แก้ระบบสมการวิธีไหนเร็วที่สุด

ถ้ามีตัวแปรที่สัมประสิทธิ์เป็น 1 หรือจัดให้อยู่ในรูป y = ... ได้ง่าย ใช้วิธีแทนค่า ถ้าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรตัวหนึ่งเท่ากันหรือทำให้เท่ากันได้ง่าย ใช้วิธีกำจัดตัวแปร

ระบบสมการที่ไม่มีคำตอบเป็นยังไง

คือระบบที่กราฟเป็นเส้นตรงขนานกัน ไม่ตัดกันเลย เช่น x + y = 3 กับ x + y = 5 ไม่มีคู่อันดับใดทำให้ทั้งสองสมการเป็นจริงพร้อมกัน

โจทย์ไก่กับกระต่ายตั้งสมการยังไง

ให้ไก่ x ตัว กระต่าย y ตัว สมการแรกมาจากจำนวนตัว x + y = จำนวนหัว สมการที่สองมาจากจำนวนขา 2x + 4y = จำนวนขา แล้วแก้ระบบสมการ

บทนี้เรียนตอนไหน

เรียนในคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.3 ภาคเรียนที่ 2 บทที่ 1 และเป็นหัวข้อที่ออกบ่อยในข้อสอบเข้า ม.4

ม.3 เทอม 2 · บทที่ 1 ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร · อ่าน 3 นาที

สรุประบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ม.3

ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ม.3 เทอม 2 คำตอบมีได้ 3 แบบ แก้ด้วยกราฟ กำจัดตัวแปร หรือแทนค่า พร้อมตัวอย่างโจทย์ปัญหาและกราฟให้ลองปรับเอง

โดย OneClickMathเผยแพร่ 26 กันยายน 2569

ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คือสมการเชิงเส้นสองตัวแปรสองสมการที่ต้องหาคำตอบร่วมกัน คำตอบคือคู่อันดับ $(x, y)$ ที่ทำให้ทั้งสองสมการเป็นจริง แก้ได้ 3 วิธี คือ ใช้กราฟ กำจัดตัวแปร และแทนค่า บทนี้เรียนใน ม.3 เทอม 2 และออกข้อสอบเข้า ม.4 แทบทุกปี

สวัสดีครับ นี่พี่ติว OCM

บทนี้เป็นคะแนนที่เก็บได้ง่าย เพราะวิธีแก้ตายตัว ข้อไหนจะยากหรือง่ายขึ้นกับว่าอ่านโจทย์แล้วตั้งสมการถูกไหมครับ

สรุปบทนี้ใน 1 ตาราง

หัวข้อ	ต้องทำอะไรเป็น
แนะนำระบบสมการ	บอกว่าคู่อันดับใดเป็นคำตอบ และระบบมีคำตอบกี่คำตอบ
การแก้ระบบสมการ	ใช้กราฟ กำจัดตัวแปร หรือแทนค่า
โจทย์ปัญหา	กำหนดตัวแปรสองตัว ตั้งสมการสองสมการ แล้วแก้

1ระบบสมการและคำตอบ

ระบบสมการเขียนในรูป

{a_{1} x + b_{1} y = c_{1} a_{2} x + b_{2} y = c_{2}

คำตอบของระบบสมการ คือคู่อันดับที่ทำให้ทั้งสองสมการเป็นจริงพร้อมกัน ในกราฟคือ จุดที่เส้นตรงสองเส้นตัดกัน

x + y = 5x − y = 1มีคำตอบเดียว คือ (, )

a₁ = 1b₁ = 1c₁ = 5

a₂ = 1b₂ = −1c₂ = 1

ระบบสมการสองเส้น: ลากหรือปรับสัมประสิทธิ์แล้วดูว่าเส้นตัดกัน ขนาน หรือทับกันเริ่มจาก x + y = 5 กับ x − y = 1 ที่ตัดกันที่ (3, 2) แล้วลองปรับให้สองเส้นขนานกันหรือทับกัน

คำตอบมีได้ 3 แบบ

กราฟของสองสมการ	จำนวนคำตอบ
ตัดกันที่จุดเดียว	มีคำตอบเดียว
ขนานกัน ไม่ตัดกัน	ไม่มีคำตอบ
ทับกันเป็นเส้นเดียว	มีคำตอบมากมายไม่จำกัด

ตัวอย่าง: $x + y = 3$ กับ $x + y = 5$ เป็นเส้นขนาน ไม่มีคำตอบ ส่วน $x + y = 3$ กับ $2 x + 2 y = 6$ เป็นเส้นเดียวกัน มีคำตอบมากมายไม่จำกัด

ดูจากสัมประสิทธิ์ก็ได้ ถ้าสัมประสิทธิ์ของ $x$ และ $y$ ในสองสมการเป็นสัดส่วนเดียวกัน เส้นจะขนานหรือทับกัน ถ้าค่าคงตัวเป็นสัดส่วนเดียวกันด้วยจะทับกัน ถ้าไม่ใช่จะขนานกัน

2วิธีแก้ระบบสมการ

วิธีที่ 1: ใช้กราฟ

เขียนกราฟทั้งสองสมการบนระนาบเดียวกัน แล้วอ่านจุดตัด เห็นภาพชัด แต่ถ้าจุดตัดไม่ใช่จำนวนเต็มจะอ่านค่าคลาดเคลื่อนได้ จึงนิยมใช้สมบัติของการเท่ากันคำนวณแทน ซึ่งทำได้สองแบบข้างล่าง

