ลอการิทึมคืออะไร

ลอการิทึมตอบคำถามว่าต้องยกกำลังฐานเท่าไรจึงได้ค่าที่ต้องการ y = log_a x ก็ต่อเมื่อ x = a^y เช่น log_4 64 = 3 เพราะ 4 ยกกำลัง 3 ได้ 64 ฟังก์ชันลอการิทึมจึงเป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

ทำไมฐานต้องมากกว่า 0 และไม่เท่ากับ 1

ถ้าฐานเป็น 1 จะได้ 1^x = 1 เป็นฟังก์ชันคงตัว ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ส่วนฐานที่ติดลบทำให้บางค่าของ x หา a^x ที่เป็นจำนวนจริงไม่ได้

log ที่ไม่เขียนฐานกับ ln ต่างกันยังไง

log x ที่ไม่เขียนฐานคือลอการิทึมสามัญ ฐาน 10 ส่วน ln x คือลอการิทึมธรรมชาติ ฐาน e ซึ่งประมาณ 2.71828 และ ln x ประมาณ 2.3026 log x

อสมการลอการิทึมต้องกลับเครื่องหมายเมื่อไร

กลับเครื่องหมายเมื่อฐานอยู่ระหว่าง 0 กับ 1 เพราะเป็นฟังก์ชันลด ถ้าฐานมากกว่า 1 เครื่องหมายคงเดิม และต้องตรวจว่าค่าภายในลอการิทึมเป็นบวกทุกครั้ง

สมบัติ log ที่ใช้บ่อยมีอะไรบ้าง

log_a MN = log_a M + log_a N, log_a (M/N) = log_a M - log_a N, log_a M^k = k log_a M, log_a a = 1 และ log_a 1 = 0 เมื่อ a, M, N เป็นจำนวนจริงบวกและ a ไม่เท่ากับ 1

ม.4 เทอม 2 · บทที่ 2 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม · อ่าน 6 นาที

สรุปฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม ม.4

สรุปฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม ม.4 เพิ่มเติม เทอม 2 รากที่ n สมบัติ log การเปลี่ยนฐาน ln สมการ อสมการ และโจทย์ประยุกต์

โดย OneClickMathเผยแพร่ 26 กันยายน 2569

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือฟังก์ชัน $y = a^{x}$ และ ฟังก์ชันลอการิทึม คือฟังก์ชัน $y = lo g_{a} x$ เมื่อ $a > 0$ และ $a \neq = 1$ ทั้งสองเป็นฟังก์ชันผกผันของกันและกัน บทนี้ของ ม.4 คณิตเพิ่มเติม เทอม 2 เริ่มจากเลขยกกำลัง รากที่ $n$ และเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ แล้วต่อด้วยกราฟ การหาค่าลอการิทึม การเปลี่ยนฐาน สมการ อสมการ และการประยุกต์

สวัสดีครับ นี่พี่ติว OCM

บทนี้ต่อจาก ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ม.4 โดยตรง เพราะลอการิทึมก็คือฟังก์ชันผกผันของเอกซ์โพเนนเชียลนั่นเอง ถ้าเข้าใจเรื่องสะท้อนข้ามเส้น $y = x$ แล้ว บทนี้จะง่ายขึ้นเยอะครับ

สรุปบทนี้ใน 1 ตาราง

หัวข้อ	ต้องทำอะไรเป็น
เลขยกกำลัง	ใช้สมบัติเลขยกกำลัง หาค่าหลักของรากที่ $n$ จัดรูปกรณฑ์ และใช้เลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนตรรกยะ
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล	วาดกราฟ $y = a^{x}$ บอกว่าเป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือลด แก้สมการและอสมการ
ฟังก์ชันลอการิทึม	แปลงระหว่าง $x = a^{y}$ กับ $y = lo g_{a} x$ และวาดกราฟ
การหาค่าลอการิทึม	ใช้สมบัติของลอการิทึม ลอการิทึมสามัญ และแอนติลอการิทึม
การเปลี่ยนฐาน	ใช้ $lo g_{b} x = \frac{l o g _{a} x}{l o g _{a} b}$ และลอการิทึมธรรมชาติ $ln x$
สมการและอสมการลอการิทึม	แก้สมการ แล้วตรวจว่าค่าภายในลอการิทึมเป็นบวก
การประยุกต์	การเพิ่มของประชากร ดอกเบี้ยทบต้น อัตราเงินเฟ้อ การสลายตัว และระดับเสียง

