สมบัติของเลขยกกำลัง ม.2 มีกี่ข้อ อะไรบ้าง

มี 5 ข้อ ได้แก่ คูณฐานเดียวกันให้บวกเลขชี้กำลัง หารฐานเดียวกันให้ลบเลขชี้กำลัง ฐานเป็นเลขยกกำลังให้คูณเลขชี้กำลัง ฐานอยู่ในรูปการคูณให้กระจายเลขชี้กำลังเข้าทุกตัว และฐานอยู่ในรูปการหารให้กระจายเข้าทั้งเศษและส่วน ทุกข้อใช้ได้เมื่อฐานไม่เท่ากับ 0 และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม

เลขยกกำลัง ม.2 ต่างจาก ม.1 อย่างไร

ม.1 ใช้สมบัติการคูณและการหารกับเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนเต็มบวก ส่วน ม.2 ขยายให้เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มใด ๆ ได้ ทั้งบวก ศูนย์ และลบ และเพิ่มสมบัติของเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นเลขยกกำลัง ฐานอยู่ในรูปการคูณ และฐานอยู่ในรูปการหาร

a ยกกำลัง 0 เท่ากับเท่าไร

a ยกกำลัง 0 เท่ากับ 1 เมื่อ a ไม่เท่ากับ 0 เป็นนิยามที่เรียนมาตั้งแต่ ม.1 เช่น 7 ยกกำลัง 0 เท่ากับ 1 ไม่ใช่ 0

เลขชี้กำลังติดลบคิดอย่างไร

a ยกกำลังลบ n เท่ากับ 1 หารด้วย a ยกกำลัง n เมื่อ a ไม่เท่ากับ 0 คือกลับเป็นเศษส่วนแล้วเลขชี้กำลังกลายเป็นบวก เช่น 2 ยกกำลังลบ 3 เท่ากับ 1/8 ไม่ใช่ลบ 8

(2 ยกกำลัง 3) ยกกำลัง 2 กับ 2 ยกกำลัง 3 คูณ 2 ยกกำลัง 2 ต่างกันอย่างไร

(2 ยกกำลัง 3) ยกกำลัง 2 เป็นเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นเลขยกกำลัง ให้คูณเลขชี้กำลัง ได้ 2 ยกกำลัง 6 เท่ากับ 64 ส่วน 2 ยกกำลัง 3 คูณ 2 ยกกำลัง 2 เป็นการคูณฐานเดียวกัน ให้บวกเลขชี้กำลัง ได้ 2 ยกกำลัง 5 เท่ากับ 32

ม.2 เทอม 1 · บทที่ 5 สมบัติของเลขยกกำลัง · อ่าน 5 นาที

สมบัติของเลขยกกำลัง ม.2

สรุปสมบัติของเลขยกกำลัง ม.2 ครบ 5 ข้อ คูณ หาร ยกกำลังซ้อน กระจายวงเล็บ เมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม ทบทวน a⁰ กับ a⁻ⁿ และสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ พร้อมโจทย์เฉลย

โดย คณิตคลิกเดียวเผยแพร่ 13 กันยายน 2569อัปเดต 28 กันยายน 2569

ทายก่อน: $2^{10} \times 2^{10}$ เท่ากับ $2$ ยกกำลังเท่าไร? ถ้าตอบ $2^{100}$ ต้องอ่านต่อครับ คำตอบคือ $2^{20}$ เพราะฐานเดียวกันคูณกันให้บวกเลขชี้กำลัง กฎชุดนี้แหละคือ สมบัติของเลขยกกำลัง ม.2

สมบัติของเลขยกกำลัง ม.2 คืออะไร

สมบัติของเลขยกกำลังคือกฎที่ใช้คูณ หาร และยกกำลังเลขยกกำลังให้เร็วขึ้น โดยไม่ต้องกระจายเป็นการคูณยาว ๆ ใน ม.2 มีทั้งหมด 5 ข้อ และที่ต่างจาก ม.1 คือเลขชี้กำลัง m และ n เป็น จำนวนเต็มใด ๆ ได้แล้ว (บวก ศูนย์ หรือลบ) ขอแค่ฐานไม่เป็น 0

