สูตรแก้สมการกำลังสองคืออะไร

สำหรับ ax² + bx + c = 0 เมื่อ a ไม่เท่ากับ 0 คำตอบคือ x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

รู้ได้ยังไงว่าสมการกำลังสองมีกี่คำตอบ

ดูค่า b² - 4ac ถ้ามากกว่า 0 มีสองคำตอบ ถ้าเท่ากับ 0 มีคำตอบเดียวคือ -b/2a ถ้าน้อยกว่า 0 ไม่มีจำนวนจริงใดเป็นคำตอบ

ทำไมห้ามหารด้วย x ทั้งสองข้าง

เพราะ x อาจเป็น 0 และการหารจะทำให้คำตอบ x = 0 หายไป ให้ย้ายข้างแล้วดึงตัวร่วม x ออกมาแทน

บทนี้เรียนตอนไหน

เรียนในคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.3 ภาคเรียนที่ 1 บทที่ 3 ต่อจากการแยกตัวประกอบ และใช้ต่อในบทกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง ม.3

ม.3 เทอม 1 · บทที่ 3 สมการกำลังสองตัวแปรเดียว · อ่าน 3 นาที

สรุปสมการกำลังสองตัวแปรเดียว ม.3

Q: สมการกำลังสองแก้ได้กี่วิธี

แก้ได้ 2 วิธีหลัก คือ แยกตัวประกอบ (รวมถึงจัดเป็นกำลังสองสมบูรณ์แล้วใช้ผลต่างกำลังสอง) และใช้สูตร x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a ควรลองแยกตัวประกอบก่อนเพราะเร็วที่สุด

สรุปสมการกำลังสองตัวแปรเดียว ม.3 แก้โดยแยกตัวประกอบ ใช้กำลังสองสมบูรณ์ และใช้สูตร ดูจำนวนคำตอบจาก b² - 4ac พร้อมโจทย์ปัญหาและวิธีทำ

โดย OneClickMathเผยแพร่ 26 กันยายน 2569

สมการกำลังสองตัวแปรเดียว คือสมการรูป $a x^{2} + b x + c = 0$ เมื่อ $a \neq = 0$ แก้ได้ 2 วิธีหลัก คือ แยกตัวประกอบ (รวมถึงจัดเป็นกำลังสองสมบูรณ์แล้วใช้ผลต่างกำลังสอง) และ ใช้สูตร $x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$ บทนี้เรียนใน ม.3 เทอม 1 และปิดท้ายด้วยโจทย์ปัญหา

สวัสดีครับ นี่พี่ติว OCM

ลองแยกตัวประกอบก่อนเสมอ เพราะเร็วที่สุด ถ้าแยกไม่ออกค่อยใช้สูตร สูตรนี้ใช้ได้ทุกข้อ แต่ต้องแทนค่าเครื่องหมายให้ถูกครับ

สรุปบทนี้ใน 1 ตาราง

หัวข้อ	ต้องทำอะไรเป็น
แนะนำสมการกำลังสอง	จัดรูป $a x^{2} + b x + c = 0$ บอก $a$ , $b$ , $c$
แยกตัวประกอบ	ใช้ถ้า $A B = 0$ แล้ว $A = 0$ หรือ $B = 0$
กำลังสองสมบูรณ์	จัดเป็น $(x + p)^{2} - q = 0$ แล้วใช้ผลต่างกำลังสอง
ใช้สูตร	แทนค่าในสูตร ดูค่า $b^{2} - 4 a c$
โจทย์ปัญหา	ตั้งสมการ แก้ แล้วตัดคำตอบที่ไม่เข้ากับโจทย์

1แนะนำสมการกำลังสองตัวแปรเดียว

รูปทั่วไป

a x^{2} + b x + c = 0 เมื่อ a, b, c เป็นค่าคงตัว และ a \neq = 0

ต้องจัดให้ข้างหนึ่งเป็น 0 ก่อนเสมอ เช่น $x^{2} = 5 x - 6$ จัดเป็น $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ ได้ $a = 1$ , $b = - 5$ , $c = 6$

