ตรรกศาสตร์ ม.4

ประพจน์ คือประโยคหรือข้อความที่เป็นจริงหรือเท็จอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น ตรรกศาสตร์ ม.4 คณิตเพิ่มเติม เทอม 1 ใช้ประพจน์เป็นตัวตั้ง แล้วต่อยอดเป็นการเชื่อมประพจน์ ตารางค่าความจริง รูปแบบที่สมมูลกัน สัจนิรันดร์ การอ้างเหตุผล ประโยคเปิด และตัวบ่งปริมาณ

สวัสดีครับ นี่พี่ติว OCM บทนี้คือภาษาสำหรับตัดสินว่าข้อความไหนจริง ข้อความไหนเท็จ อย่างมีกติกา จำตารางของตัวเชื่อมทั้ง 5 ให้แม่น ที่เหลือคือเอาไปใช้ครับ

1ประพจน์

ประพจน์จะอยู่ในรูปบอกเล่าหรือปฏิเสธก็ได้ ขอแค่ตัดสินได้ว่าจริงหรือเท็จ การเป็นจริงหรือเท็จเรียกว่า ค่าความจริง แทนจริงด้วย $T$ และเท็จด้วย $F$

ประโยคคำถาม คำสั่ง ขอร้อง อุทาน หรือความรู้สึก ไม่เป็นประพจน์ เพราะบอกไม่ได้ว่าจริงหรือเท็จ

2การเชื่อมประพจน์

คำว่า "และ" "หรือ" "ถ้า...แล้ว..." "ก็ต่อเมื่อ" และ "ไม่" เรียกว่า ตัวเชื่อม ประพจน์ที่นำมาเชื่อมกันเรียกว่า ประพจน์ย่อย ส่วนประพจน์ที่ได้จากการเชื่อมเรียกว่า ประพจน์เชิงประกอบ นิยมใช้ $p,q,r,s$ แทนประพจน์

ประพจน์สองตัวมีกรณีค่าความจริงที่เป็นไปได้ 4 กรณี คือ $TT,TF,FT,FF$

• และ ($p\wedge q$) จริงกรณีเดียว คือจริงทั้งคู่ เช่น "ขอปากกาและดินสอ" ต้องได้ครบทั้งสองอย่าง

• หรือ ($p\vee q$) เท็จกรณีเดียว คือเท็จทั้งคู่ ในตรรกศาสตร์ "หรือ" หมายถึงอย่างใดอย่างหนึ่งหรือทั้งสองอย่าง

• ถ้า...แล้ว... ($p\to q$) เรียก $p$ ว่า เหตุ และ $q$ ว่า ผล เท็จกรณีเดียว คือเหตุจริงแต่ผลเท็จ

• ก็ต่อเมื่อ ($p\leftrightarrow q$) จริงเมื่อ $p$ กับ $q$ มีค่าความจริงเหมือนกัน

ภาพจำของ $p\to q$: แม่สัญญาว่า "ถ้าสอบได้ A แล้วจะพาไปเที่ยว" แม่ผิดสัญญากรณีเดียว คือได้ A แต่ไม่ได้ไปเที่ยว ถ้าไม่ได้ A แม่จะพาไปหรือไม่พาไปก็ไม่ผิดสัญญา

นิเสธ

นิเสธ ของ $p$ เขียนแทนด้วย $\sim p$ มีค่าความจริงตรงข้ามกับ $p$ เสมอ เช่น นิเสธของ $3+5=8$ คือ $3+5\ne 8$ และนิเสธของ $4<7$ คือ $4\nless 7$ ซึ่งหมายถึง $4\ge 7$

3การหาค่าความจริงและการสร้างตารางค่าความจริง

ถ้ารู้ค่าความจริงของประพจน์ย่อย ให้หาค่าจากในวงเล็บออกมาทีละชั้น ถ้าไม่มีวงเล็บ ให้ทำ $\sim$ ก่อน แล้วจึง $\wedge$ และ $\vee$ ต่อด้วย $\to$ และทำ $\leftrightarrow$ เป็นลำดับสุดท้าย