22222

2^30123456789 × 2^20123456789 = 2^{3 + 2} = 2^50123456789 = 32

เลขชี้กำลังตัวแรก m = 3เลขชี้กำลังตัวที่สอง n = 2

ดูการคูณเลขยกกำลังแบบต่อกันเพิ่ม m กับ n แล้วนับจำนวน 2 ที่คูณกันจริง ๆ จะเห็นว่าเลขชี้กำลังรวมกันเป็น m + n เสมอ

ทบทวนนิยามที่เรียนมาแล้วตอน ม.1

ก่อนเข้าสมบัติ ต้องแม่นนิยามสามข้อนี้ก่อน เพราะทุกสมบัติสร้างมาจากตรงนี้

นิยาม	เงื่อนไข	ตัวอย่าง
$a^{n} = a \times a \times \dots \times a$ ( $n$ ตัว)	$n$ เป็นจำนวนเต็มบวก	$7^{4} = 7 \times 7 \times 7 \times 7 = 2401$
$a^{0} = 1$	$a \neq = 0$	$(1.4)^{0} = 1$
$a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$	$a \neq = 0$	$5^{- 3} = \frac{1}{5 ^{3}} = \frac{1}{125}$

ใน $a^{n}$ เรียก $a$ ว่า ฐาน และเรียก $n$ ว่า เลขชี้กำลัง เช่น $(- 0.2)^{3}$ มีฐานเป็น $-0.2$ และเลขชี้กำลังเป็น 3

สมบัติข้อ 1 และ 2: การคูณและการหารเลขยกกำลัง

สองข้อนี้เคยเรียนตอน ม.1 แบบเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก พอ ม.2 ใช้กับเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนเต็มได้ทุกจำนวน

1. การคูณเลขยกกำลังฐานเดียวกัน: บวกเลขชี้กำลัง

a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}

ทำไมถึงบวก: $a^{m}$ คือ $a$ คูณกัน $m$ ตัว และ $a^{n}$ คือ $a$ คูณกัน $n$ ตัว เอามาคูณกันก็ได้ $a$ ทั้งหมด $m + n$ ตัว

ตัวอย่าง: $2^{5} \times 2^{- 3} = 2^{5 + (- 3)} = 2^{2} = 4$

2. การหารเลขยกกำลังฐานเดียวกัน: ลบเลขชี้กำลัง

a^{m} \div a^{n} = a^{m - n} (a \neq = 0)

ทำไมถึงลบ: เขียนเป็นเศษส่วนแล้วตัด $a$ ที่ซ้ำกันบนกับล่างทิ้งไป $n$ ตัว เหลือ $a$ อยู่ $m - n$ ตัว

ตัวอย่าง: $3^{2} \div 3^{4} = 3^{2 - 4} = 3^{- 2} = \frac{1}{9}$ และ $5^{- 4} \div 5^{- 6} = 5^{- 4 - (- 6)} = 5^{2} = 25$

3╱3╱333

3╱3╱

3^50123456789 ÷ 3^20123456789 = 3^{5 − 2} = 3^30123456789 = 27

เลขชี้กำลังตัวแรก m = 5เลขชี้กำลังตัวที่สอง n = 2

ดูการหารเลขยกกำลังแบบตัดกันตัว 3 ที่ซ้ำกันบนกับล่างตัดทิ้งได้ n ตัว จึงเหลือ m − n ตัว

สมบัติข้อ 3 ถึง 5: สมบัติที่เพิ่มเข้ามาใน ม.2

3. เลขยกกำลังที่มีฐานเป็นเลขยกกำลัง: คูณเลขชี้กำลัง

(a^{m})^{n} = a^{mn} (a \neq = 0)

ทำไมถึงคูณ: $(5^{2})^{4}$ คือ $5^{2}$ คูณกัน 4 ก้อน แต่ละก้อนมี 5 อยู่ 2 ตัว รวมเป็น $2 \times 4 = 8$ ตัว จึงได้ $5^{8}$

ตัวอย่าง: $(3^{2})^{4} = 3^{8} = 6561$ และ $(1 1^{- 3})^{- 2} = 1 1^{6}$

ลองคิดก่อนเลื่อนลง: $(- 2)^{4}$ กับ $- 2^{4}$ เท่ากันไหม?

