เวกเตอร์กับสเกลาร์ต่างกันยังไง

เวกเตอร์เป็นปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง เช่น ความเร็วและแรง ส่วนสเกลาร์มีแต่ขนาด เช่น มวลและอุณหภูมิ

ผลคูณเชิงสเกลาร์กับผลคูณเชิงเวกเตอร์ต่างกันยังไง

ผลคูณเชิงสเกลาร์ (ดอท) ได้ผลเป็นจำนวนจริง ใช้หามุมและตรวจการตั้งฉาก ส่วนผลคูณเชิงเวกเตอร์ (ครอส) ได้เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับทั้งสองเวกเตอร์ ใช้หาพื้นที่และปริมาตร และนิยามเฉพาะเวกเตอร์สามมิติ

ตรวจว่าเวกเตอร์สองเวกเตอร์ตั้งฉากกันยังไง

หาผลคูณเชิงสเกลาร์ ถ้าได้ 0 แสดงว่าตั้งฉากกัน

หามุมระหว่างเวกเตอร์ยังไง

ใช้ cos θ = (u · v) / (|u||v|) แล้วหามุม θ ที่อยู่ระหว่าง 0 ถึง 180 องศา

หาพื้นที่รูปสามเหลี่ยมด้วยเวกเตอร์ยังไง

ให้สองด้านของรูปสามเหลี่ยมเป็นเวกเตอร์ u และ v ที่มีจุดเริ่มต้นเดียวกัน พื้นที่เท่ากับครึ่งหนึ่งของ |u × v|

ม.5 เทอม 1 · บทที่ 3 เวกเตอร์ในสามมิติ · อ่าน 5 นาที

สรุปเวกเตอร์ในสามมิติ ม.5

สรุปเวกเตอร์ ม.5 เพิ่มเติม เทอม 1 การบวกลบเวกเตอร์ ระบบพิกัดฉากสามมิติ ขนาด เวกเตอร์หนึ่งหน่วย ผลคูณเชิงสเกลาร์ และผลคูณเชิงเวกเตอร์

โดย OneClickMathเผยแพร่ 26 กันยายน 2569

เวกเตอร์ คือปริมาณที่มีทั้ง ขนาดและทิศทาง เช่น การกระจัด ความเร็ว แรง ส่วนปริมาณที่มีแต่ขนาด เช่น มวล อุณหภูมิ เรียกว่า สเกลาร์ ในทางเรขาคณิตแทนเวกเตอร์ด้วยส่วนของเส้นตรงที่ระบุทิศทาง ความยาวบอกขนาด หัวลูกศรบอกทิศทาง บทนี้ครอบคลุมสมบัติของเวกเตอร์ ระบบพิกัดฉากสามมิติ เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก ผลคูณเชิงสเกลาร์ และ ผลคูณเชิงเวกเตอร์

สวัสดีครับ นี่พี่ติว OCM

จำไว้ข้อเดียว: ผลคูณเชิงสเกลาร์ได้ จำนวนจริง ใช้หามุมและตรวจการตั้งฉาก ส่วนผลคูณเชิงเวกเตอร์ได้ เวกเตอร์ ที่ตั้งฉากกับทั้งสองเวกเตอร์ ใช้หาพื้นที่และปริมาตรครับ

สรุปบทนี้ใน 1 ตาราง

หัวข้อ	สูตรหลัก
ขนาดของเวกเตอร์	$∣ a i + b j + c k ∣ = a^{2} + b^{2} + c^{2}$
เวกเตอร์หนึ่งหน่วย	$\frac{v}{∣ v ∣}$
ผลคูณเชิงสเกลาร์	$u \cdot v = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} = ∣ u ∣ ∣ v ∣ cos θ$
ตั้งฉาก	$u \cdot v = 0$
ผลคูณเชิงเวกเตอร์	$∣ u \times v ∣ = ∣ u ∣ ∣ v ∣ sin θ$
พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน	$∣ u \times v ∣$
ปริมาตรทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน	$∣ u \cdot (v \times w)∣$

1เวกเตอร์และสมบัติของเวกเตอร์

$A B$ คือเวกเตอร์ที่มี $A$ เป็น จุดเริ่มต้น และ $B$ เป็น จุดสิ้นสุด ขนาดเขียนแทนด้วย $∣ A B ∣$
$u$ ขนานกับ $v$ ( $u ∥ v$ ) เมื่อทั้งสองมีทิศทางเดียวกันหรือทิศทางตรงข้ามกัน
$u$ เท่ากับ $v$ เมื่อมีขนาดเท่ากันและทิศทางเดียวกัน ไม่สนว่าอยู่ตรงไหน
นิเสธ ของ $u$ เขียน $- u$ มีขนาดเท่า $u$ แต่ทิศทางตรงข้าม
เวกเตอร์ศูนย์ $0$ มีขนาดเป็น 0

