ค่า sin cos tan ของมุม 30 45 60 องศามีอะไรบ้าง

sin 30° = 1/2, sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2 ส่วน cos กลับลำดับกัน คือ cos 30° = √3/2, cos 45° = √2/2, cos 60° = 1/2 และ tan 30° = √3/3, tan 45° = 1, tan 60° = √3

มุมเงยกับมุมก้มต่างกันยังไง

มุมเงยคือมุมระหว่างแนวเส้นระดับสายตากับแนวเส้นจากตาไปยังวัตถุที่อยู่สูงกว่า มุมก้มคือมุมแบบเดียวกันเมื่อวัตถุอยู่ต่ำกว่า ทั้งสองวัดจากแนวเส้นระดับสายตาเสมอ

จำตารางตรีโกณมิติยังไงให้ไม่ลืม

จำสามเหลี่ยมสองรูป คือ 45-45-90 ที่ด้านเป็น 1 : 1 : √2 และ 30-60-90 ที่ด้านเป็น 1 : √3 : 2 แล้วหาค่าจากนิยาม sin cos tan ได้ทุกตัว

บทนี้เรียนตอนไหน

เรียนในคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.3 ภาคเรียนที่ 2 บทที่ 5 ซึ่งเป็นบทสุดท้ายของคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.ต้น

ม.3 เทอม 2 · บทที่ 5 อัตราส่วนตรีโกณมิติ · อ่าน 3 นาที

สรุปอัตราส่วนตรีโกณมิติ ม.3

อัตราส่วนตรีโกณมิติ ม.3 เทอม 2 sin cos tan คืออะไร ตารางค่ามุม 30 45 60 องศา การอ่านค่ามุมอื่น และโจทย์มุมเงย มุมก้ม พร้อมวิธีคิด

โดย OneClickMathเผยแพร่ 26 กันยายน 2569

อัตราส่วนตรีโกณมิติ คืออัตราส่วนของความยาวด้านในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เทียบกับมุมแหลม $θ$ ได้แก่ $sin θ = \frac{ข้าม}{ฉาก}$ , $cos θ = \frac{ชิด}{ฉาก}$ และ $tan θ = \frac{ข้าม}{ชิด}$ บทนี้เรียนใน ม.3 เทอม 2 เน้นค่าของมุม $3 0^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ และโจทย์มุมเงย มุมก้ม

สวัสดีครับ นี่พี่ติว OCM

บทนี้ถ้าจำตารางค่ามุม 30, 45, 60 ได้ ก็เก็บคะแนนได้เกินครึ่ง ส่วนโจทย์มุมเงยมุมก้ม แค่วาดรูปให้ถูกก็แก้ได้ครับ

สรุปบทนี้ใน 1 ตาราง

หัวข้อ	ต้องทำอะไรเป็น
ความหมายของอัตราส่วนตรีโกณมิติ	หา sin cos tan จากความยาวด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก
อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมแหลม	จำค่าของมุม $3 0^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ และอ่านค่ามุมอื่นจากตาราง
การนำไปใช้	แก้โจทย์มุมเงย มุมก้ม หาความสูงและระยะทาง

1ความหมายของอัตราส่วนตรีโกณมิติ

ในสามเหลี่ยมมุมฉาก เมื่อมองจากมุมแหลม $θ$

ด้านตรงข้ามมุมฉาก (ฉาก): ด้านที่ยาวที่สุด
ด้านตรงข้ามมุม $θ$ (ข้าม): ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุม $θ$
ด้านประชิดมุม $θ$ (ชิด): ด้านที่ติดมุม $θ$ ที่ไม่ใช่ด้านตรงข้ามมุมฉาก

sin θ = \frac{ข้าม}{ฉาก} cos θ = \frac{ชิด}{ฉาก} tan θ = \frac{ข้าม}{ชิด}

และ $tan θ = \frac{sin θ}{cos θ}$

ตัวอย่าง: สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้าน 5, 12, 13 ถ้ามุม $θ$ อยู่ตรงข้ามด้านยาว 5

$sin θ = \frac{5}{13}$
$cos θ = \frac{12}{13}$
$tan θ = \frac{5}{12}$

ค่าอัตราส่วนขึ้นกับขนาดของมุมเท่านั้น ไม่ขึ้นกับขนาดของสามเหลี่ยม เพราะสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมแหลมเท่ากันเป็นรูปคล้ายกัน

ด้านตรงข้ามมุมฉาก AB: 10
ด้านตรงข้ามมุม A (BC): ≈ 5.74
ด้านประชิดมุม A (AC): ≈ 8.19

sin A

cos A

tan A

มุม A = 35°ความยาว AB = 10

อัตราส่วนตรีโกณมิติ: หมุนมุม A แล้วดูค่า sin cos tanหมุนมุม A แล้วดูค่า sin cos tan เปลี่ยนตาม จากนั้นเลื่อนความยาว AB ค่าทั้งสามไม่ขยับเลย ลองหยุดที่ 30°, 45° และ 60°

2ค่าของมุม 30°, 45° และ 60°

$θ$	$sin θ$	$cos θ$	$tan θ$
$3 0^{\circ}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{3}{3}$
$4 5^{\circ}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{2}{2}$	$1$
$6 0^{\circ}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$3$

