สูตรผลบวกกำลังสามคืออะไร

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) เช่น x³ + 27 = (x + 3)(x² - 3x + 9)

สูตรผลต่างกำลังสามคืออะไร

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) เช่น 8y³ - 125 = (2y - 5)(4y² + 10y + 25)

x⁴ - 16 แยกตัวประกอบได้อะไร

มองเป็นผลต่างกำลังสองได้ (x² + 4)(x² - 4) แล้วแยก x² - 4 ต่อ ได้คำตอบ (x² + 4)(x + 2)(x - 2)

บทนี้เรียนตอนไหน

เรียนในคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.3 ภาคเรียนที่ 1 บทที่ 2 ต่อจากการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง ม.2 และใช้ต่อในสมการกำลังสองตัวแปรเดียว ม.3

ม.3 เทอม 1 · บทที่ 2 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสอง · อ่าน 2 นาที

สรุปการแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสูงกว่าสอง ม.3

สรุปการแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสูงกว่าสอง ม.3 สูตรผลบวกและผลต่างกำลังสาม เทคนิคจำเครื่องหมาย และวิธีแยกพหุนามดีกรีสี่ ดีกรีหก พร้อมตัวอย่าง

โดย OneClickMathเผยแพร่ 26 กันยายน 2569

การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสอง ใน ม.3 มีสูตรหลัก 2 ตัว คือ ผลบวกกำลังสาม $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ และ ผลต่างกำลังสาม $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ แล้วต่อด้วยพหุนามดีกรีสูงกว่าสามที่จัดรูปให้ใช้สูตรเดิมได้ บทนี้เรียนใน ม.3 เทอม 1

สวัสดีครับ นี่พี่ติว OCM

บทนี้ต่อจาก ม.2 ตรง ๆ ถ้าแยกตัวประกอบดีกรีสองยังไม่คล่อง กลับไปทวนก่อนนะครับ เพราะทุกข้อในบทนี้จบด้วยการแยกแบบ ม.2 อีกรอบ

สรุปบทนี้ใน 1 ตาราง

รูปแบบ	สูตร
ผลบวกกำลังสาม	$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$
ผลต่างกำลังสาม	$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$
ดีกรีสูงกว่าสาม	ดึงตัวร่วม จัดกลุ่ม หรือมองเป็นกำลังสอง/กำลังสามของพจน์

1ทบทวนเครื่องมือจาก ม.2

ดึงตัวร่วม: $ab + a c = a (b + c)$
ผลต่างกำลังสอง: $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$
กำลังสองสมบูรณ์: $a^{2} \pm 2 ab + b^{2} = (a \pm b)^{2}$
$a x^{2} + b x + c$ แยกเป็นสองวงเล็บ

2ผลบวกและผลต่างของกำลังสาม

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

เทคนิคจำเครื่องหมาย "สมตรงข้ามบวก"

สม: วงเล็บแรกเครื่องหมายเหมือนโจทย์
ตรงข้าม: พจน์กลาง $ab$ ในวงเล็บหลังเครื่องหมายตรงข้าม
บวก: พจน์สุดท้าย $b^{2}$ เป็นบวกเสมอ

8x³ − 125= (2x)³ − 5³= (2x − 5)(4x² + 10x + 25)

วงเล็บแรกเครื่องหมายเหมือนโจทย์ พจน์กลางของวงเล็บหลังเครื่องหมายตรงข้าม พจน์สุดท้ายเป็นบวกเสมอ

ตรวจด้วย x = 3: ข้างซ้าย 91 · ข้างขวา 1 × 91 = 91 ✓

สัมประสิทธิ์ m = 2ค่าคงตัว B = 5แทน x = 3

ผลบวกและผลต่างของกำลังสาม: เปลี่ยนตัวเลขแล้วดูผลแยกตัวประกอบสลับผลบวกกับผลต่าง แล้วสังเกตเครื่องหมายในวงเล็บทั้งสอง

วงเล็บหลัง $a^{2} \mp ab + b^{2}$ มักแยกต่อไม่ได้แล้ว (อย่าสับสนกับกำลังสองสมบูรณ์ที่พจน์กลางเป็น $2 ab$ )

กำลังสามที่ควรจำ

$1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000$

ตัวอย่าง

x^{3} + 27 = x^{3} + 3^{3} = (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)

8 y^{3} - 125 = (2 y)^{3} - 5^{3} = (2 y - 5) (4 y^{2} + 10 y + 25)