การบวก วางหางของเวกเตอร์ที่สองต่อหัวของเวกเตอร์แรก จะได้ $A B + B C = A C$

การลบ $u - v = u + (- v)$

การคูณด้วยสเกลาร์ $α u$ มีขนาด $∣ α ∣∣ u ∣$ ถ้า $α > 0$ ทิศเดียวกับ $u$ ถ้า $α < 0$ ทิศตรงข้าม

เวกเตอร์ $u$ และ $v$ ที่ไม่เป็นเวกเตอร์ศูนย์ขนานกัน ก็ต่อเมื่อมีจำนวนจริง $k \neq = 0$ ที่ $u = k v$

ตัวอย่าง: ใน $△ P QR$ ถ้า $M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $QR$ จะได้ $P M = P Q + \frac{1}{2} QR = \frac{1}{2} (P Q + P R)$

2ระบบพิกัดฉากสามมิติ

มีแกน X, Y และ Z ตั้งฉากกันที่จุดกำเนิด $O$ จุดในปริภูมิเขียนเป็น $(x, y, z)$ ระยะห่างระหว่างจุด $P_{1} (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ กับ $P_{2} (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ คือ

P_{1} P_{2} = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}

ตัวอย่าง: ระยะจาก $(1, - 2, 4)$ ถึง $(3, 1, - 2)$ คือ $4 + 9 + 36 = 7$ หน่วย

3เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก

เวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นที่ $P_{1} (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ และจุดสิ้นสุดที่ $P_{2} (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ คือ

P_{1} P_{2} = x_{2} - x_{1} y_{2} - y_{1} z_{2} - z_{1}

(จุดสิ้นสุดลบจุดเริ่มต้น) การเท่ากัน การบวก การลบ และการคูณด้วยสเกลาร์ ทำทีละพิกัด ในสองมิติก็ทำแบบเดียวกันโดยตัดพิกัดที่สามออก

ขนาดและเวกเตอร์หนึ่งหน่วย

$i$ , $j$ , $k$ คือเวกเตอร์หนึ่งหน่วยตามแนวแกน X, Y, Z จึงเขียน

a b c = a i + b j + c k, ∣ a i + b j + c k ∣ = a^{2} + b^{2} + c^{2}

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย คือเวกเตอร์ที่มีขนาด 1 หน่วย เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางเดียวกับ $v$ คือ $\frac{v}{∣ v ∣}$

ตัวอย่าง: $v = 2 i - j + 2 k$ มี $∣ v ∣ = 4 + 1 + 4 = 3$ เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางเดียวกับ $v$ คือ $\frac{2}{3} i - \frac{1}{3} j + \frac{2}{3} k$

4ผลคูณเชิงสเกลาร์

ถ้า $u = a_{1} i + a_{2} j + a_{3} k$ และ $v = b_{1} i + b_{2} j + b_{3} k$

u \cdot v = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}

(ในสองมิติ $u \cdot v = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$ ) อ่านว่า เวกเตอร์ยู ดอท เวกเตอร์วี

ถ้า $θ$ เป็นขนาดของมุมระหว่าง $u$ และ $v$ ซึ่งไม่เป็นเวกเตอร์ศูนย์ ( $0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ}$ ) จะได้

u \cdot v = ∣ u ∣∣ v ∣ cos θ

หามุม $cos θ = \frac{u \cdot v}{∣ u ∣∣ v ∣}$
ตั้งฉาก $u$ ตั้งฉากกับ $v$ ก็ต่อเมื่อ $u \cdot v = 0$
$u \cdot u = ∣ u ∣^{2}$ และ $u \cdot v = v \cdot u$

u·v = 5 θ ≈ 45°

u: แกน X = 3u: แกน Y = 1v: แกน X = 1v: แกน Y = 2

ผลคูณเชิงสเกลาร์: ลากปลายเวกเตอร์ u และ v แล้วดูมุมระหว่างกันปรับเวกเตอร์ u และ v แล้วดูเครื่องหมายของ u·v เป็นบวก มุมเป็นมุมแหลม เป็นลบ มุมเป็นมุมป้าน เป็น 0 เวกเตอร์ตั้งฉากกัน