1เลขยกกำลัง

เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม

ให้ $a$ เป็นจำนวนจริง และ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก $a^{n}$ คือ $a$ คูณกัน $n$ ตัว และเมื่อ $a \neq = 0$ กำหนด $a^{0} = 1$ กับ $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$

เมื่อ $a, b \neq = 0$ และ $m, n$ เป็นจำนวนเต็ม

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ และ $\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}$
$(a^{m})^{n} = a^{mn}$
$(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$ และ $(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}$

รากที่ n และค่าหลัก

$y$ เป็น รากที่ $n$ ของ $x$ ก็ต่อเมื่อ $y^{n} = x$ (เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1) เช่น รากที่ 4 ของ 81 มีสองค่าคือ $3$ และ $- 3$

ค่าหลักของรากที่ $n$ ของ $x$ คือรากที่ $n$ ที่มีเครื่องหมายเดียวกับ $x$ (หรือเป็นศูนย์ทั้งคู่) เขียนแทนด้วย $n x$ เช่น $481 = 3$ และ $3 - 64 = - 4$ ส่วน $4 - 81$ ไม่มีค่าในระบบจำนวนจริง

เมื่อ $x, y \geq 0$ จะได้ $x y = x y$ ใช้จัดรูปกรณฑ์ได้ เช่น $50 + 8 = 52 + 22 = 72$

ถ้าตัวส่วนติดกรณฑ์ ให้คูณด้วยตัวที่ทำให้ส่วนไม่ติดกรณฑ์ เช่น

\frac{2}{7 - 5} = \frac{2 ( 7 + 5 )}{7 - 5} = 7 + 5

เลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ

เมื่อ $n a$ เป็นจำนวนจริง และ $\frac{m}{n}$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

a^{\frac{1}{n}} = n a, a^{\frac{m}{n}} = (n a)^{m}

ตัวอย่าง: $1 6^{\frac{3}{4}} = (416)^{3} = 2^{3} = 8$

สมบัติของเลขยกกำลังข้างบนใช้กับเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนตรรกยะได้เหมือนเดิม

2ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือฟังก์ชัน ${(x, y) \in R \times R ∣ y = a^{x}}$ เมื่อ $a > 0$ และ $a \neq = 1$ (ไม่ใช้ $a = 1$ เพราะ $1^{x} = 1$ เป็นฟังก์ชันคงตัว)

	$a > 1$	$0 < a < 1$
ชนิด	ฟังก์ชันเพิ่ม	ฟังก์ชันลด
ตัวอย่าง	$y = 3^{x}$	$y = (\frac{1}{3})^{x}$

ลักษณะที่เหมือนกันทุกกราฟ

ผ่านจุด $(0, 1)$ เสมอ
โดเมนคือ $R$ และเรนจ์คือ $(0, \infty)$ กราฟจึงไม่ตัดแกน $X$
เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง จึงมีฟังก์ชันผกผัน

สมการและอสมการเอกซ์โพเนนเชียล

ทำฐานให้เท่ากัน แล้วใช้ว่า $a^{m} = a^{n}$ ก็ต่อเมื่อ $m = n$

ตัวอย่าง: $3^{x - 1} = 81 = 3^{4}$ ได้ $x - 1 = 4$ ดังนั้น $x = 5$

สำหรับอสมการ ถ้าฐานมากกว่า 1 เครื่องหมายคงเดิม ถ้าฐานอยู่ระหว่าง 0 กับ 1 ต้อง กลับเครื่องหมาย เพราะเป็นฟังก์ชันลด