ไม่เท่ากันครับ $(- 2)^{4} = (- 2) (- 2) (- 2) (- 2) = 16$ แต่ $- 2^{4} = - (2 \times 2 \times 2 \times 2) = - 16$ เพราะถ้าไม่มีวงเล็บ ฐานมีแค่ $2$ เครื่องหมายลบอยู่นอกเลขยกกำลัง

4. เลขยกกำลังที่มีฐานอยู่ในรูปการคูณ: กระจายเข้าไปทุกตัว

(ab)^{n} = a^{n} b^{n} (a \neq = 0, b \neq = 0)

ทำไมถึงกระจายได้: $(5 \times 7)^{3}$ คือ $(5 \times 7)$ คูณกัน 3 รอบ จัดกลุ่มใหม่ได้ 5 สามตัวกับ 7 สามตัว จึงได้ $5^{3} \times 7^{3}$

ตัวอย่าง: $(2 \times 5)^{3} = 2^{3} \times 5^{3} = 8 \times 125 = 1000$

5. เลขยกกำลังที่มีฐานอยู่ในรูปการหาร: กระจายทั้งเศษและส่วน

(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}} (a \neq = 0, b \neq = 0)

ทำไมถึงกระจายได้: $(\frac{2}{7})^{4}$ คือ $\frac{2}{7}$ คูณกัน 4 ตัว เศษเป็น 2 คูณกัน 4 ตัว ส่วนเป็น 7 คูณกัน 4 ตัว

ตัวอย่าง: $(\frac{3}{4})^{2} = \frac{3 ^{2}}{4 ^{2}} = \frac{9}{16}$ และ $(\frac{3}{4})^{- 5} = \frac{3 ^{- 5}}{4 ^{- 5}} = \frac{4 ^{5}}{3 ^{5}}$

ตารางสรุปสมบัติของเลขยกกำลัง ม.2

ทุกข้อใช้ได้เมื่อ $a$ และ $b$ ไม่เท่ากับ 0 และ $m, n$ เป็นจำนวนเต็ม

ข้อ	สมบัติ	ตัวอย่าง
1	$a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$	$2^{5} \times 2^{- 3} = 2^{2}$
2	$a^{m} \div a^{n} = a^{m - n}$	$3^{2} \div 3^{4} = 3^{- 2}$
3	$(a^{m})^{n} = a^{mn}$	$(3^{2})^{4} = 3^{8}$
4	$(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$	$(2 \times 5)^{3} = 2^{3} \times 5^{3}$
5	$(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}$	$(\frac{3}{4})^{2} = \frac{9}{16}$

สัญกรณ์วิทยาศาสตร์

จำนวนที่มากหรือน้อยมาก ๆ นิยมเขียนในรูป $A \times 1 0^{n}$ เมื่อ $1 \leq A < 10$ และ $n$ เป็นจำนวนเต็ม เช่น

$12, 500, 000, 000, 000 = 1.25 \times 1 0^{13}$
$0.0000000037 = 3.7 \times 1 0^{- 9}$

เวลาคูณหรือหารจำนวนในรูปนี้ ให้จับ $A$ คูณหารกันเอง จับ $1 0^{n}$ ใช้สมบัติข้อ 1 กับข้อ 2 แล้วค่อยจัดให้ $A$ มีค่าตั้งแต่ 1 แต่น้อยกว่า 10

1250000000000 × 10^00123456789

1250000000000 ยังไม่น้อยกว่า 10 เลื่อนจุดไปทางซ้ายต่อ

ลองเลื่อนจุดทศนิยมเองเลื่อนจุดทศนิยมทีละตำแหน่ง นับว่าเลื่อนไปกี่ครั้ง ตัวนั้นคือเลขชี้กำลังของ 10