สมการกำลังสองมีคำตอบที่เป็นจำนวนจริงได้ 2 คำตอบ 1 คำตอบ หรือไม่มีคำตอบ

2แก้สมการโดยแยกตัวประกอบ

หลักการ: ถ้า $A \times B = 0$ แล้ว $A = 0$ หรือ $B = 0$

ตัวอย่าง

x^{2} - 5 x + 6 = 0

(x - 2) (x - 3) = 0

x = 2 หรือ x = 3

ไม่มีพจน์ค่าคงตัว

3 x^{2} = 12 x \Rightarrow 3 x^{2} - 12 x = 0 \Rightarrow 3 x (x - 4) = 0

ได้ $x = 0$ หรือ $x = 4$

ห้ามหารทั้งสองข้างด้วย $x$ เพราะจะทำให้คำตอบ $x = 0$ หายไป

ผลต่างกำลังสองและกำลังสองสมบูรณ์

$x^{2} - 49 = 0 \Rightarrow (x + 7) (x - 7) = 0 \Rightarrow x = \pm 7$
$x^{2} + 6 x + 9 = 0 \Rightarrow (x + 3)^{2} = 0 \Rightarrow x = - 3$ (คำตอบเดียว)

สัมประสิทธิ์ของ $x^{2}$ ไม่ใช่ 1

2 x^{2} + 5 x - 3 = 0 \Rightarrow (2 x - 1) (x + 3) = 0

ได้ $x = \frac{1}{2}$ หรือ $x = - 3$

3แยกตัวประกอบโดยใช้กำลังสองสมบูรณ์

ใช้เมื่อหาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันและบวกกันตามต้องการไม่ได้

บวกและลบ $(\frac{สัมประสิทธิ์ของ x}{2})^{2}$ เพื่อให้เกิดกำลังสองสมบูรณ์
เขียนเป็น $(x + p)^{2} - q = 0$
มอง $q$ เป็น $(q)^{2}$ แล้วใช้ผลต่างกำลังสอง

ตัวอย่าง

x^{2} + 6 x - 2 = 0

(x^{2} + 6 x + 9) - 9 - 2 = 0

(x + 3)^{2} - (11)^{2} = 0

(x + 3 + 11) (x + 3 - 11) = 0

x = - 3 - 11 หรือ x = - 3 + 11

ถ้าได้ $(x + p)^{2} + q = 0$ ที่ $q > 0$ เช่น $(x + 1)^{2} + 4 = 0$ ข้างซ้ายเป็นบวกเสมอ จึงไม่มีจำนวนจริงใดเป็นคำตอบ

4แก้สมการโดยใช้สูตร

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

สูตรนี้ได้มาจากการทำ $a x^{2} + b x + c = 0$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

ตัวอย่าง

2 x^{2} - 4 x - 1 = 0 (a = 2, b = - 4, c = - 1)

x = \frac{4 \pm 16 + 8}{4} = \frac{4 \pm 2 6}{4} = \frac{2 \pm 6}{2}

ค่า $b^{2} - 4 a c$ บอกจำนวนคำตอบ

ค่า $b^{2} - 4 a c$	จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนจริง
มากกว่า 0	2 คำตอบ
เท่ากับ 0	1 คำตอบ คือ $- \frac{b}{2 a}$
น้อยกว่า 0	ไม่มีจำนวนจริงใดเป็นคำตอบ

x² − 2x − 3 = 0

b² − 4ac = 16 > 0 · 2 คำตอบ

x = −1x = 3

จุดสีเขียวคือคำตอบของสมการ

a = 1b = −2c = −3

ค่า b² − 4ac บอกจำนวนคำตอบ: เลื่อน a, b, c แล้วดูกราฟตัดแกน Xเลื่อน c จนกราฟแตะแกน X จุดเดียว แล้วดูว่า b² − 4ac เป็นเท่าไร

ตัวอย่าง: $x^{2} + 2 x + 5 = 0$ มี $b^{2} - 4 a c = 4 - 20 = - 16 < 0$ จึงไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง

5โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสมการกำลังสองตัวแปรเดียว

ขั้นตอน: กำหนดตัวแปร ตั้งสมการ แก้สมการ แล้ว ตรวจว่าคำตอบเข้ากับเงื่อนไขในโจทย์ไหม เช่น ความยาวติดลบไม่ได้

ตัวอย่าง: พื้นที่

สี่เหลี่ยมมุมฉากยาวกว่ากว้าง 3 เมตร มีพื้นที่ 40 ตารางเมตร

ให้กว้าง $x$ เมตร

x (x + 3) = 40 \Rightarrow x^{2} + 3 x - 40 = 0 \Rightarrow (x + 8) (x - 5) = 0

$x = - 8$ ใช้ไม่ได้ จึงกว้าง 5 เมตร ยาว 8 เมตร

ตัวอย่าง: จำนวน

จำนวนเต็มบวกสองจำนวนเรียงกัน ผลคูณเป็น 132

x (x + 1) = 132 \Rightarrow x^{2} + x - 132 = 0 \Rightarrow (x + 12) (x - 11) = 0