ตัวอย่าง: $(\frac{1}{3})^{x} \geq 27 = (\frac{1}{3})^{- 3}$ ฐานน้อยกว่า 1 จึงได้ $x \leq - 3$

3ฟังก์ชันลอการิทึม

ฟังก์ชันลอการิทึมคือฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

y = lo g_{a} x ก็ต่อเมื่อ x = a^{y}

เมื่อ $a > 0$ , $a \neq = 1$ และ $x > 0$ เช่น $lo g_{4} 64 = 3$ เพราะ $4^{3} = 64$

	$y = a^{x}$	$y = lo g_{a} x$
โดเมน	$R$	$(0, \infty)$
เรนจ์	$(0, \infty)$	$R$
จุดที่ผ่านเสมอ	$(0, 1)$	$(1, 0)$
เป็นฟังก์ชันเพิ่มเมื่อ	$a > 1$	$a > 1$
เป็นฟังก์ชันลดเมื่อ	$0 < a < 1$	$0 < a < 1$

กราฟทั้งสองสะท้อนกันข้ามเส้นตรง $y = x$ ลองเลือกฐานแล้วเลื่อนจุดดูได้เลย

2² = 4 ⟺ log₂ 4 = 2

━ y = 2^x · ━ y = log₂ x · เส้นประคือ y = x

x = 2

เลือกฐาน a แล้วลากจุดหรือเลื่อน x: ดูว่ากราฟ y = aˣ กับ y = logₐ x สะท้อนกันข้ามเส้น y = xเลือกฐาน a แล้วเลื่อนค่า x จุดสีน้ำเงินอยู่บน y = aˣ จุดสีส้มคือภาพสะท้อนบน y = logₐ x

4การหาค่าลอการิทึม

เมื่อ $a, M, N$ เป็นจำนวนจริงบวก $a \neq = 1$ และ $k$ เป็นจำนวนจริง

$lo g_{a} M N = lo g_{a} M + lo g_{a} N$
$lo g_{a} \frac{M}{N} = lo g_{a} M - lo g_{a} N$
$lo g_{a} M^{k} = k lo g_{a} M$
$lo g_{a} a = 1$ และ $lo g_{a} 1 = 0$
$lo g_{a^{k}} M = \frac{1}{k} lo g_{a} M$ เมื่อ $k \neq = 0$

ตัวอย่าง: $lo g_{3} 54 - lo g_{3} 2 = lo g_{3} 27 = 3$

ลอการิทึมสามัญ คือลอการิทึมฐาน 10 นิยมเขียน $lo g x$ โดยไม่ใส่ฐาน เช่น $lo g 0.01 = - 2$

แอนติลอการิทึม: $A$ เป็นแอนติลอการิทึมของ $B$ ก็ต่อเมื่อ $B = lo g A$ เช่น ถ้า $lo g 4.5 \approx 0.6532$ และ $lo g N = 1.6532$ จะได้ $lo g N \approx lo g 4.5 + lo g 10 = lo g 45$ ดังนั้น $N \approx 45$

5การเปลี่ยนฐานของลอการิทึม

lo g_{b} x = \frac{lo g _{a} x}{lo g _{a} b}

ตัวอย่าง: กำหนด $lo g 7 \approx 0.8451$ และ $lo g 2 \approx 0.3010$ จะได้ $lo g_{2} 7 = \frac{l o g 7}{l o g 2} \approx 2.8076$

ลอการิทึมธรรมชาติ คือลอการิทึมฐาน $e$ เมื่อ $e \approx 2.71828$ เขียน $ln x$ แทน $lo g_{e} x$ และ $ln e = 1$ หาค่าจากลอการิทึมสามัญได้โดย

ln x = \frac{lo g x}{lo g e} \approx 2.3026 lo g x

6สมการและอสมการลอการิทึม

ใช้สมบัติรวมให้เหลือลอการิทึมตัวเดียวแต่ละข้าง แล้วใช้ว่าฟังก์ชันลอการิทึมเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ต้องตรวจคำตอบทุกครั้ง ค่าภายในลอการิทึมต้องมากกว่าศูนย์