ตัวอย่าง: $u = 2 i + j - k$ และ $v = i + 2 j + k$

cos θ = \frac{2 + 2 - 1}{6 6} = \frac{1}{2} \Rightarrow θ = 6 0^{\circ}

ตัวอย่าง: $∣ u ∣ = 3$ , $∣ v ∣ = 4$ และมุมระหว่างกันเป็น $6 0^{\circ}$

∣ u + v ∣^{2} = ∣ u ∣^{2} + 2 u \cdot v + ∣ v ∣^{2} = 9 + 2 (6) + 16 = 37

5ผลคูณเชิงเวกเตอร์

นิยามเฉพาะเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากสามมิติ

u \times v = i a_{1} b_{1} j a_{2} b_{2} k a_{3} b_{3} = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}) i - (a_{1} b_{3} - a_{3} b_{1}) j + (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) k

อ่านว่า เวกเตอร์ยู ครอส เวกเตอร์วี

ตัวอย่าง: $u = i + 2 j + 3 k$ และ $v = 2 i - j + k$

u \times v = (2 (1) - 3 (- 1)) i - (1 (1) - 3 (2)) j + (1 (- 1) - 2 (2)) k = 5 i + 5 j - 5 k

ตรวจ: $(u \times v) \cdot u = 5 + 10 - 15 = 0$ ตั้งฉากจริง

สมบัติ

$u \times v$ ตั้งฉากกับทั้ง $u$ และ $v$ และ $∣ u \times v ∣ = ∣ u ∣∣ v ∣ sin θ$ ทิศทางหาได้จากกฎมือขวา
$u \times v = - (v \times u)$ สลับที่แล้วเครื่องหมายเปลี่ยน
$u \times u = 0$
$i \times j = k$ , $j \times k = i$ , $k \times i = j$

พื้นที่และปริมาตร

พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ที่มี $u$ , $v$ เป็นด้านประชิด $= ∣ u \times v ∣$ จากตัวอย่างข้างบนได้ $25 + 25 + 25 = 53$ ตารางหน่วย
พื้นที่รูปสามเหลี่ยม $= \frac{1}{2} ∣ u \times v ∣$
ปริมาตรทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน ที่มี $u$ , $v$ , $w$ เป็นด้าน $= ∣ u \cdot (v \times w) ∣$

ตัวอย่าง: $u = i + 2 j$ , $v = 3 j$ , $w = j + 2 k$ ได้ $v \times w = (3 (2) - 0 (1)) i - (0 - 0) j + (0 - 0) k = 6 i$ ดังนั้นปริมาตร $= ∣ (i + 2 j) \cdot 6 i ∣ = 6$ ลูกบาศก์หน่วย

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

หา $P Q$ โดยเอาจุดเริ่มต้นลบจุดสิ้นสุด
ลืมเครื่องหมายลบหน้าพจน์ $j$ ของผลคูณเชิงเวกเตอร์
คิดว่า $u \times v = v \times u$
ตอบผลคูณเชิงสเกลาร์เป็นเวกเตอร์ หรือตอบผลคูณเชิงเวกเตอร์เป็นตัวเลข
ใช้ผลคูณเชิงเวกเตอร์กับเวกเตอร์สองมิติ

คำถามที่พบบ่อย

$เวกเตอร์กับสเกลาร์ต่างกันยังไง$: $เวกเตอร์เป็นปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง เช่น ความเร็วและแรง ส่วนสเกลาร์มีแต่ขนาด เช่น มวลและอุณหภูมิ$
$ผลคูณเชิงสเกลาร์กับผลคูณเชิงเวกเตอร์ต่างกันยังไง$: $ผลคูณเชิงสเกลาร์ (ดอท) ได้ผลเป็นจำนวนจริง ใช้หามุมและตรวจการตั้งฉาก ส่วนผลคูณเชิงเวกเตอร์ (ครอส) ได้เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับทั้งสองเวกเตอร์ ใช้หาพื้นที่และปริมาตร และนิยามเฉพาะเวกเตอร์สามมิติ$
$ตรวจว่าเวกเตอร์สองเวกเตอร์ตั้งฉากกันยังไง$: $หาผลคูณเชิงสเกลาร์ ถ้าได้ 0 แสดงว่าตั้งฉากกัน$
$หามุมระหว่างเวกเตอร์ยังไง$: $ใช้ cos θ = (u \cdot v) / (|u||v|) แล้วหามุม θ ที่อยู่ระหว่าง 0 ถึง 180 องศา$
$หาพื้นที่รูปสามเหลี่ยมด้วยเวกเตอร์ยังไง$: $ให้สองด้านของรูปสามเหลี่ยมเป็นเวกเตอร์ u และ v ที่มีจุดเริ่มต้นเดียวกัน พื้นที่เท่ากับครึ่งหนึ่งของ |u \times v|$

