การแยกตัวประกอบของพหุนามคืออะไร

คือการเขียนพหุนามให้อยู่ในรูปการคูณของตัวประกอบตั้งแต่สองพหุนามขึ้นไป โดยแต่ละตัวประกอบหารพหุนามนั้นได้ลงตัว เช่น x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) เป็นการทำย้อนกลับของการคูณพหุนาม

แยกตัวประกอบ x² + bx + c อย่างไร

หาจำนวนสองจำนวนที่คูณกันได้ c และบวกกันได้ b แล้วเขียนเป็น (x + m)(x + n) เช่น x² - 2x - 15 ใช้ 3 กับ -5 ได้ (x + 3)(x - 5)

ดูอย่างไรว่าเป็นกำลังสองสมบูรณ์

พจน์หน้าและพจน์หลังต้องเป็นกำลังสอง และพจน์กลางต้องเท่ากับ 2 คูณรากที่สองของพจน์หน้าคูณรากที่สองของพจน์หลัง เช่น x² + 6x + 9 = (x + 3)²

x² + 9 แยกตัวประกอบได้ไหม

แยกเป็นผลคูณของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มไม่ได้ เพราะเป็นผลบวกของกำลังสอง สูตร a² - b² = (a + b)(a - b) ใช้กับผลต่างเท่านั้น

ทำไมต้องดึงตัวร่วมก่อน

เพราะช่วยให้พหุนามที่เหลือเล็กลงและเข้ารูปแบบที่รู้จัก และทำให้แยกตัวประกอบได้สมบูรณ์ เช่น 2x² - 18 = 2(x² - 9) = 2(x + 3)(x - 3)

ม.2 เทอม 2 · บทที่ 5 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง · อ่าน 3 นาที

สรุปการแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสอง ม.2

สรุปการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง ม.2 ใช้สมบัติการแจกแจง แยก ax² + bx + c กำลังสองสมบูรณ์ และผลต่างของกำลังสอง พร้อมตัวอย่างและจุดที่พลาดบ่อย

โดย OneClickMathเผยแพร่ 26 กันยายน 2569

การแยกตัวประกอบของพหุนาม คือการเขียนพหุนามให้อยู่ในรูปการคูณของตัวประกอบตั้งแต่สองพหุนามขึ้นไป โดยแต่ละตัวประกอบหารพหุนามที่กำหนดได้ลงตัว เช่น $x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3)$ บทนี้เรียนใน ม.2 เทอม 2 มี 4 วิธี คือ ใช้สมบัติการแจกแจง แยก $a x^{2} + b x + c$ กำลังสองสมบูรณ์ และผลต่างของกำลังสอง ใช้ต่อทันทีในบทสมการกำลังสอง ม.3

สวัสดีครับ นี่พี่ติว OCM

บทนี้คือเครื่องมือที่ใช้ยาวไปถึง ม.6 ฝึกให้มือไวตั้งแต่ตอนนี้ จะช่วยทุ่นเวลาในข้อสอบได้เยอะมากครับ

สรุปบทนี้ใน 1 ตาราง

รูปแบบ	สูตร
ดึงตัวร่วม (สมบัติการแจกแจง)	$ab + a c = a (b + c)$
ดีกรีสองตัวแปรเดียว	$x^{2} + b x + c = (x + m) (x + n)$ เมื่อ $mn = c$ และ $m + n = b$
กำลังสองสมบูรณ์	$a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}$ และ $a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}$
ผลต่างของกำลังสอง	$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

ลำดับที่ควรลองทุกครั้ง: ดึงตัวร่วมก่อน แล้วค่อยดูว่าเข้ารูปแบบไหน

1แยกตัวประกอบโดยใช้สมบัติการแจกแจง

หาตัวร่วมของทุกพจน์ แล้วดึงออกมา

6 x^{2} + 9 x = 3 x (2 x + 3)

4 x (x - 1) + 5 (x - 1) = (x - 1) (4 x + 5)

ตัวร่วมไม่จำเป็นต้องเป็นพจน์เดียว เป็นวงเล็บทั้งก้อนก็ได้

ในบทนี้พหุนามมีสัมประสิทธิ์และค่าคงตัวเป็นจำนวนเต็ม ให้ดึง ห.ร.ม. ของสัมประสิทธิ์ออกมาด้วย แล้วแยกต่อจนแยกไม่ได้อีก จึงเรียกว่า แยกตัวประกอบได้สมบูรณ์ เช่น $4 x^{2} - 28 x + 40 = 4 (x^{2} - 7 x + 10) = 4 (x - 5) (x - 2)$

2แยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว

กรณี $x^{2} + b x + c$

หาจำนวนสองจำนวน $m$ และ $n$ ที่ คูณกันได้ $c$ และบวกกันได้ $b$

ตัวอย่าง: $x^{2} + 5 x + 6$

คูณกันได้ 6 บวกกันได้ 5 คือ 2 กับ 3
ดังนั้น $x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3)$

ตัวอย่าง: $x^{2} - 2 x - 15$

คูณกันได้ $- 15$ บวกกันได้ $- 2$ คือ $3$ กับ $- 5$
ดังนั้น $x^{2} - 2 x - 15 = (x + 3) (x - 5)$

x² + x − 12 = (x − 3)(x + 4)

คู่ที่คูณกันได้ −12 และผลบวกของแต่ละคู่

−12·1 → −11

−6·2 → −4

−4·3 → −1

−3·4 → 1

−2·6 → 4

−1·12 → 11

b = 1c = −12

หาจำนวนสองจำนวนที่คูณกันได้ c และบวกกันได้ bเลื่อน b กับ c แล้วดูตารางคู่ตัวประกอบ ลองหาค่าที่ไม่มีคู่ไหนใช้ได้เลย

กรณี $a x^{2} + b x + c$ เมื่อ $a \neq = 1$

ลองจับคู่ตัวประกอบของ $a$ และ $c$ แล้วตรวจพจน์กลาง

ตัวอย่าง: $2 x^{2} + 7 x + 3$

ลอง $(2 x + 1) (x + 3)$
พจน์กลาง: $2 x \cdot 3 + 1 \cdot x = 6 x + x = 7 x$ ตรง
ดังนั้น $2 x^{2} + 7 x + 3 = (2 x + 1) (x + 3)$

ตรวจคำตอบทุกครั้งด้วยการคูณกลับ

พหุนามที่แยกไม่ได้

บางพหุนามแยกเป็นผลคูณของพหุนามดีกรีหนึ่งที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มไม่ได้ เช่น $x^{2} + x + 1$ เพราะไม่มีจำนวนเต็มคู่ไหนคูณกันได้ 1 และบวกกันได้ 1

3กำลังสองสมบูรณ์

a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}

a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}

วิธีจับ: พจน์หน้าและพจน์หลังเป็นกำลังสอง และพจน์กลางเท่ากับ $2 \times$ (รากของพจน์หน้า) $\times$ (รากของพจน์หลัง)

ตัวอย่าง: $x^{2} + 6 x + 9$ มี $x^{2}$ และ $9 = 3^{2}$ พจน์กลาง $2 \cdot x \cdot 3 = 6 x$ ตรง ดังนั้นเท่ากับ $(x + 3)^{2}$

ตัวอย่าง: $4 x^{2} - 20 x + 25 = (2 x)^{2} - 2 (2 x) (5) + 5^{2} = (2 x - 5)^{2}$

4ผลต่างของกำลังสอง

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

ตัวอย่าง:

$x^{2} - 49 = (x + 7) (x - 7)$
$9 x^{2} - 16 = (3 x + 4) (3 x - 4)$
$2 x^{2} - 18 = 2 (x^{2} - 9) = 2 (x + 3) (x - 3)$ ดึงตัวร่วมก่อน

$a$ กับ $b$ ในสูตรจะเป็นพหุนามทั้งก้อนก็ได้ เช่น

(x + 1)^{2} - 16 = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4) = (x + 5) (x - 3)

ใช้คิดเลขในใจได้ด้วย เช่น $5 1^{2} - 4 9^{2} = (51 + 49) (51 - 49) = 100 \times 2 = 200$

ระวัง: $a^{2} + b^{2}$ ไม่ใช่ผลต่างของกำลังสอง แยกแบบนี้ไม่ได้

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

ไม่ดึงตัวร่วมก่อน แล้วแยกไม่ออก หรือแยกไม่สุด
เครื่องหมายผิด เช่น หาจำนวนที่คูณกันได้ $- 15$ แต่เลือก $- 3$ กับ $5$ ทำให้พจน์กลางเป็น $+ 2 x$
แยก $x^{2} + 9$ เป็น $(x + 3) (x - 3)$ ซึ่งผิด
ไม่ตรวจคำตอบด้วยการคูณกลับ