ตัวอย่างสมการ: $lo g_{3} (x + 1) + lo g_{3} (x - 1) = 1$

รวมได้ $lo g_{3} (x^{2} - 1) = 1$ ดังนั้น $x^{2} - 1 = 3$
ได้ $x = 2$ หรือ $x = - 2$
แทน $x = - 2$ จะได้ $lo g_{3} (- 1)$ ซึ่งไม่นิยาม คำตอบจึงเป็น ${2}$

ตัวอย่างอสมการ: $lo g_{\frac{1}{3}} (x - 2) > - 1$

ต้องมี $x - 2 > 0$ คือ $x > 2$
เขียน $- 1 = lo g_{\frac{1}{3}} 3$ ฐานน้อยกว่า 1 จึงกลับเครื่องหมาย ได้ $x - 2 < 3$
รวมกันได้ $2 < x < 5$

สมการเอกซ์โพเนนเชียลที่ทำฐานให้เท่ากันไม่ได้ ใช้ลอการิทึมช่วย เช่น $5^{x} = 20$ ได้ $x = \frac{l o g 20}{l o g 5}$

7การประยุกต์

เรื่อง	สูตร
การเพิ่มจำนวนประชากร	$n (t) = n_{0} (1 + r)^{t}$
ดอกเบี้ยทบต้นทุกสิ้นปี	$B (n) = B_{0} (1 + r)^{n}$
มูลค่าเงินเมื่อมีอัตราเงินเฟ้อ	$V (t) = V_{0} e^{- r t}$
การเพิ่มจำนวนแบคทีเรีย	$n (t) = n_{0} e^{r t}$
สารกัมมันตรังสีที่มีครึ่งชีวิต $h$	$m (t) = m_{0} e^{- r t}$ เมื่อ $r = \frac{l n 2}{h}$
ระดับเสียง (เดซิเบล)	$β = 10 lo g \frac{I}{I _{0}}$ เมื่อ $I_{0} = 1 0^{- 12}$ วัตต์ต่อตารางเมตร

ตัวอย่าง: ฝากเงิน 40,000 บาท ได้ดอกเบี้ยทบต้นร้อยละ 2 ต่อปี ต้องฝากนานเท่าไรจึงมีเงิน 50,000 บาท

50, 000 = 40, 000 (1.02)^{n} \Rightarrow n = \frac{lo g 1.25}{lo g 1.02} \approx 11.3

ดอกเบี้ยคิดทุกสิ้นปี จึงต้องรอถึงสิ้นปีที่ 12

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

ลืมกลับเครื่องหมายอสมการเมื่อฐานอยู่ระหว่าง 0 กับ 1
ไม่ตรวจว่าค่าภายในลอการิทึมเป็นบวก
เขียน $lo g_{a} (M + N) = lo g_{a} M + lo g_{a} N$
คิดว่า $a^{x}$ เป็นลบได้ ทั้งที่เรนจ์คือ $(0, \infty)$
เขียน $x^{2} = x$ แทน $∣ x ∣$