จำนวนเต็มบวก จึงได้ 11 และ 12

ตัวอย่าง: ทางเดินรอบสนาม

สนามขนาด $10 \times 16$ เมตร ทำทางเดินกว้างเท่ากันรอบสนาม พื้นที่รวมเป็น 280 ตารางเมตร ทางเดินกว้างเท่าไร

(10 + 2 x) (16 + 2 x) = 280 \Rightarrow 4 x^{2} + 52 x - 120 = 0 \Rightarrow x^{2} + 13 x - 30 = 0

(x + 15) (x - 2) = 0

ทางเดินกว้าง 2 เมตร

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

แก้สมการโดยไม่ได้จัดให้ข้างหนึ่งเป็น 0 ก่อน
หารด้วย $x$ ทั้งสองข้าง ทำให้คำตอบ $x = 0$ หาย
แทน $b$ ที่ติดลบในสูตรผิด เช่น $b = - 4$ แล้วเขียน $- b = - 4$
ลืมตัดคำตอบที่ขัดกับโจทย์ เช่น ความยาวติดลบ

คำถามที่พบบ่อย

$สมการกำลังสองแก้ได้กี่วิธี$: $แก้ได้ 2 วิธีหลัก คือ แยกตัวประกอบ (รวมถึงจัดเป็นกำลังสองสมบูรณ์แล้วใช้ผลต่างกำลังสอง) และใช้สูตร x = (-b \pm \sqrt(b² - 4ac)) / 2a ควรลองแยกตัวประกอบก่อนเพราะเร็วที่สุด$
$สูตรแก้สมการกำลังสองคืออะไร$: $สำหรับ ax² + bx + c = 0 เมื่อ a ไม่เท่ากับ 0 คำตอบคือ x = (-b \pm \sqrt(b² - 4ac)) / 2a$
$รู้ได้ยังไงว่าสมการกำลังสองมีกี่คำตอบ$: $ดูค่า b² - 4ac ถ้ามากกว่า 0 มีสองคำตอบ ถ้าเท่ากับ 0 มีคำตอบเดียวคือ -b/2a ถ้าน้อยกว่า 0 ไม่มีจำนวนจริงใดเป็นคำตอบ$
$ทำไมห้ามหารด้วย x ทั้งสองข้าง$: $เพราะ x อาจเป็น 0 และการหารจะทำให้คำตอบ x = 0 หายไป ให้ย้ายข้างแล้วดึงตัวร่วม x ออกมาแทน$
$บทนี้เรียนตอนไหน$: $เรียนในคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.3 ภาคเรียนที่ 1 บทที่ 3 ต่อจากการแยกตัวประกอบ และใช้ต่อในบทกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง ม.3$

ม.3 เทอม 1 · บทที่ 3 สมการกำลังสองตัวแปรเดียว · อ่าน 3 นาที

สรุปสมการกำลังสองตัวแปรเดียว ม.3

โดย OneClickMathเผยแพร่ 26 กันยายน 2569

สวัสดีครับ นี่พี่ติว OCM

สรุปบทนี้ใน 1 ตาราง

หัวข้อ	ต้องทำอะไรเป็น
แนะนำสมการกำลังสอง	จัดรูป $a x^{2} + b x + c = 0$ บอก $a$ , $b$ , $c$
แยกตัวประกอบ	ใช้ถ้า $A B = 0$ แล้ว $A = 0$ หรือ $B = 0$
กำลังสองสมบูรณ์	จัดเป็น $(x + p)^{2} - q = 0$ แล้วใช้ผลต่างกำลังสอง
ใช้สูตร	แทนค่าในสูตร ดูค่า $b^{2} - 4 a c$
โจทย์ปัญหา	ตั้งสมการ แก้ แล้วตัดคำตอบที่ไม่เข้ากับโจทย์