คำถามที่พบบ่อย

$การแยกตัวประกอบของพหุนามคืออะไร$: $คือการเขียนพหุนามให้อยู่ในรูปการคูณของตัวประกอบตั้งแต่สองพหุนามขึ้นไป โดยแต่ละตัวประกอบหารพหุนามนั้นได้ลงตัว เช่น x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) เป็นการทำย้อนกลับของการคูณพหุนาม$
$แยกตัวประกอบ x² + bx + c อย่างไร$: $หาจำนวนสองจำนวนที่คูณกันได้ c และบวกกันได้ b แล้วเขียนเป็น (x + m)(x + n) เช่น x² - 2x - 15 ใช้ 3 กับ -5 ได้ (x + 3)(x - 5)$
$ดูอย่างไรว่าเป็นกำลังสองสมบูรณ์$: $พจน์หน้าและพจน์หลังต้องเป็นกำลังสอง และพจน์กลางต้องเท่ากับ 2 คูณรากที่สองของพจน์หน้าคูณรากที่สองของพจน์หลัง เช่น x² + 6x + 9 = (x + 3)²$
$x² + 9 แยกตัวประกอบได้ไหม$: $แยกเป็นผลคูณของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มไม่ได้ เพราะเป็นผลบวกของกำลังสอง สูตร a² - b² = (a + b)(a - b) ใช้กับผลต่างเท่านั้น$
$ทำไมต้องดึงตัวร่วมก่อน$: $เพราะช่วยให้พหุนามที่เหลือเล็กลงและเข้ารูปแบบที่รู้จัก และทำให้แยกตัวประกอบได้สมบูรณ์ เช่น 2x² - 18 = 2(x² - 9) = 2(x + 3)(x - 3)$

ม.2 เทอม 2 · บทที่ 5 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง · อ่าน 3 นาที

สรุปการแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสอง ม.2

โดย OneClickMathเผยแพร่ 26 กันยายน 2569

สวัสดีครับ นี่พี่ติว OCM

สรุปบทนี้ใน 1 ตาราง

รูปแบบ	สูตร
ดึงตัวร่วม (สมบัติการแจกแจง)	$ab + a c = a (b + c)$
ดีกรีสองตัวแปรเดียว	$x^{2} + b x + c = (x + m) (x + n)$ เมื่อ $mn = c$ และ $m + n = b$
กำลังสองสมบูรณ์	$a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}$ และ $a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}$
ผลต่างของกำลังสอง	$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

ลำดับที่ควรลองทุกครั้ง: ดึงตัวร่วมก่อน แล้วค่อยดูว่าเข้ารูปแบบไหน

1แยกตัวประกอบโดยใช้สมบัติการแจกแจง

หาตัวร่วมของทุกพจน์ แล้วดึงออกมา

6 x^{2} + 9 x = 3 x (2 x + 3)

4 x (x - 1) + 5 (x - 1) = (x - 1) (4 x + 5)

ตัวร่วมไม่จำเป็นต้องเป็นพจน์เดียว เป็นวงเล็บทั้งก้อนก็ได้

2แยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว

กรณี $x^{2} + b x + c$

หาจำนวนสองจำนวน $m$ และ $n$ ที่ คูณกันได้ $c$ และบวกกันได้ $b$

ตัวอย่าง: $x^{2} + 5 x + 6$

คูณกันได้ 6 บวกกันได้ 5 คือ 2 กับ 3
ดังนั้น $x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3)$

ตัวอย่าง: $x^{2} - 2 x - 15$

คูณกันได้ $- 15$ บวกกันได้ $- 2$ คือ $3$ กับ $- 5$
ดังนั้น $x^{2} - 2 x - 15 = (x + 3) (x - 5)$

x² + x − 12 = (x − 3)(x + 4)

คู่ที่คูณกันได้ −12 และผลบวกของแต่ละคู่

−12·1 → −11

−6·2 → −4

−4·3 → −1

−3·4 → 1

−2·6 → 4

−1·12 → 11

b = 1c = −12

กรณี $a x^{2} + b x + c$ เมื่อ $a \neq = 1$

ลองจับคู่ตัวประกอบของ $a$ และ $c$ แล้วตรวจพจน์กลาง

ตัวอย่าง: $2 x^{2} + 7 x + 3$

ลอง $(2 x + 1) (x + 3)$
พจน์กลาง: $2 x \cdot 3 + 1 \cdot x = 6 x + x = 7 x$ ตรง
ดังนั้น $2 x^{2} + 7 x + 3 = (2 x + 1) (x + 3)$

ตรวจคำตอบทุกครั้งด้วยการคูณกลับ

พหุนามที่แยกไม่ได้

3กำลังสองสมบูรณ์

a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}

a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}

ตัวอย่าง: $x^{2} + 6 x + 9$ มี $x^{2}$ และ $9 = 3^{2}$ พจน์กลาง $2 \cdot x \cdot 3 = 6 x$ ตรง ดังนั้นเท่ากับ $(x + 3)^{2}$