คำถามที่พบบ่อย

$ลอการิทึมคืออะไร$: $ลอการิทึมตอบคำถามว่าต้องยกกำลังฐานเท่าไรจึงได้ค่าที่ต้องการ y = log_a x ก็ต่อเมื่อ x = a^y เช่น log_4 64 = 3 เพราะ 4 ยกกำลัง 3 ได้ 64 ฟังก์ชันลอการิทึมจึงเป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล$
$ทำไมฐานต้องมากกว่า 0 และไม่เท่ากับ 1$: $ถ้าฐานเป็น 1 จะได้ 1^x = 1 เป็นฟังก์ชันคงตัว ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ส่วนฐานที่ติดลบทำให้บางค่าของ x หา a^x ที่เป็นจำนวนจริงไม่ได้$
$log ที่ไม่เขียนฐานกับ ln ต่างกันยังไง$: $log x ที่ไม่เขียนฐานคือลอการิทึมสามัญ ฐาน 10 ส่วน ln x คือลอการิทึมธรรมชาติ ฐาน e ซึ่งประมาณ 2.71828 และ ln x ประมาณ 2.3026 log x$
$อสมการลอการิทึมต้องกลับเครื่องหมายเมื่อไร$: $กลับเครื่องหมายเมื่อฐานอยู่ระหว่าง 0 กับ 1 เพราะเป็นฟังก์ชันลด ถ้าฐานมากกว่า 1 เครื่องหมายคงเดิม และต้องตรวจว่าค่าภายในลอการิทึมเป็นบวกทุกครั้ง$
$สมบัติ log ที่ใช้บ่อยมีอะไรบ้าง$: $log_a MN = log_a M + log_a N, log_a (M/N) = log_a M - log_a N, log_a M^k = k log_a M, log_a a = 1 และ log_a 1 = 0 เมื่อ a, M, N เป็นจำนวนจริงบวกและ a ไม่เท่ากับ 1$

สรุปฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม ม.4

โดย OneClickMathเผยแพร่ 26 กันยายน 2569

สวัสดีครับ นี่พี่ติว OCM

สรุปบทนี้ใน 1 ตาราง

หัวข้อ	ต้องทำอะไรเป็น
เลขยกกำลัง	ใช้สมบัติเลขยกกำลัง หาค่าหลักของรากที่ $n$ จัดรูปกรณฑ์ และใช้เลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนตรรกยะ
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล	วาดกราฟ $y = a^{x}$ บอกว่าเป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือลด แก้สมการและอสมการ
ฟังก์ชันลอการิทึม	แปลงระหว่าง $x = a^{y}$ กับ $y = lo g_{a} x$ และวาดกราฟ
การหาค่าลอการิทึม	ใช้สมบัติของลอการิทึม ลอการิทึมสามัญ และแอนติลอการิทึม
การเปลี่ยนฐาน	ใช้ $lo g_{b} x = \frac{l o g _{a} x}{l o g _{a} b}$ และลอการิทึมธรรมชาติ $ln x$
สมการและอสมการลอการิทึม	แก้สมการ แล้วตรวจว่าค่าภายในลอการิทึมเป็นบวก
การประยุกต์	การเพิ่มของประชากร ดอกเบี้ยทบต้น อัตราเงินเฟ้อ การสลายตัว และระดับเสียง

1เลขยกกำลัง

เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม

เมื่อ $a, b \neq = 0$ และ $m, n$ เป็นจำนวนเต็ม

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ และ $\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}$
$(a^{m})^{n} = a^{mn}$
$(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$ และ $(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}$

รากที่ n และค่าหลัก

เมื่อ $x, y \geq 0$ จะได้ $x y = x y$ ใช้จัดรูปกรณฑ์ได้ เช่น $50 + 8 = 52 + 22 = 72$

ถ้าตัวส่วนติดกรณฑ์ ให้คูณด้วยตัวที่ทำให้ส่วนไม่ติดกรณฑ์ เช่น

\frac{2}{7 - 5} = \frac{2 ( 7 + 5 )}{7 - 5} = 7 + 5

เลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ

เมื่อ $n a$ เป็นจำนวนจริง และ $\frac{m}{n}$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

a^{\frac{1}{n}} = n a, a^{\frac{m}{n}} = (n a)^{m}

ตัวอย่าง: $1 6^{\frac{3}{4}} = (416)^{3} = 2^{3} = 8$

2ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

	$a > 1$	$0 < a < 1$
ชนิด	ฟังก์ชันเพิ่ม	ฟังก์ชันลด
ตัวอย่าง	$y = 3^{x}$	$y = (\frac{1}{3})^{x}$