64 - a^{3} = (4 - a) (16 + 4 a + a^{2})

ดึงตัวร่วมก่อน

2 x^{4} - 54 x = 2 x (x^{3} - 27) = 2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)

พจน์ที่เป็นพหุนาม

(x + 1)^{3} - 8 = [(x + 1) - 2] [(x + 1)^{2} + 2 (x + 1) + 4]

= (x - 1) (x^{2} + 4 x + 7)

3การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสาม

หลักการคือ จัดรูปให้กลายเป็นแบบที่รู้จัก

มองเป็นผลต่างกำลังสอง

x^{4} - 16 = (x^{2})^{2} - 4^{2} = (x^{2} + 4) (x^{2} - 4) = (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)

ต้องแยกจนแยกต่อไม่ได้ $x^{2} - 4$ ยังแยกได้ ส่วน $x^{2} + 4$ แยกต่อไม่ได้

มองเป็นพหุนามดีกรีสองของ $x^{2}$

x^{4} - 5 x^{2} + 4 = (x^{2} - 1) (x^{2} - 4) = (x + 1) (x - 1) (x + 2) (x - 2)

วิธีคิด: ให้ $A = x^{2}$ ได้ $A^{2} - 5 A + 4 = (A - 1) (A - 4)$ แล้วแทน $A$ กลับ

มองเป็นผลต่างกำลังสาม

x^{6} - 1 = (x^{3})^{2} - 1^{2} = (x^{3} + 1) (x^{3} - 1)

= (x + 1) (x^{2} - x + 1) (x - 1) (x^{2} + x + 1)

เริ่มจากผลต่างกำลังสองก่อน จะแยกได้ครบง่ายกว่า ถ้าเริ่มจากกำลังสาม จะเจอ $x^{4} + x^{2} + 1$ ซึ่งต้องใช้เทคนิคด้านล่าง

เติมพจน์ให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์

บางข้อต้องบวกแล้วลบพจน์เดียวกัน เพื่อให้เกิดกำลังสองสมบูรณ์ แล้วใช้ผลต่างกำลังสอง

x^{4} + x^{2} + 1 = (x^{4} + 2 x^{2} + 1) - x^{2}

= (x^{2} + 1)^{2} - x^{2} = (x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1)

จัดกลุ่ม

x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18 = x^{2} (x + 2) - 9 (x + 2)

= (x + 2) (x^{2} - 9) = (x + 2) (x + 3) (x - 3)

x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12 = x^{2} (x - 3) - 4 (x - 3) = (x - 3) (x + 2) (x - 2)

4ขั้นตอนแยกตัวประกอบที่ใช้ได้ทุกข้อ

ดึงตัวร่วมที่ทุกพจน์มีก่อน
นับจำนวนพจน์ แล้วเลือกวิธีตามตารางด้านล่าง
ตรวจทุกวงเล็บว่ายังแยกต่อได้ไหม
ตรวจคำตอบโดยคูณกลับ

จำนวนพจน์	วิธีที่ลองก่อน
2 พจน์	ผลต่างกำลังสอง หรือผลบวก/ผลต่างกำลังสาม
3 พจน์	กำลังสองสมบูรณ์ หรือแยกแบบ $a x^{2} + b x + c$ (อาจมองตัวแปรเป็น $x^{2}$ )
4 พจน์ขึ้นไป	จัดกลุ่ม

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

เขียน $a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3}$ ซึ่งผิด
ใส่พจน์กลางในวงเล็บหลังเป็น $2 ab$
แยก $x^{4} - 16$ แล้วหยุดที่ $(x^{2} + 4) (x^{2} - 4)$ ทั้งที่ยังแยกต่อได้
พยายามแยก $x^{2} + 4$ หรือ $x^{2} + x + 1$ ต่อ ทั้งที่แยกต่อไม่ได้แล้ว