ม.5 เทอม 1 · บทที่ 3 เวกเตอร์ในสามมิติ · อ่าน 5 นาที

สรุปเวกเตอร์ในสามมิติ ม.5

โดย OneClickMathเผยแพร่ 26 กันยายน 2569

สวัสดีครับ นี่พี่ติว OCM

สรุปบทนี้ใน 1 ตาราง

หัวข้อ	สูตรหลัก
ขนาดของเวกเตอร์	$∣ a i + b j + c k ∣ = a^{2} + b^{2} + c^{2}$
เวกเตอร์หนึ่งหน่วย	$\frac{v}{∣ v ∣}$
ผลคูณเชิงสเกลาร์	$u \cdot v = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} = ∣ u ∣ ∣ v ∣ cos θ$
ตั้งฉาก	$u \cdot v = 0$
ผลคูณเชิงเวกเตอร์	$∣ u \times v ∣ = ∣ u ∣ ∣ v ∣ sin θ$
พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน	$∣ u \times v ∣$
ปริมาตรทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน	$∣ u \cdot (v \times w)∣$

1เวกเตอร์และสมบัติของเวกเตอร์

$A B$ คือเวกเตอร์ที่มี $A$ เป็น จุดเริ่มต้น และ $B$ เป็น จุดสิ้นสุด ขนาดเขียนแทนด้วย $∣ A B ∣$
$u$ ขนานกับ $v$ ( $u ∥ v$ ) เมื่อทั้งสองมีทิศทางเดียวกันหรือทิศทางตรงข้ามกัน
$u$ เท่ากับ $v$ เมื่อมีขนาดเท่ากันและทิศทางเดียวกัน ไม่สนว่าอยู่ตรงไหน
นิเสธ ของ $u$ เขียน $- u$ มีขนาดเท่า $u$ แต่ทิศทางตรงข้าม
เวกเตอร์ศูนย์ $0$ มีขนาดเป็น 0

การบวก วางหางของเวกเตอร์ที่สองต่อหัวของเวกเตอร์แรก จะได้ $A B + B C = A C$

การลบ $u - v = u + (- v)$

ตัวอย่าง: ใน $△ P QR$ ถ้า $M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $QR$ จะได้ $P M = P Q + \frac{1}{2} QR = \frac{1}{2} (P Q + P R)$

2ระบบพิกัดฉากสามมิติ

P_{1} P_{2} = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}

ตัวอย่าง: ระยะจาก $(1, - 2, 4)$ ถึง $(3, 1, - 2)$ คือ $4 + 9 + 36 = 7$ หน่วย

3เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก

เวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นที่ $P_{1} (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ และจุดสิ้นสุดที่ $P_{2} (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ คือ

P_{1} P_{2} = x_{2} - x_{1} y_{2} - y_{1} z_{2} - z_{1}

ขนาดและเวกเตอร์หนึ่งหน่วย

$i$ , $j$ , $k$ คือเวกเตอร์หนึ่งหน่วยตามแนวแกน X, Y, Z จึงเขียน

a b c = a i + b j + c k, ∣ a i + b j + c k ∣ = a^{2} + b^{2} + c^{2}

4ผลคูณเชิงสเกลาร์

ถ้า $u = a_{1} i + a_{2} j + a_{3} k$ และ $v = b_{1} i + b_{2} j + b_{3} k$

u \cdot v = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}

(ในสองมิติ $u \cdot v = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$ ) อ่านว่า เวกเตอร์ยู ดอท เวกเตอร์วี

u \cdot v = ∣ u ∣∣ v ∣ cos θ

หามุม $cos θ = \frac{u \cdot v}{∣ u ∣∣ v ∣}$
ตั้งฉาก $u$ ตั้งฉากกับ $v$ ก็ต่อเมื่อ $u \cdot v = 0$
$u \cdot u = ∣ u ∣^{2}$ และ $u \cdot v = v \cdot u$