ลักษณะที่เหมือนกันทุกกราฟ

ผ่านจุด $(0, 1)$ เสมอ
โดเมนคือ $R$ และเรนจ์คือ $(0, \infty)$ กราฟจึงไม่ตัดแกน $X$
เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง จึงมีฟังก์ชันผกผัน

สมการและอสมการเอกซ์โพเนนเชียล

ทำฐานให้เท่ากัน แล้วใช้ว่า $a^{m} = a^{n}$ ก็ต่อเมื่อ $m = n$

ตัวอย่าง: $3^{x - 1} = 81 = 3^{4}$ ได้ $x - 1 = 4$ ดังนั้น $x = 5$

ตัวอย่าง: $(\frac{1}{3})^{x} \geq 27 = (\frac{1}{3})^{- 3}$ ฐานน้อยกว่า 1 จึงได้ $x \leq - 3$

3ฟังก์ชันลอการิทึม

ฟังก์ชันลอการิทึมคือฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

y = lo g_{a} x ก็ต่อเมื่อ x = a^{y}

เมื่อ $a > 0$ , $a \neq = 1$ และ $x > 0$ เช่น $lo g_{4} 64 = 3$ เพราะ $4^{3} = 64$

	$y = a^{x}$	$y = lo g_{a} x$
โดเมน	$R$	$(0, \infty)$
เรนจ์	$(0, \infty)$	$R$
จุดที่ผ่านเสมอ	$(0, 1)$	$(1, 0)$
เป็นฟังก์ชันเพิ่มเมื่อ	$a > 1$	$a > 1$
เป็นฟังก์ชันลดเมื่อ	$0 < a < 1$	$0 < a < 1$

กราฟทั้งสองสะท้อนกันข้ามเส้นตรง $y = x$ ลองเลือกฐานแล้วเลื่อนจุดดูได้เลย

2² = 4 ⟺ log₂ 4 = 2

━ y = 2^x · ━ y = log₂ x · เส้นประคือ y = x

x = 2

4การหาค่าลอการิทึม

เมื่อ $a, M, N$ เป็นจำนวนจริงบวก $a \neq = 1$ และ $k$ เป็นจำนวนจริง

$lo g_{a} M N = lo g_{a} M + lo g_{a} N$
$lo g_{a} \frac{M}{N} = lo g_{a} M - lo g_{a} N$
$lo g_{a} M^{k} = k lo g_{a} M$
$lo g_{a} a = 1$ และ $lo g_{a} 1 = 0$
$lo g_{a^{k}} M = \frac{1}{k} lo g_{a} M$ เมื่อ $k \neq = 0$

ตัวอย่าง: $lo g_{3} 54 - lo g_{3} 2 = lo g_{3} 27 = 3$

ลอการิทึมสามัญ คือลอการิทึมฐาน 10 นิยมเขียน $lo g x$ โดยไม่ใส่ฐาน เช่น $lo g 0.01 = - 2$

5การเปลี่ยนฐานของลอการิทึม

lo g_{b} x = \frac{lo g _{a} x}{lo g _{a} b}

ตัวอย่าง: กำหนด $lo g 7 \approx 0.8451$ และ $lo g 2 \approx 0.3010$ จะได้ $lo g_{2} 7 = \frac{l o g 7}{l o g 2} \approx 2.8076$

ln x = \frac{lo g x}{lo g e} \approx 2.3026 lo g x

6สมการและอสมการลอการิทึม

ตัวอย่างสมการ: $lo g_{3} (x + 1) + lo g_{3} (x - 1) = 1$

รวมได้ $lo g_{3} (x^{2} - 1) = 1$ ดังนั้น $x^{2} - 1 = 3$
ได้ $x = 2$ หรือ $x = - 2$
แทน $x = - 2$ จะได้ $lo g_{3} (- 1)$ ซึ่งไม่นิยาม คำตอบจึงเป็น ${2}$