ตัวอย่าง: คูณแล้วต้องจัดรูปใหม่

(6 \times 1 0^{4}) \times (5 \times 1 0^{- 7}) = 30 \times 1 0^{- 3} = 3 \times 1 0^{1} \times 1 0^{- 3} = 3 \times 1 0^{- 2}

ตัวอย่าง: หาร

\frac{4.8 \times 1 0 ^{- 3}}{1.2 \times 1 0 ^{4}} = \frac{4.8}{1.2} \times 1 0^{- 3 - 4} = 4 \times 1 0^{- 7}

ตัวอย่างโจทย์สมบัติของเลขยกกำลัง ม.2

ตัวอย่างที่ 1: คูณฐานเดียวกัน

โจทย์: จงหาค่าของ $3^{4} \times 3^{2}$

แนวคิด: ฐานเดียวกันคูณกัน ให้บวกเลขชี้กำลัง

3^{4} \times 3^{2} = 3^{4 + 2} = 3^{6} = 729

ตัวอย่างที่ 2: ฐานเป็นเลขยกกำลังและฐานอยู่ในรูปการคูณ

โจทย์: จงหาค่าของ $(2^{2} \times 3)^{2}$

แนวคิด: กระจายเลขชี้กำลังนอกวงเล็บเข้าไปทุกตัวคูณก่อน แล้วค่อยคูณกัน

(2^{2} \times 3)^{2} = 2^{4} \times 3^{2} = 16 \times 9 = 144

ตัวอย่างที่ 3: หารแล้วได้เลขชี้กำลังเป็นลบ

โจทย์: จงหาค่าของ $5^{3} \div 5^{5}$

แนวคิด: ฐานเดียวกันหารกัน ให้ลบเลขชี้กำลัง แล้วใช้นิยาม $a^{- n}$ เปลี่ยนเป็นเศษส่วน

5^{3} \div 5^{5} = 5^{3 - 5} = 5^{- 2} = \frac{1}{25}

ตัวอย่างที่ 4: ใช้หลายสมบัติในข้อเดียว

โจทย์: จงหาค่าของ $(2^{- 2} \times 2^{5}) \div 2^{1}$

แนวคิด: ทำในวงเล็บก่อน (คูณฐานเดียวกัน บวกเลขชี้กำลัง) แล้วหารด้วยตัวนอกวงเล็บ (ลบเลขชี้กำลัง)

(2^{- 2} \times 2^{5}) \div 2^{1} = 2^{3} \div 2^{1} = 2^{2} = 4

ตัวอย่างที่ 5: มีตัวแปร

โจทย์: จงทำให้ $\frac{( a ^{2} b ^{- 1} ) ^{3}}{a b ^{- 2}}$ อยู่ในรูปอย่างง่าย เมื่อ $a \neq = 0$ และ $b \neq = 0$

แนวคิด: กระจายเลขชี้กำลังเข้าวงเล็บก่อน แล้วจับฐานเดียวกันมาหารกันทีละตัว

\frac{( a ^{2} b ^{- 1} ) ^{3}}{a b ^{- 2}} = \frac{a ^{6} b ^{- 3}}{a ^{1} b ^{- 2}} = a^{6 - 1} b^{- 3 - (- 2)} = a^{5} b^{- 1} = \frac{a ^{5}}{b}

ข้อควรระวังเวลาทำโจทย์เลขยกกำลัง

โจทย์ฝึกทำเอง

ลองทำก่อนแล้วค่อยเลื่อนลงไปดูเฉลย

$4^{3} \times 4^{2}$
$6^{8} \div 6^{5}$
$(2^{3})^{3}$
$3^{- 2} \times 3^{5}$
$(2^{- 1})^{- 3}$
เขียน $(3 \times 1 0^{5}) \times (4 \times 1 0^{- 2})$ ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์