วิธีที่ 2: กำจัดตัวแปร

ทำสัมประสิทธิ์ของตัวแปรตัวหนึ่งให้เท่ากัน (หรือเป็นจำนวนตรงข้ามกัน) แล้วนำสมการมาบวกหรือลบกัน ให้เหลือตัวแปรเดียว

ตัวอย่าง:

{x + y = 11 x - y = 3

บวกสองสมการ: $2 x = 14$ ได้ $x = 7$
แทนใน $x + y = 11$ : $y = 4$
คำตอบคือ $(7, 4)$

ตัวอย่างที่ต้องคูณก่อน:

{2 x + 3 y = 13 3 x - y = 3

คูณสมการที่สองด้วย 3: $9 x - 3 y = 9$
บวกกับสมการแรก: $11 x = 22$ ได้ $x = 2$
แทนใน $3 x - y = 3$ : $6 - y = 3$ ได้ $y = 3$
คำตอบคือ $(2, 3)$

ถ้ากำจัดตัวแปรแล้วได้ประโยคที่ไม่จริง เช่น $0 = 5$ แปลว่าระบบนี้ไม่มีคำตอบ ถ้าได้ $0 = 0$ แปลว่าสองสมการสมมูลกัน ระบบมีคำตอบมากมายไม่จำกัด

วิธีที่ 3: แทนค่า

จัดสมการหนึ่งให้ตัวแปรตัวหนึ่งอยู่ในรูปของอีกตัว แล้วแทนในอีกสมการ เหมาะเมื่อมีตัวแปรที่สัมประสิทธิ์เป็น 1

ตัวอย่าง: $y = 2 x - 1$ และ $3 x + y = 14$

แทน $y$ : $3 x + (2 x - 1) = 14$ ได้ $5 x = 15$ ดังนั้น $x = 3$
$y = 2 (3) - 1 = 5$
คำตอบคือ $(3, 5)$

3โจทย์ปัญหา

กำหนดตัวแปรสองตัวแทนสิ่งที่โจทย์ถาม
หาข้อมูลสองข้อในโจทย์ แล้วตั้งสมการสองสมการ
แก้ระบบสมการ
ตรวจคำตอบกับโจทย์

ตัวอย่าง: ในคอกมีไก่กับกระต่ายรวม 30 ตัว นับขาได้ 86 ขา มีไก่และกระต่ายอย่างละกี่ตัว

ให้ไก่ $x$ ตัว กระต่าย $y$ ตัว
$x + y = 30$ และ $2 x + 4 y = 86$
คูณสมการแรกด้วย 2: $2 x + 2 y = 60$ ลบออกจากสมการที่สอง ได้ $2 y = 26$ ดังนั้น $y = 13$
$x = 30 - 13 = 17$
ตอบ ไก่ 17 ตัว กระต่าย 13 ตัว ตรวจ: $34 + 52 = 86$ ขา

โจทย์แบบอื่นที่เจอบ่อย: ซื้อของสองชนิด เลขสองหลัก อายุ ความเร็วตามน้ำและทวนน้ำ

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

คูณสมการด้วยจำนวนแล้วลืมคูณทุกพจน์ รวมถึงข้างขวา
ลบสมการแล้วเครื่องหมายผิด
ได้ค่า $x$ แล้วลืมหาค่า $y$
ตั้งสมการจากข้อมูลเดียวกันสองครั้ง จึงแก้ไม่ออก

คำถามที่พบบ่อย

$ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรคืออะไร$: $คือสมการเชิงเส้นสองตัวแปรสองสมการที่ต้องหาคำตอบร่วมกัน คำตอบคือคู่อันดับ (x, y) ที่ทำให้ทั้งสองสมการเป็นจริงพร้อมกัน ซึ่งก็คือจุดตัดของกราฟเส้นตรงสองเส้น$
$แก้ระบบสมการวิธีไหนเร็วที่สุด$: $ถ้ามีตัวแปรที่สัมประสิทธิ์เป็น 1 หรือจัดให้อยู่ในรูป y = ... ได้ง่าย ใช้วิธีแทนค่า ถ้าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรตัวหนึ่งเท่ากันหรือทำให้เท่ากันได้ง่าย ใช้วิธีกำจัดตัวแปร$
$ระบบสมการที่ไม่มีคำตอบเป็นยังไง$: $คือระบบที่กราฟเป็นเส้นตรงขนานกัน ไม่ตัดกันเลย เช่น x + y = 3 กับ x + y = 5 ไม่มีคู่อันดับใดทำให้ทั้งสองสมการเป็นจริงพร้อมกัน$
$โจทย์ไก่กับกระต่ายตั้งสมการยังไง$: $ให้ไก่ x ตัว กระต่าย y ตัว สมการแรกมาจากจำนวนตัว x + y = จำนวนหัว สมการที่สองมาจากจำนวนขา 2x + 4y = จำนวนขา แล้วแก้ระบบสมการ$
$บทนี้เรียนตอนไหน$: $เรียนในคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.3 ภาคเรียนที่ 2 บทที่ 1 และเป็นหัวข้อที่ออกบ่อยในข้อสอบเข้า ม.4$