ตัวอย่างอสมการ: $lo g_{\frac{1}{3}} (x - 2) > - 1$

ต้องมี $x - 2 > 0$ คือ $x > 2$
เขียน $- 1 = lo g_{\frac{1}{3}} 3$ ฐานน้อยกว่า 1 จึงกลับเครื่องหมาย ได้ $x - 2 < 3$
รวมกันได้ $2 < x < 5$

7การประยุกต์

เรื่อง	สูตร
การเพิ่มจำนวนประชากร	$n (t) = n_{0} (1 + r)^{t}$
ดอกเบี้ยทบต้นทุกสิ้นปี	$B (n) = B_{0} (1 + r)^{n}$
มูลค่าเงินเมื่อมีอัตราเงินเฟ้อ	$V (t) = V_{0} e^{- r t}$
การเพิ่มจำนวนแบคทีเรีย	$n (t) = n_{0} e^{r t}$
สารกัมมันตรังสีที่มีครึ่งชีวิต $h$	$m (t) = m_{0} e^{- r t}$ เมื่อ $r = \frac{l n 2}{h}$
ระดับเสียง (เดซิเบล)	$β = 10 lo g \frac{I}{I _{0}}$ เมื่อ $I_{0} = 1 0^{- 12}$ วัตต์ต่อตารางเมตร

50, 000 = 40, 000 (1.02)^{n} \Rightarrow n = \frac{lo g 1.25}{lo g 1.02} \approx 11.3

ดอกเบี้ยคิดทุกสิ้นปี จึงต้องรอถึงสิ้นปีที่ 12

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

ลืมกลับเครื่องหมายอสมการเมื่อฐานอยู่ระหว่าง 0 กับ 1
ไม่ตรวจว่าค่าภายในลอการิทึมเป็นบวก
เขียน $lo g_{a} (M + N) = lo g_{a} M + lo g_{a} N$
คิดว่า $a^{x}$ เป็นลบได้ ทั้งที่เรนจ์คือ $(0, \infty)$
เขียน $x^{2} = x$ แทน $∣ x ∣$

คำถามที่พบบ่อย

$ลอการิทึมคืออะไร$: $ลอการิทึมตอบคำถามว่าต้องยกกำลังฐานเท่าไรจึงได้ค่าที่ต้องการ y = log_a x ก็ต่อเมื่อ x = a^y เช่น log_4 64 = 3 เพราะ 4 ยกกำลัง 3 ได้ 64 ฟังก์ชันลอการิทึมจึงเป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล$
$ทำไมฐานต้องมากกว่า 0 และไม่เท่ากับ 1$: $ถ้าฐานเป็น 1 จะได้ 1^x = 1 เป็นฟังก์ชันคงตัว ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ส่วนฐานที่ติดลบทำให้บางค่าของ x หา a^x ที่เป็นจำนวนจริงไม่ได้$
$log ที่ไม่เขียนฐานกับ ln ต่างกันยังไง$: $log x ที่ไม่เขียนฐานคือลอการิทึมสามัญ ฐาน 10 ส่วน ln x คือลอการิทึมธรรมชาติ ฐาน e ซึ่งประมาณ 2.71828 และ ln x ประมาณ 2.3026 log x$
$อสมการลอการิทึมต้องกลับเครื่องหมายเมื่อไร$: $กลับเครื่องหมายเมื่อฐานอยู่ระหว่าง 0 กับ 1 เพราะเป็นฟังก์ชันลด ถ้าฐานมากกว่า 1 เครื่องหมายคงเดิม และต้องตรวจว่าค่าภายในลอการิทึมเป็นบวกทุกครั้ง$
$สมบัติ log ที่ใช้บ่อยมีอะไรบ้าง$: $log_a MN = log_a M + log_a N, log_a (M/N) = log_a M - log_a N, log_a M^k = k log_a M, log_a a = 1 และ log_a 1 = 0 เมื่อ a, M, N เป็นจำนวนจริงบวกและ a ไม่เท่ากับ 1$