ตัวอย่าง: $p$ เป็นเท็จ $q$ เป็นจริง $r$ เป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของ $(p\vee q)\to r$

• $p\vee q$ เป็นจริง เพราะ $q$ จริง

• จริง $\to$ เท็จ ได้เท็จ

• ดังนั้น $(p\vee q)\to r$ เป็นเท็จ

ถ้ายังไม่รู้ค่าความจริงของประพจน์ย่อย ต้องสร้าง ตารางค่าความจริง ครบทุกกรณี ประพจน์ย่อย 1 ตัวมี 2 กรณี 2 ตัวมี 4 กรณี 3 ตัวมี 8 กรณี

ตัวอย่าง: ตารางค่าความจริงของ $\sim p\vee q$

คอลัมน์สุดท้ายตรงกับ $p\to q$ ทุกกรณี ซึ่งพาไปสู่หัวข้อถัดไป

4รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน

รูปแบบของประพจน์สองรูปแบบที่มีค่าความจริงตรงกันกรณีต่อกรณี เรียกว่า สมมูลกัน เขียนแทนด้วย $\equiv$ ใช้แทนกันได้

รูปแบบที่สมมูลกันที่ควรจำ

• $p\equiv \sim (\sim p)$

• $p\wedge q\equiv q\wedge p$ และ $p\vee q\equiv q\vee p$

• $\sim (p\wedge q)\equiv \sim p\vee \sim q$

• $\sim (p\vee q)\equiv \sim p\wedge \sim q$

• $p\to q\equiv \sim p\vee q$

• $p\to q\equiv \sim q\to \sim p$

• $p\leftrightarrow q\equiv (p\to q)\wedge (q\to p)$

• $p\wedge (q\vee r)\equiv (p\wedge q)\vee (p\wedge r)$

• $p\vee (q\wedge r)\equiv (p\vee q)\wedge (p\vee r)$

จาก $p\to q\equiv \sim p\vee q$ จะได้นิเสธที่ออกข้อสอบบ่อย คือ $\sim (p\to q)\equiv p\wedge \sim q$

ตัวอย่างภาษาพูด: นิเสธของ "เอาปากกาและดินสอมา" คือ "ไม่ได้เอาปากกามา หรือไม่ได้เอาดินสอมา" แค่ขาดอย่างใดอย่างหนึ่งก็พอ ไม่จำเป็นต้องขาดทั้งคู่

5สัจนิรันดร์

รูปแบบของประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี เรียกว่า สัจนิรันดร์ เช่น $p\vee \sim p$ และ $(p\wedge q)\to p$

ตรวจได้ 2 วิธี

1. สร้างตารางค่าความจริง แล้วดูว่าคอลัมน์สุดท้ายเป็น T ทุกแถวหรือไม่

2. วิธีการหาข้อขัดแย้ง ใช้กับรูปแบบที่เชื่อมด้วย $\to$ สมมติให้รูปแบบนั้นเป็นเท็จ ซึ่งเกิดได้กรณีเดียว คือเหตุจริงและผลเท็จ แล้วไล่หาค่าความจริงของประพจน์ย่อย ถ้าเกิดข้อขัดแย้ง แปลว่าเป็นสัจนิรันดร์ ถ้าไม่ขัดแย้ง แปลว่าไม่เป็นสัจนิรันดร์

ตัวอย่าง: ตรวจสอบ $[(p\to q)\wedge \sim q]\to \sim p$

• สมมติว่าเป็นเท็จ จะได้ $\sim p$ เท็จ นั่นคือ $p$ จริง และ $(p\to q)\wedge \sim q$ จริง

• จึงได้ $\sim q$ จริง นั่นคือ $q$ เท็จ และ $p\to q$ ต้องจริง

• แต่ $p$ จริง $q$ เท็จ ทำให้ $p\to q$ เท็จ ขัดแย้งกัน

• ดังนั้นรูปแบบนี้เป็นสัจนิรันดร์

6การอ้างเหตุผล

การอ้างเหตุผลประกอบด้วย เหตุ $p_1,p_2,\dots ,p_n$ และ ผล $C$ นำมาเขียนเป็น

ถ้ารูปแบบนี้เป็นสัจนิรันดร์ การอ้างเหตุผลนั้น สมเหตุสมผล ถ้าไม่เป็นสัจนิรันดร์ ถือว่า ไม่สมเหตุสมผล การตรวจจึงทำแบบเดียวกับการตรวจสัจนิรันดร์

