ดีกรีของเอกนามหาอย่างไร

นำเลขชี้กำลังของตัวแปรทุกตัวในเอกนามมาบวกกัน เช่น -7x³y มีดีกรี 3 + 1 = 4 ส่วนดีกรีของพหุนามคือดีกรีสูงสุดของพจน์ในรูปผลสำเร็จ

เอกนามที่คล้ายกันคืออะไร

คือเอกนามที่มีตัวแปรชุดเดียวกัน และเลขชี้กำลังของตัวแปรตัวเดียวกันเท่ากัน เช่น 3x²y กับ -8x²y เฉพาะเอกนามที่คล้ายกันเท่านั้นที่บวกลบรวมเป็นเอกนามเดียวได้

ลบพหุนามต้องระวังอะไร

เมื่อถอดวงเล็บที่มีเครื่องหมายลบอยู่ข้างหน้า ต้องเปลี่ยนเครื่องหมายของทุกพจน์ในวงเล็บ ไม่ใช่แค่พจน์แรก

ม.2 เทอม 1 · บทที่ 6 พหุนาม · อ่าน 3 นาที

สรุปพหุนาม ม.2

สรุปพหุนาม ม.2 เอกนาม สัมประสิทธิ์ ดีกรี เอกนามที่คล้ายกัน การบวกลบพหุนาม การคูณพหุนาม และการหารพหุนามด้วยเอกนาม พร้อมตัวอย่างและจุดที่พลาดบ่อย

โดย OneClickMathเผยแพร่ 26 กันยายน 2569

พหุนาม คือนิพจน์ที่เขียนเป็น เอกนาม หรือผลบวกของเอกนามตั้งแต่สองเอกนามขึ้นไป เช่น $3 x^{2} - 5 x + 2$ บทนี้เรียนใน ม.2 เทอม 1 ครอบคลุมเอกนาม การบวกลบเอกนาม พหุนาม การบวกลบพหุนาม การคูณพหุนาม และการหารพหุนามด้วยเอกนาม

สวัสดีครับ นี่พี่ติว OCM

บทนี้คือ "ภาษา" ที่ใช้ต่อในการแยกตัวประกอบ ม.2 เทอม 2 และสมการกำลังสอง ม.3 เพราะฉะนั้นเรื่องพจน์คล้าย ดีกรี และเครื่องหมายต้องแม่นครับ

สรุปบทนี้ใน 1 ตาราง

หัวข้อ	ต้องทำอะไรเป็น
นิพจน์และเอกนาม	ตรวจว่าเป็นเอกนามไหม บอกสัมประสิทธิ์และดีกรี
บวก ลบ เอกนาม	รวมเฉพาะเอกนามที่คล้ายกัน
พหุนาม	เขียนรูปผลสำเร็จ บอกดีกรีของพหุนาม
บวก ลบ พหุนาม	จัดกลุ่มพจน์คล้าย ระวังเครื่องหมายเมื่อลบ
คูณพหุนาม	ใช้สมบัติการแจกแจง คูณทุกพจน์ให้ครบ
หารพหุนามด้วยเอกนาม	หารทีละพจน์ แล้วตรวจด้วยตัวหาร × ผลหาร = ตัวตั้ง

1นิพจน์และเอกนาม

นิพจน์ คือข้อความที่เขียนด้วยตัวเลข ตัวแปร และเครื่องหมายดำเนินการ เช่น $2 x + 3$ , $\frac{5}{y}$

เอกนาม คือนิพจน์ที่เขียนเป็น ผลคูณของค่าคงตัวกับตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป โดยเลขชี้กำลังของตัวแปรแต่ละตัวเป็น ศูนย์หรือจำนวนเต็มบวก

นิพจน์	เป็นเอกนามไหม	เหตุผล
$- 7 x^{3} y$	เป็น	ผลคูณของค่าคงตัวกับตัวแปร
$5$	เป็น	$5 = 5 x^{0}$
$\frac{x}{3}$	เป็น	$= \frac{1}{3} x$
$\frac{3}{x}$	ไม่เป็น	$= 3 x^{- 1}$ เลขชี้กำลังติดลบ
$\frac{4 x}{y}$	ไม่เป็น	$= 4 x y^{- 1}$ เลขชี้กำลังของ $y$ ติดลบ
$x + 2$	ไม่เป็น	เป็นผลบวก ไม่ใช่ผลคูณ