1แนะนำสมการกำลังสองตัวแปรเดียว

รูปทั่วไป

a x^{2} + b x + c = 0 เมื่อ a, b, c เป็นค่าคงตัว และ a \neq = 0

สมการกำลังสองมีคำตอบที่เป็นจำนวนจริงได้ 2 คำตอบ 1 คำตอบ หรือไม่มีคำตอบ

2แก้สมการโดยแยกตัวประกอบ

หลักการ: ถ้า $A \times B = 0$ แล้ว $A = 0$ หรือ $B = 0$

ตัวอย่าง

x^{2} - 5 x + 6 = 0

(x - 2) (x - 3) = 0

x = 2 หรือ x = 3

ไม่มีพจน์ค่าคงตัว

3 x^{2} = 12 x \Rightarrow 3 x^{2} - 12 x = 0 \Rightarrow 3 x (x - 4) = 0

ได้ $x = 0$ หรือ $x = 4$

ห้ามหารทั้งสองข้างด้วย $x$ เพราะจะทำให้คำตอบ $x = 0$ หายไป

ผลต่างกำลังสองและกำลังสองสมบูรณ์

$x^{2} - 49 = 0 \Rightarrow (x + 7) (x - 7) = 0 \Rightarrow x = \pm 7$
$x^{2} + 6 x + 9 = 0 \Rightarrow (x + 3)^{2} = 0 \Rightarrow x = - 3$ (คำตอบเดียว)

สัมประสิทธิ์ของ $x^{2}$ ไม่ใช่ 1

2 x^{2} + 5 x - 3 = 0 \Rightarrow (2 x - 1) (x + 3) = 0

ได้ $x = \frac{1}{2}$ หรือ $x = - 3$

3แยกตัวประกอบโดยใช้กำลังสองสมบูรณ์

ใช้เมื่อหาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันและบวกกันตามต้องการไม่ได้

บวกและลบ $(\frac{สัมประสิทธิ์ของ x}{2})^{2}$ เพื่อให้เกิดกำลังสองสมบูรณ์
เขียนเป็น $(x + p)^{2} - q = 0$
มอง $q$ เป็น $(q)^{2}$ แล้วใช้ผลต่างกำลังสอง

ตัวอย่าง

x^{2} + 6 x - 2 = 0

(x^{2} + 6 x + 9) - 9 - 2 = 0

(x + 3)^{2} - (11)^{2} = 0

(x + 3 + 11) (x + 3 - 11) = 0

x = - 3 - 11 หรือ x = - 3 + 11

4แก้สมการโดยใช้สูตร

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

สูตรนี้ได้มาจากการทำ $a x^{2} + b x + c = 0$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

ตัวอย่าง

2 x^{2} - 4 x - 1 = 0 (a = 2, b = - 4, c = - 1)

x = \frac{4 \pm 16 + 8}{4} = \frac{4 \pm 2 6}{4} = \frac{2 \pm 6}{2}

ค่า $b^{2} - 4 a c$ บอกจำนวนคำตอบ

ค่า $b^{2} - 4 a c$	จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนจริง
มากกว่า 0	2 คำตอบ
เท่ากับ 0	1 คำตอบ คือ $- \frac{b}{2 a}$
น้อยกว่า 0	ไม่มีจำนวนจริงใดเป็นคำตอบ

x² − 2x − 3 = 0

b² − 4ac = 16 > 0 · 2 คำตอบ

x = −1x = 3

จุดสีเขียวคือคำตอบของสมการ

a = 1b = −2c = −3

ตัวอย่าง: $x^{2} + 2 x + 5 = 0$ มี $b^{2} - 4 a c = 4 - 20 = - 16 < 0$ จึงไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง

5โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสมการกำลังสองตัวแปรเดียว

ตัวอย่าง: พื้นที่

สี่เหลี่ยมมุมฉากยาวกว่ากว้าง 3 เมตร มีพื้นที่ 40 ตารางเมตร

ให้กว้าง $x$ เมตร

x (x + 3) = 40 \Rightarrow x^{2} + 3 x - 40 = 0 \Rightarrow (x + 8) (x - 5) = 0

$x = - 8$ ใช้ไม่ได้ จึงกว้าง 5 เมตร ยาว 8 เมตร

ตัวอย่าง: จำนวน

จำนวนเต็มบวกสองจำนวนเรียงกัน ผลคูณเป็น 132

x (x + 1) = 132 \Rightarrow x^{2} + x - 132 = 0 \Rightarrow (x + 12) (x - 11) = 0

จำนวนเต็มบวก จึงได้ 11 และ 12

ตัวอย่าง: ทางเดินรอบสนาม

(10 + 2 x) (16 + 2 x) = 280 \Rightarrow 4 x^{2} + 52 x - 120 = 0 \Rightarrow x^{2} + 13 x - 30 = 0