คำถามที่พบบ่อย

$สูตรผลบวกกำลังสามคืออะไร$: $a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) เช่น x³ + 27 = (x + 3)(x² - 3x + 9)$
$สูตรผลต่างกำลังสามคืออะไร$: $a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) เช่น 8y³ - 125 = (2y - 5)(4y² + 10y + 25)$
$จำเครื่องหมายสูตรกำลังสามยังไง$: $ใช้หลัก สมตรงข้ามบวก คือวงเล็บแรกเครื่องหมายเหมือนโจทย์ พจน์กลางของวงเล็บหลังเครื่องหมายตรงข้าม และพจน์สุดท้ายเป็นบวกเสมอ$
$x⁴ - 16 แยกตัวประกอบได้อะไร$: $มองเป็นผลต่างกำลังสองได้ (x² + 4)(x² - 4) แล้วแยก x² - 4 ต่อ ได้คำตอบ (x² + 4)(x + 2)(x - 2)$
$บทนี้เรียนตอนไหน$: $เรียนในคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.3 ภาคเรียนที่ 1 บทที่ 2 ต่อจากการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง ม.2 และใช้ต่อในสมการกำลังสองตัวแปรเดียว ม.3$

สรุปการแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสูงกว่าสอง ม.3

โดย OneClickMathเผยแพร่ 26 กันยายน 2569

สวัสดีครับ นี่พี่ติว OCM

สรุปบทนี้ใน 1 ตาราง

รูปแบบ	สูตร
ผลบวกกำลังสาม	$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$
ผลต่างกำลังสาม	$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$
ดีกรีสูงกว่าสาม	ดึงตัวร่วม จัดกลุ่ม หรือมองเป็นกำลังสอง/กำลังสามของพจน์

1ทบทวนเครื่องมือจาก ม.2

ดึงตัวร่วม: $ab + a c = a (b + c)$
ผลต่างกำลังสอง: $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$
กำลังสองสมบูรณ์: $a^{2} \pm 2 ab + b^{2} = (a \pm b)^{2}$
$a x^{2} + b x + c$ แยกเป็นสองวงเล็บ

2ผลบวกและผลต่างของกำลังสาม

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

เทคนิคจำเครื่องหมาย "สมตรงข้ามบวก"

สม: วงเล็บแรกเครื่องหมายเหมือนโจทย์
ตรงข้าม: พจน์กลาง $ab$ ในวงเล็บหลังเครื่องหมายตรงข้าม
บวก: พจน์สุดท้าย $b^{2}$ เป็นบวกเสมอ

8x³ − 125= (2x)³ − 5³= (2x − 5)(4x² + 10x + 25)

ตรวจด้วย x = 3: ข้างซ้าย 91 · ข้างขวา 1 × 91 = 91 ✓

สัมประสิทธิ์ m = 2ค่าคงตัว B = 5แทน x = 3

กำลังสามที่ควรจำ

$1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000$

ตัวอย่าง

x^{3} + 27 = x^{3} + 3^{3} = (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)

8 y^{3} - 125 = (2 y)^{3} - 5^{3} = (2 y - 5) (4 y^{2} + 10 y + 25)

64 - a^{3} = (4 - a) (16 + 4 a + a^{2})

ดึงตัวร่วมก่อน

2 x^{4} - 54 x = 2 x (x^{3} - 27) = 2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)

พจน์ที่เป็นพหุนาม

(x + 1)^{3} - 8 = [(x + 1) - 2] [(x + 1)^{2} + 2 (x + 1) + 4]

= (x - 1) (x^{2} + 4 x + 7)

3การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสาม

หลักการคือ จัดรูปให้กลายเป็นแบบที่รู้จัก

มองเป็นผลต่างกำลังสอง

x^{4} - 16 = (x^{2})^{2} - 4^{2} = (x^{2} + 4) (x^{2} - 4) = (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)

ต้องแยกจนแยกต่อไม่ได้ $x^{2} - 4$ ยังแยกได้ ส่วน $x^{2} + 4$ แยกต่อไม่ได้

มองเป็นพหุนามดีกรีสองของ $x^{2}$

x^{4} - 5 x^{2} + 4 = (x^{2} - 1) (x^{2} - 4) = (x + 1) (x - 1) (x + 2) (x - 2)

วิธีคิด: ให้ $A = x^{2}$ ได้ $A^{2} - 5 A + 4 = (A - 1) (A - 4)$ แล้วแทน $A$ กลับ

มองเป็นผลต่างกำลังสาม

x^{6} - 1 = (x^{3})^{2} - 1^{2} = (x^{3} + 1) (x^{3} - 1)

= (x + 1) (x^{2} - x + 1) (x - 1) (x^{2} + x + 1)

เติมพจน์ให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์

x^{4} + x^{2} + 1 = (x^{4} + 2 x^{2} + 1) - x^{2}

= (x^{2} + 1)^{2} - x^{2} = (x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1)