ส่วนของเอกนาม

สัมประสิทธิ์: ส่วนที่เป็นค่าคงตัว เช่น $- 7 x^{3} y$ มีสัมประสิทธิ์ $- 7$
ดีกรีของเอกนาม: ผลบวกของเลขชี้กำลังของตัวแปรทุกตัว เช่น $- 7 x^{3} y$ มีดีกรี $3 + 1 = 4$
เอกนามที่เป็นค่าคงตัวที่ไม่ใช่ 0 มีดีกรี 0 ส่วน $0$ ไม่บอกดีกรี

2การบวกและการลบเอกนาม

เอกนามคล้าย คือเอกนามที่มีตัวแปรชุดเดียวกัน และเลขชี้กำลังของตัวแปรเดียวกันเท่ากัน

$3 x^{2} y$ กับ $- 8 x^{2} y$ คล้ายกัน
$3 x^{2} y$ กับ $3 x y^{2}$ ไม่คล้ายกัน

บวกลบได้เฉพาะเอกนามคล้าย โดยบวกลบสัมประสิทธิ์ ส่วนตัวแปรคงเดิม

$5 a b^{2} + (- 2 a b^{2}) = 3 a b^{2}$
$4 x^{3} - 9 x^{3} = - 5 x^{3}$
$2 x + 3 y$ รวมเป็นเอกนามเดียวไม่ได้

3พหุนาม

พหุนาม คือนิพจน์ที่เป็นเอกนาม หรือเขียนเป็นผลบวกของเอกนามตั้งแต่สองเอกนามขึ้นไป

รูปผลสำเร็จ คือพหุนามที่ไม่มีพจน์ใดคล้ายกันเหลืออยู่

4 x^{2} + 3 x - x^{2} + 5 - 7 x = 3 x^{2} - 4 x + 5

ดีกรีของพหุนาม คือดีกรีสูงสุดของพจน์ในรูปผลสำเร็จ

$3 x^{2} - 4 x + 5$ มีดีกรี 2
$2 x^{3} y^{2} - x y + 1$ มีดีกรี 5

นิยมเรียงพจน์จากดีกรีมากไปน้อย

4การบวกและการลบพหุนาม

บวก: จัดพจน์คล้ายไว้ด้วยกัน แล้วรวม

(2 x^{2} - 3 x + 4) + (x^{2} + 5 x - 9) = 3 x^{2} + 2 x - 5

ลบ: ลบด้วยพหุนาม = บวกด้วยพจน์ตรงข้ามของ ทุกพจน์

(5 x^{2} - 2 x + 1) - (3 x^{2} - 4 x + 6)

= 5 x^{2} - 2 x + 1 - 3 x^{2} + 4 x - 6

= 2 x^{2} + 2 x - 5

ลองดูด้วยแผ่นพีชคณิตครับ แผ่นใหญ่คือ $x^{2}$ แผ่นยาวคือ $x$ แผ่นเล็กคือ $1$ สีน้ำเงินเป็นบวก สีแดงเป็นลบ การลบพหุนามคือการกลับสีทุกแผ่นของตัวหลัง แล้วเอามารวมกัน แผ่นบวกกับแผ่นลบชนิดเดียวกันจับคู่กันได้ศูนย์

5x² − 2x + 1

x²x²x²x²x²

−(3x² − 4x + 6) → −3x² + 4x − 6

x²x²x²

กดปุ่มด้านล่างเพื่อรวมแผ่น

ลบพหุนามด้วยแผ่นพีชคณิตตัวอย่างเดียวกับด้านบน กดรวมแผ่นแล้วนับแผ่นที่เหลือ

5การคูณพหุนามด้วยเอกนาม

ใช้ สมบัติการแจกแจง คูณเอกนามเข้าไปทุกพจน์ และใช้ $a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$

- 3 x (2 x^{2} - 5 x + 4) = - 6 x^{3} + 15 x^{2} - 12 x

2 a b^{2} (3 a - ab + 4 b) = 6 a^{2} b^{2} - 2 a^{2} b^{3} + 8 a b^{3}

ทำไมต้องคูณเข้าไป "ทุกพจน์" ดูเป็นพื้นที่สี่เหลี่ยมจะเห็นชัด $2 x (2 x + 3)$ คือสี่เหลี่ยมกว้าง $2 x$ ยาว $2 x + 3$ แบ่งได้เป็นส่วนที่ได้ $x^{2}$ กับส่วนที่ได้ $x$ ถ้าคูณแค่พจน์แรก พื้นที่ส่วนขวาจะหายไปทั้งแถบ