ตัวอย่าง: $4 x^{2} - 20 x + 25 = (2 x)^{2} - 2 (2 x) (5) + 5^{2} = (2 x - 5)^{2}$

4ผลต่างของกำลังสอง

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

ตัวอย่าง:

$x^{2} - 49 = (x + 7) (x - 7)$
$9 x^{2} - 16 = (3 x + 4) (3 x - 4)$
$2 x^{2} - 18 = 2 (x^{2} - 9) = 2 (x + 3) (x - 3)$ ดึงตัวร่วมก่อน

$a$ กับ $b$ ในสูตรจะเป็นพหุนามทั้งก้อนก็ได้ เช่น

(x + 1)^{2} - 16 = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4) = (x + 5) (x - 3)

ใช้คิดเลขในใจได้ด้วย เช่น $5 1^{2} - 4 9^{2} = (51 + 49) (51 - 49) = 100 \times 2 = 200$

ระวัง: $a^{2} + b^{2}$ ไม่ใช่ผลต่างของกำลังสอง แยกแบบนี้ไม่ได้

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

ไม่ดึงตัวร่วมก่อน แล้วแยกไม่ออก หรือแยกไม่สุด
เครื่องหมายผิด เช่น หาจำนวนที่คูณกันได้ $- 15$ แต่เลือก $- 3$ กับ $5$ ทำให้พจน์กลางเป็น $+ 2 x$
แยก $x^{2} + 9$ เป็น $(x + 3) (x - 3)$ ซึ่งผิด
ไม่ตรวจคำตอบด้วยการคูณกลับ

คำถามที่พบบ่อย

$การแยกตัวประกอบของพหุนามคืออะไร$: $คือการเขียนพหุนามให้อยู่ในรูปการคูณของตัวประกอบตั้งแต่สองพหุนามขึ้นไป โดยแต่ละตัวประกอบหารพหุนามนั้นได้ลงตัว เช่น x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) เป็นการทำย้อนกลับของการคูณพหุนาม$
$แยกตัวประกอบ x² + bx + c อย่างไร$: $หาจำนวนสองจำนวนที่คูณกันได้ c และบวกกันได้ b แล้วเขียนเป็น (x + m)(x + n) เช่น x² - 2x - 15 ใช้ 3 กับ -5 ได้ (x + 3)(x - 5)$
$ดูอย่างไรว่าเป็นกำลังสองสมบูรณ์$: $พจน์หน้าและพจน์หลังต้องเป็นกำลังสอง และพจน์กลางต้องเท่ากับ 2 คูณรากที่สองของพจน์หน้าคูณรากที่สองของพจน์หลัง เช่น x² + 6x + 9 = (x + 3)²$
$x² + 9 แยกตัวประกอบได้ไหม$: $แยกเป็นผลคูณของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มไม่ได้ เพราะเป็นผลบวกของกำลังสอง สูตร a² - b² = (a + b)(a - b) ใช้กับผลต่างเท่านั้น$
$ทำไมต้องดึงตัวร่วมก่อน$: $เพราะช่วยให้พหุนามที่เหลือเล็กลงและเข้ารูปแบบที่รู้จัก และทำให้แยกตัวประกอบได้สมบูรณ์ เช่น 2x² - 18 = 2(x² - 9) = 2(x + 3)(x - 3)$

สรุปบทนี้ใน 1 ตาราง

1แยกตัวประกอบโดยใช้สมบัติการแจกแจง

2แยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว

กรณี x2+bx+c

กรณี ax2+bx+c เมื่อ a=1

พหุนามที่แยกไม่ได้

3กำลังสองสมบูรณ์

4ผลต่างของกำลังสอง

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

คำถามที่พบบ่อย

สรุปบทนี้ใน 1 ตาราง

1แยกตัวประกอบโดยใช้สมบัติการแจกแจง

2แยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว

กรณี x2+bx+c

กรณี ax2+bx+c เมื่อ a=1

พหุนามที่แยกไม่ได้

3กำลังสองสมบูรณ์

4ผลต่างของกำลังสอง

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

คำถามที่พบบ่อย

กรณี $x^{2} + b x + c$

กรณี $a x^{2} + b x + c$ เมื่อ $a \neq = 1$

กรณี $x^{2} + b x + c$

กรณี $a x^{2} + b x + c$ เมื่อ $a \neq = 1$