ตัวอย่าง:

• เหตุ 1. ถ้าวันนี้ฝนตก แล้วสนามฟุตบอลแฉะ

• เหตุ 2. สนามฟุตบอลแฉะ

• ผล วันนี้ฝนตก

ให้ $p$ แทน "วันนี้ฝนตก" และ $q$ แทน "สนามฟุตบอลแฉะ" ได้รูปแบบ $[(p\to q)\wedge q]\to p$ สมมติให้เป็นเท็จ จะได้ $p$ เท็จ $q$ จริง ซึ่งทำให้ $p\to q$ จริงและ $q$ จริงได้โดยไม่ขัดแย้ง จึงไม่เป็นสัจนิรันดร์ การอ้างเหตุผลนี้ ไม่สมเหตุสมผล เพราะสนามอาจแฉะจากการรดน้ำก็ได้

7ประโยคเปิด

ประโยคเปิด คือประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่มีตัวแปร ยังบอกไม่ได้ว่าจริงหรือเท็จ แต่เมื่อแทนตัวแปรด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์แล้วจะได้ประพจน์ เขียนแทนด้วย $P(x)$

ตัวอย่าง: $x+4=10$ เป็นประโยคเปิด แทน $x$ ด้วย 6 ได้ประพจน์ที่เป็นจริง แทนด้วย 5 ได้ประพจน์ที่เป็นเท็จ ส่วน $x^2-1$ ไม่เป็นประโยคเปิด เพราะไม่ใช่ประโยค แทนค่าแล้วก็ไม่ได้ประพจน์

8ตัวบ่งปริมาณ

เขียนประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณเป็น $\forall x[P(x)]$ หรือ $\exists x[P(x)]$ พร้อมบอกเอกภพสัมพัทธ์ เช่น "จำนวนจริงทุกจำนวนยกกำลังสองแล้วไม่เป็นลบ" เขียนเป็น $\forall x[x^2\ge 0]$ เมื่อ $U=\mathbb{R}$

9ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียว

ตัวอย่าง: $U=\{2,3,4\}$

• $\forall x[x^2>3]$ เป็นจริง เพราะ $4,9,16$ มากกว่า 3 ทุกตัว

• $\forall x[x$ เป็นจำนวนคู่$]$ เป็นเท็จ เพราะ 3 ไม่เป็นจำนวนคู่

• $\exists x[x+1=5]$ เป็นจริง เพราะมี 4

• $\exists x[x>4]$ เป็นเท็จ เพราะไม่มีสมาชิกตัวใดมากกว่า 4

เปลี่ยนเอกภพสัมพัทธ์ ค่าความจริงอาจเปลี่ยน เช่น $\exists x[x>4]$ เป็นจริงเมื่อ $U=\mathbb{Z}$

10สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ

ประโยคเปิดสมมูลกันเหมือนรูปแบบของประพจน์ เช่น $\forall x[P(x)\to Q(x)]\equiv \forall x[\sim Q(x)\to \sim P(x)]$

นิเสธจะสลับตัวบ่งปริมาณ และเปลี่ยนประโยคเปิดเป็นนิเสธ

• $\sim \forall x[P(x)]\equiv \exists x[\sim P(x)]$

• $\sim \exists x[P(x)]\equiv \forall x[\sim P(x)]$

ตัวอย่าง: นิเสธของ $\forall x[x+2>x]$ คือ $\exists x[x+2\le x]$

ภาษาพูด: นิเสธของ "นักเรียนทุกคนส่งการบ้าน" คือ "มีนักเรียนบางคนไม่ส่งการบ้าน" ไม่ใช่ "นักเรียนทุกคนไม่ส่งการบ้าน"

สรุปจำไว้อ่านข้อสอบ