2x(2x + 3) = 4x² + 6x

ได้แผ่น x² ทั้งหมด 4 แผ่น และแผ่น x 6 แผ่น

ตัวคูณ 2xสัมประสิทธิ์ของ x = 2ค่าคงตัวในวงเล็บ = 3

คูณเอกนามกับพหุนามด้วยพื้นที่ลองให้ค่าคงตัวในวงเล็บติดลบ แผ่น x จะกลายเป็นสีแดงทั้งแถบ

6การคูณพหุนามด้วยพหุนาม

ใช้สมบัติการแจกแจงเหมือนเดิม แต่ครั้งนี้นำ แต่ละพจน์ ของพหุนามตัวแรก ไปคูณ ทุกพจน์ ของพหุนามตัวที่สอง แล้วรวมพจน์ที่คล้ายกัน

(x + 3) (x + 5) = x^{2} + 5 x + 3 x + 15 = x^{2} + 8 x + 15

(2 x - 1) (x^{2} + 3 x - 4) = 2 x^{3} + 6 x^{2} - 8 x - x^{2} - 3 x + 4 = 2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4

7การหารพหุนามด้วยเอกนาม

นำเอกนามไปหาร ทีละพจน์ ของพหุนาม แล้วนำผลหารมาบวกกัน ใช้ $a^{m} \div a^{n} = a^{m - n}$ เมื่อ $a \neq = 0$

\frac{12 x ^{4} - 8 x ^{3} + 4 x ^{2}}{4 x ^{2}} = 3 x^{2} - 2 x + 1

\frac{15 a ^{3} b ^{2} - 10 a ^{2} b}{- 5 ab} = - 3 a^{2} b + 2 a

ตรวจคำตอบได้เสมอด้วย ตัวหาร × ผลหาร = ตัวตั้ง เช่น $4 x^{2} (3 x^{2} - 2 x + 1) = 12 x^{4} - 8 x^{3} + 4 x^{2}$ ตรงกับตัวตั้งจริง

ใน ม.2 เรียนเฉพาะการหารที่ผลหารออกมาเป็นพหุนาม (หารลงตัว) เท่านั้น

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

รวม $3 x^{2} + 2 x$ เป็น $5 x^{3}$ ทั้งที่ไม่ใช่พจน์คล้าย
ลบพหุนามแล้วเปลี่ยนเครื่องหมายแค่พจน์แรกในวงเล็บ
บอกดีกรีของ $x^{2} y^{3}$ ว่าเป็น 3 ที่ถูกคือ $2 + 3 = 5$
คิดว่า $\frac{3}{x}$ เป็นเอกนาม
คูณพหุนามสองวงเล็บแล้วคูณไม่ครบทุกคู่ เช่น $(x + 3) (x + 5)$ ตอบ $x^{2} + 15$

คำถามที่พบบ่อย

$เอกนามคืออะไร$: $เอกนามคือนิพจน์ที่เขียนเป็นผลคูณของค่าคงตัวกับตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป โดยเลขชี้กำลังของตัวแปรแต่ละตัวเป็นศูนย์หรือจำนวนเต็มบวก เช่น -7x³y และ 5$
$ดีกรีของเอกนามหาอย่างไร$: $นำเลขชี้กำลังของตัวแปรทุกตัวในเอกนามมาบวกกัน เช่น -7x³y มีดีกรี 3 + 1 = 4 ส่วนดีกรีของพหุนามคือดีกรีสูงสุดของพจน์ในรูปผลสำเร็จ$
$เอกนามที่คล้ายกันคืออะไร$: $คือเอกนามที่มีตัวแปรชุดเดียวกัน และเลขชี้กำลังของตัวแปรตัวเดียวกันเท่ากัน เช่น 3x²y กับ -8x²y เฉพาะเอกนามที่คล้ายกันเท่านั้นที่บวกลบรวมเป็นเอกนามเดียวได้$
$คูณพหุนามกับพหุนามทำอย่างไร$: $ใช้สมบัติการแจกแจง นำแต่ละพจน์ของพหุนามตัวแรกไปคูณทุกพจน์ของพหุนามตัวที่สอง แล้วรวมพจน์ที่คล้ายกัน เช่น (x + 3)(x + 5) = x² + 8x + 15$
$ลบพหุนามต้องระวังอะไร$: $เมื่อถอดวงเล็บที่มีเครื่องหมายลบอยู่ข้างหน้า ต้องเปลี่ยนเครื่องหมายของทุกพจน์ในวงเล็บ ไม่ใช่แค่พจน์แรก$