ที่มาของตาราง

สามเหลี่ยม $4 5^{\circ}$ - $4 5^{\circ}$ - $9 0^{\circ}$ : ด้านเป็น $1 : 1 : 2$
สามเหลี่ยม $3 0^{\circ}$ - $6 0^{\circ}$ - $9 0^{\circ}$ : ด้านเป็น $1 : 3 : 2$ โดยด้านยาว 1 อยู่ตรงข้ามมุม $3 0^{\circ}$

สังเกต: $sin 3 0^{\circ} = cos 6 0^{\circ}$ และ $sin 6 0^{\circ} = cos 3 0^{\circ}$ เพราะมุมทั้งสองรวมกันได้ $9 0^{\circ}$

มุมแหลมขนาดอื่น ๆ

มุมที่ไม่ใช่ $3 0^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ เช่น $3 5^{\circ}$ ให้อ่านค่าจากตารางค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติ ซึ่งเป็นค่าประมาณทศนิยม 4 ตำแหน่ง เช่น $sin 3 5^{\circ} \approx 0.5736$ และ $tan 3 5^{\circ} \approx 0.7002$ ในทางกลับกัน ถ้ารู้ค่าอัตราส่วน ก็เปิดตารางหาขนาดของมุมได้

3มุมเงยและมุมก้ม

มุมเงย คือมุมระหว่างแนวเส้นระดับสายตากับแนวเส้นจากตาไปยังวัตถุ เมื่อวัตถุอยู่สูงกว่าแนวเส้นระดับสายตา
มุมก้ม คือมุมระหว่างแนวเส้นระดับสายตากับแนวเส้นจากตาไปยังวัตถุ เมื่อวัตถุอยู่ต่ำกว่าแนวเส้นระดับสายตา

มุมเงยจากจุด $A$ ไปจุด $B$ เท่ากับมุมก้มจากจุด $B$ มาจุด $A$ (มุมแย้ง)

ขั้นตอนแก้โจทย์

วาดรูป ใส่แนวระดับ และมุมที่โจทย์บอก
หาสามเหลี่ยมมุมฉาก
เลือก sin, cos หรือ tan ที่มีด้านที่รู้กับด้านที่ต้องการ
แก้สมการ

ตัวอย่าง: ยืนห่างตึก 25 เมตร มองยอดตึกเป็นมุมเงย $6 0^{\circ}$ ตึกสูงเท่าไร (ไม่คิดความสูงของผู้มอง)

tan 6 0^{\circ} = \frac{h}{25} \Rightarrow h = 253 \approx 43.30 เมตร

ตัวอย่าง: มองจากยอดประภาคารสูง 36 เมตร เห็นเรือเป็นมุมก้ม $4 5^{\circ}$ เรืออยู่ห่างฐานประภาคารเท่าไร

มุมก้ม $4 5^{\circ}$ เท่ากับมุมเงยจากเรือ $4 5^{\circ}$
$tan 4 5^{\circ} = \frac{36}{d}$ ได้ $d = 36$ เมตร

ถ้าโจทย์บอกความสูงของผู้มอง ต้องบวกความสูงระดับสายตาเข้าไปด้วย

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

สลับด้านข้ามกับด้านชิด เพราะไม่ได้มองจากมุมที่โจทย์ถาม
สลับค่า $sin 3 0^{\circ}$ กับ $sin 6 0^{\circ}$
วัดมุมก้มจากแนวดิ่ง แทนที่จะวัดจากแนวเส้นระดับสายตา
ลืมบวกความสูงระดับสายตาของผู้มอง

คำถามที่พบบ่อย

$sin cos tan คืออะไร$: $คืออัตราส่วนของด้านในสามเหลี่ยมมุมฉาก เทียบกับมุมแหลม θ โดย sin = ข้าม/ฉาก, cos = ชิด/ฉาก และ tan = ข้าม/ชิด$
$ค่า sin cos tan ของมุม 30 45 60 องศามีอะไรบ้าง$: $sin 30° = 1/2, sin 45° = \sqrt2/2, sin 60° = \sqrt3/2 ส่วน cos กลับลำดับกัน คือ cos 30° = \sqrt3/2, cos 45° = \sqrt2/2, cos 60° = 1/2 และ tan 30° = \sqrt3/3, tan 45° = 1, tan 60° = \sqrt3$
$มุมเงยกับมุมก้มต่างกันยังไง$: $มุมเงยคือมุมระหว่างแนวเส้นระดับสายตากับแนวเส้นจากตาไปยังวัตถุที่อยู่สูงกว่า มุมก้มคือมุมแบบเดียวกันเมื่อวัตถุอยู่ต่ำกว่า ทั้งสองวัดจากแนวเส้นระดับสายตาเสมอ$
$จำตารางตรีโกณมิติยังไงให้ไม่ลืม$: $จำสามเหลี่ยมสองรูป คือ 45-45-90 ที่ด้านเป็น 1 : 1 : \sqrt2 และ 30-60-90 ที่ด้านเป็น 1 : \sqrt3 : 2 แล้วหาค่าจากนิยาม sin cos tan ได้ทุกตัว$
$บทนี้เรียนตอนไหน$: $เรียนในคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.3 ภาคเรียนที่ 2 บทที่ 5 ซึ่งเป็นบทสุดท้ายของคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.ต้น$