุมภายในได้จริง

คำถามที่พบบ่อย

$ฟังก์ชันตรีโกณมิติ คืออะไร$: $ฟังก์ชันตรีโกณมิตินิยามด้วยวงกลมหนึ่งหน่วย ถ้าวัดส่วนโค้งยาว |θ| หน่วยจากจุด (1, 0) ไปถึงจุด (x, y) จะได้ cos θ = x และ sin θ = y แล้วนิยาม tan, cot, sec และ cosec จากสองฟังก์ชันนี้$
$เรเดียนคืออะไร$: $มุม 1 เรเดียนคือมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมซึ่งรองรับส่วนโค้งยาวเท่ารัศมี และ π เรเดียนเท่ากับ 180 องศา$
$คาบและแอมพลิจูดของ y = a sin bx คือเท่าไร$: $เมื่อ b > 0 คาบคือ 2π/b และแอมพลิจูดคือ |a| เช่น y = 2 sin 3x มีคาบ 2π/3 และแอมพลิจูด 2$
$เรนจ์ของ arcsin และ arccos คืออะไร$: $arcsin x มีเรนจ์ [-π/2, π/2] ส่วน arccos x มีเรนจ์ [0, π] ทั้งคู่มีโดเมน [-1, 1] คำตอบต้องอยู่ในเรนจ์นี้เสมอ$
$กฎของไซน์กับกฎของโคไซน์ใช้ต่างกันยังไง$: $กฎของโคไซน์ใช้เมื่อรู้สองด้านกับมุมในระหว่าง หรือรู้สามด้าน ส่วนกฎของไซน์ใช้เมื่อรู้สองมุมกับหนึ่งด้าน หรือรู้สองด้านกับมุมตรงข้ามด้านใดด้านหนึ่ง$