เฉลย

$4^{3} \times 4^{2} = 4^{5} = 1024$
$6^{8} \div 6^{5} = 6^{3} = 216$
$(2^{3})^{3} = 2^{9} = 512$
$3^{- 2} \times 3^{5} = 3^{3} = 27$
$(2^{- 1})^{- 3} = 2^{3} = 8$
$12 \times 1 0^{3} = 1.2 \times 1 0^{4}$

เรียนบทนี้แล้วไปใช้ต่อที่ไหน

บทถัดไปของ ม.2 คือพหุนาม ซึ่งต้องใช้ $a^{m} \times a^{n}$ กับ $a^{m} \div a^{n}$ ตอนคูณและหารเอกนามแทบทุกข้อ ถ้าสมบัติ 5 ข้อนี้แม่น บทพหุนามจะง่ายขึ้นมาก

ลองคิดก่อนเลื่อนลง: เช็กตัวเองก่อนไปบทพหุนาม $(3^{2})^{3} \div 3^{4}$ เท่ากับเท่าไร?

ได้ $3^{6} \div 3^{4} = 3^{2} = 9$ ครับ ถ้าตอบถูกแปลว่าพร้อมไปพหุนามแล้ว

คำถามที่พบบ่อย

$สมบัติของเลขยกกำลัง ม.2 มีกี่ข้อ อะไรบ้าง$: $มี 5 ข้อ ได้แก่ คูณฐานเดียวกันให้บวกเลขชี้กำลัง หารฐานเดียวกันให้ลบเลขชี้กำลัง ฐานเป็นเลขยกกำลังให้คูณเลขชี้กำลัง ฐานอยู่ในรูปการคูณให้กระจายเลขชี้กำลังเข้าทุกตัว และฐานอยู่ในรูปการหารให้กระจายเข้าทั้งเศษและส่วน ทุกข้อใช้ได้เมื่อฐานไม่เท่ากับ 0 และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม$
$เลขยกกำลัง ม.2 ต่างจาก ม.1 อย่างไร$: $ม.1 ใช้สมบัติการคูณและการหารกับเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนเต็มบวก ส่วน ม.2 ขยายให้เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มใด ๆ ได้ ทั้งบวก ศูนย์ และลบ และเพิ่มสมบัติของเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นเลขยกกำลัง ฐานอยู่ในรูปการคูณ และฐานอยู่ในรูปการหาร$
$a ยกกำลัง 0 เท่ากับเท่าไร$: $a ยกกำลัง 0 เท่ากับ 1 เมื่อ a ไม่เท่ากับ 0 เป็นนิยามที่เรียนมาตั้งแต่ ม.1 เช่น 7 ยกกำลัง 0 เท่ากับ 1 ไม่ใช่ 0$
$เลขชี้กำลังติดลบคิดอย่างไร$: $a ยกกำลังลบ n เท่ากับ 1 หารด้วย a ยกกำลัง n เมื่อ a ไม่เท่ากับ 0 คือกลับเป็นเศษส่วนแล้วเลขชี้กำลังกลายเป็นบวก เช่น 2 ยกกำลังลบ 3 เท่ากับ 1/8 ไม่ใช่ลบ 8$
$(2 ยกกำลัง 3) ยกกำลัง 2 กับ 2 ยกกำลัง 3 คูณ 2 ยกกำลัง 2 ต่างกันอย่างไร$: $(2 ยกกำลัง 3) ยกกำลัง 2 เป็นเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นเลขยกกำลัง ให้คูณเลขชี้กำลัง ได้ 2 ยกกำลัง 6 เท่ากับ 64 ส่วน 2 ยกกำลัง 3 คูณ 2 ยกกำลัง 2 เป็นการคูณฐานเดียวกัน ให้บวกเลขชี้กำลัง ได้ 2 ยกกำลัง 5 เท่ากับ 32$

เรื่องนี้ใช้ต่อใน ม.ปลาย

ใช้ต่อในเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม ม.4 แคลคูลัส ม.6

Roadmap พื้นฐาน ม.ต้น 12 เรื่องก่อนขึ้น ม.4