(x + 15) (x - 2) = 0

ทางเดินกว้าง 2 เมตร

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

แก้สมการโดยไม่ได้จัดให้ข้างหนึ่งเป็น 0 ก่อน
หารด้วย $x$ ทั้งสองข้าง ทำให้คำตอบ $x = 0$ หาย
แทน $b$ ที่ติดลบในสูตรผิด เช่น $b = - 4$ แล้วเขียน $- b = - 4$
ลืมตัดคำตอบที่ขัดกับโจทย์ เช่น ความยาวติดลบ

คำถามที่พบบ่อย

$สมการกำลังสองแก้ได้กี่วิธี$: $แก้ได้ 2 วิธีหลัก คือ แยกตัวประกอบ (รวมถึงจัดเป็นกำลังสองสมบูรณ์แล้วใช้ผลต่างกำลังสอง) และใช้สูตร x = (-b \pm \sqrt(b² - 4ac)) / 2a ควรลองแยกตัวประกอบก่อนเพราะเร็วที่สุด$
$สูตรแก้สมการกำลังสองคืออะไร$: $สำหรับ ax² + bx + c = 0 เมื่อ a ไม่เท่ากับ 0 คำตอบคือ x = (-b \pm \sqrt(b² - 4ac)) / 2a$
$รู้ได้ยังไงว่าสมการกำลังสองมีกี่คำตอบ$: $ดูค่า b² - 4ac ถ้ามากกว่า 0 มีสองคำตอบ ถ้าเท่ากับ 0 มีคำตอบเดียวคือ -b/2a ถ้าน้อยกว่า 0 ไม่มีจำนวนจริงใดเป็นคำตอบ$
$ทำไมห้ามหารด้วย x ทั้งสองข้าง$: $เพราะ x อาจเป็น 0 และการหารจะทำให้คำตอบ x = 0 หายไป ให้ย้ายข้างแล้วดึงตัวร่วม x ออกมาแทน$
$บทนี้เรียนตอนไหน$: $เรียนในคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.3 ภาคเรียนที่ 1 บทที่ 3 ต่อจากการแยกตัวประกอบ และใช้ต่อในบทกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง ม.3$

สรุปบทนี้ใน 1 ตาราง

1แนะนำสมการกำลังสองตัวแปรเดียว

2แก้สมการโดยแยกตัวประกอบ

ตัวอย่าง

ไม่มีพจน์ค่าคงตัว

ผลต่างกำลังสองและกำลังสองสมบูรณ์

สัมประสิทธิ์ของ x2 ไม่ใช่ 1

3แยกตัวประกอบโดยใช้กำลังสองสมบูรณ์

ตัวอย่าง

4แก้สมการโดยใช้สูตร

ตัวอย่าง

ค่า b2−4ac บอกจำนวนคำตอบ

5โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสมการกำลังสองตัวแปรเดียว

ตัวอย่าง: พื้นที่

ตัวอย่าง: จำนวน

ตัวอย่าง: ทางเดินรอบสนาม

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

คำถามที่พบบ่อย

สรุปบทนี้ใน 1 ตาราง

1แนะนำสมการกำลังสองตัวแปรเดียว

2แก้สมการโดยแยกตัวประกอบ

ตัวอย่าง

ไม่มีพจน์ค่าคงตัว

ผลต่างกำลังสองและกำลังสองสมบูรณ์

สัมประสิทธิ์ของ x2 ไม่ใช่ 1

3แยกตัวประกอบโดยใช้กำลังสองสมบูรณ์

ตัวอย่าง

4แก้สมการโดยใช้สูตร

ตัวอย่าง

ค่า b2−4ac บอกจำนวนคำตอบ

5โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสมการกำลังสองตัวแปรเดียว

ตัวอย่าง: พื้นที่

ตัวอย่าง: จำนวน

ตัวอย่าง: ทางเดินรอบสนาม

จุดที่นักเรียนพลาดบ่อย

คำถามที่พบบ่อย

สัมประสิทธิ์ของ $x^{2}$ ไม่ใช่ 1

ค่า $b^{2} - 4 a c$ บอกจำนวนคำตอบ

สัมประสิทธิ์ของ $x^{2}$ ไม่ใช่ 1

ค่า $b^{2} - 4 a c$ บอกจำนวนคำตอบ