จัดกลุ่ม

x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18 = x^{2} (x + 2) - 9 (x + 2)

= (x + 2) (x^{2} - 9) = (x + 2) (x + 3) (x - 3)

x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12 = x^{2} (x - 3) - 4 (x - 3) = (x - 3) (x + 2) (x - 2)

4ขั้นตอนแยกตัวประกอบที่ใช้ได้ทุกข้อ

ดึงตัวร่วมที่ทุกพจน์มีก่อน
นับจำนวนพจน์ แล้วเลือกวิธีตามตารางด้านล่าง
ตรวจทุกวงเล็บว่ายังแยกต่อได้ไหม
ตรวจคำตอบโดยคูณกลับ

จำนวนพจน์	วิธีที่ลองก่อน
2 พจน์	ผลต่างกำลังสอง หรือผลบวก/ผลต่างกำลังสาม
3 พจน์	กำลังสองสมบูรณ์ หรือแยกแบบ $a x^{2} + b x + c$ (อาจมองตัวแปรเป็น $x^{2}$ )
4 พจน์ขึ้นไป	จัดกลุ่ม

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

เขียน $a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3}$ ซึ่งผิด
ใส่พจน์กลางในวงเล็บหลังเป็น $2 ab$
แยก $x^{4} - 16$ แล้วหยุดที่ $(x^{2} + 4) (x^{2} - 4)$ ทั้งที่ยังแยกต่อได้
พยายามแยก $x^{2} + 4$ หรือ $x^{2} + x + 1$ ต่อ ทั้งที่แยกต่อไม่ได้แล้ว

คำถามที่พบบ่อย

$สูตรผลบวกกำลังสามคืออะไร$: $a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) เช่น x³ + 27 = (x + 3)(x² - 3x + 9)$
$สูตรผลต่างกำลังสามคืออะไร$: $a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) เช่น 8y³ - 125 = (2y - 5)(4y² + 10y + 25)$
$จำเครื่องหมายสูตรกำลังสามยังไง$: $ใช้หลัก สมตรงข้ามบวก คือวงเล็บแรกเครื่องหมายเหมือนโจทย์ พจน์กลางของวงเล็บหลังเครื่องหมายตรงข้าม และพจน์สุดท้ายเป็นบวกเสมอ$
$x⁴ - 16 แยกตัวประกอบได้อะไร$: $มองเป็นผลต่างกำลังสองได้ (x² + 4)(x² - 4) แล้วแยก x² - 4 ต่อ ได้คำตอบ (x² + 4)(x + 2)(x - 2)$
$บทนี้เรียนตอนไหน$: $เรียนในคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.3 ภาคเรียนที่ 1 บทที่ 2 ต่อจากการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง ม.2 และใช้ต่อในสมการกำลังสองตัวแปรเดียว ม.3$

สรุปบทนี้ใน 1 ตาราง

1ทบทวนเครื่องมือจาก ม.2

2ผลบวกและผลต่างของกำลังสาม

เทคนิคจำเครื่องหมาย "สมตรงข้ามบวก"

กำลังสามที่ควรจำ

ตัวอย่าง

ดึงตัวร่วมก่อน

พจน์ที่เป็นพหุนาม

3การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสาม

มองเป็นผลต่างกำลังสอง

มองเป็นพหุนามดีกรีสองของ x2

มองเป็นผลต่างกำลังสาม

เติมพจน์ให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์

จัดกลุ่ม

4ขั้นตอนแยกตัวประกอบที่ใช้ได้ทุกข้อ

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

คำถามที่พบบ่อย

สรุปบทนี้ใน 1 ตาราง

1ทบทวนเครื่องมือจาก ม.2

2ผลบวกและผลต่างของกำลังสาม

เทคนิคจำเครื่องหมาย "สมตรงข้ามบวก"

กำลังสามที่ควรจำ

ตัวอย่าง

ดึงตัวร่วมก่อน

พจน์ที่เป็นพหุนาม

3การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสาม

มองเป็นผลต่างกำลังสอง

มองเป็นพหุนามดีกรีสองของ x2

มองเป็นผลต่างกำลังสาม

เติมพจน์ให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์

จัดกลุ่ม

4ขั้นตอนแยกตัวประกอบที่ใช้ได้ทุกข้อ

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

คำถามที่พบบ่อย

มองเป็นพหุนามดีกรีสองของ $x^{2}$

มองเป็นพหุนามดีกรีสองของ $x^{2}$