u·v = 5 θ ≈ 45°

u: แกน X = 3u: แกน Y = 1v: แกน X = 1v: แกน Y = 2

ตัวอย่าง: $u = 2 i + j - k$ และ $v = i + 2 j + k$

cos θ = \frac{2 + 2 - 1}{6 6} = \frac{1}{2} \Rightarrow θ = 6 0^{\circ}

ตัวอย่าง: $∣ u ∣ = 3$ , $∣ v ∣ = 4$ และมุมระหว่างกันเป็น $6 0^{\circ}$

∣ u + v ∣^{2} = ∣ u ∣^{2} + 2 u \cdot v + ∣ v ∣^{2} = 9 + 2 (6) + 16 = 37

5ผลคูณเชิงเวกเตอร์

นิยามเฉพาะเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากสามมิติ

u \times v = i a_{1} b_{1} j a_{2} b_{2} k a_{3} b_{3} = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}) i - (a_{1} b_{3} - a_{3} b_{1}) j + (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) k

อ่านว่า เวกเตอร์ยู ครอส เวกเตอร์วี

ตัวอย่าง: $u = i + 2 j + 3 k$ และ $v = 2 i - j + k$

u \times v = (2 (1) - 3 (- 1)) i - (1 (1) - 3 (2)) j + (1 (- 1) - 2 (2)) k = 5 i + 5 j - 5 k

ตรวจ: $(u \times v) \cdot u = 5 + 10 - 15 = 0$ ตั้งฉากจริง

สมบัติ

$u \times v$ ตั้งฉากกับทั้ง $u$ และ $v$ และ $∣ u \times v ∣ = ∣ u ∣∣ v ∣ sin θ$ ทิศทางหาได้จากกฎมือขวา
$u \times v = - (v \times u)$ สลับที่แล้วเครื่องหมายเปลี่ยน
$u \times u = 0$
$i \times j = k$ , $j \times k = i$ , $k \times i = j$

พื้นที่และปริมาตร

พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ที่มี $u$ , $v$ เป็นด้านประชิด $= ∣ u \times v ∣$ จากตัวอย่างข้างบนได้ $25 + 25 + 25 = 53$ ตารางหน่วย
พื้นที่รูปสามเหลี่ยม $= \frac{1}{2} ∣ u \times v ∣$
ปริมาตรทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน ที่มี $u$ , $v$ , $w$ เป็นด้าน $= ∣ u \cdot (v \times w) ∣$

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

หา $P Q$ โดยเอาจุดเริ่มต้นลบจุดสิ้นสุด
ลืมเครื่องหมายลบหน้าพจน์ $j$ ของผลคูณเชิงเวกเตอร์
คิดว่า $u \times v = v \times u$
ตอบผลคูณเชิงสเกลาร์เป็นเวกเตอร์ หรือตอบผลคูณเชิงเวกเตอร์เป็นตัวเลข
ใช้ผลคูณเชิงเวกเตอร์กับเวกเตอร์สองมิติ

คำถามที่พบบ่อย

$เวกเตอร์กับสเกลาร์ต่างกันยังไง$: $เวกเตอร์เป็นปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง เช่น ความเร็วและแรง ส่วนสเกลาร์มีแต่ขนาด เช่น มวลและอุณหภูมิ$
$ผลคูณเชิงสเกลาร์กับผลคูณเชิงเวกเตอร์ต่างกันยังไง$: $ผลคูณเชิงสเกลาร์ (ดอท) ได้ผลเป็นจำนวนจริง ใช้หามุมและตรวจการตั้งฉาก ส่วนผลคูณเชิงเวกเตอร์ (ครอส) ได้เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับทั้งสองเวกเตอร์ ใช้หาพื้นที่และปริมาตร และนิยามเฉพาะเวกเตอร์สามมิติ$
$ตรวจว่าเวกเตอร์สองเวกเตอร์ตั้งฉากกันยังไง$: $หาผลคูณเชิงสเกลาร์ ถ้าได้ 0 แสดงว่าตั้งฉากกัน$
$หามุมระหว่างเวกเตอร์ยังไง$: $ใช้ cos θ = (u \cdot v) / (|u||v|) แล้วหามุม θ ที่อยู่ระหว่าง 0 ถึง 180 องศา$
$หาพื้นที่รูปสามเหลี่ยมด้วยเวกเตอร์ยังไง$: $ให้สองด้านของรูปสามเหลี่ยมเป็นเวกเตอร์ u และ v ที่มีจุดเริ่มต้นเดียวกัน พื้นที่เท่ากับครึ่งหนึ่งของ |u \times v|$